Spiegazione formula Campo Elettrico di un cilindro

[Dino 921]

Salve a tutti,
ho deciso di calcolare "a mano" il campo elettrico $vecE$ prodotto da un cilindro di raggio $R$ infinitamente lungo e con densità superficiale $sigma$. Sull'esercizio in questione, il cui calcolo suddetto rappresenta un assunto, si dice che tale campo è dato da:

$ vecE = (sigma*R)/epsilon_0 * hatr/r $

A me invece esce un altro risultato, molto probabilmente perché sbaglio qualcosina. Vi dico come ho proceduto.
Grazie al Teorema di Gauss, considerando una superficie cilindrica che contenga il cilindro di cui voglio calcolare il campo $vecE$, posso scrivere:

$ $ $ int_(S_l)vecE *dvecs = q_(i n t) / epsilon_0 $ $ $ (1)

Dove $S_l$ è la superficie laterale del cilindro "esterno" e $dvecs$ è l'elemento infinitesimo di tale superficie.

dalla (1) segue:
$ int_(S_l)vecE *dvecs = int_(S_l)Eds = E int_(S_l)ds = E2pirl = q_(i n t) / epsilon_0$

dove si è considerato $vecE$ uniforme e concorde a $dvecs$. Vorrei far notare che compare anche una $l$, ossia l'altezza del cilindro gaussiano. Questo non mi convince.. comunque continuando:

$ q_(i n t) = sigma * piR^2 $

dove $r$ è il raggio della superficie gaussiana.

Per cui:
$ E= (sigmapiR^2)/(2epsilon_0pirl) = (sigmaR^2)/(2epsilon_0rl) $

Che non è il risultato atteso..
Sapreste consigliarmi qualcosa?

[rino6999]

ovviamente si prende una superficie cilindrica limitata che contenga una parte della superficie cilindrica carica(la superficie cilindrica di altezza $l$)
il risultato non ti viene perchè,credo per distrazione,hai sbagliato a scrivere la formula della carica interna
si ha
$q=sigma2piRl$