Spiegazione del concetto di "generalizzazione al continuo"

[Dino 921]

Salve,
ho trovato tale espressione ("generalizzazione al continuo") studiando il seguente esempio:

(per comodità di fruizione, vi sottopongo il documento cui è esposto l'esempio: è a pagina 3, riguardo il calcolo del momento angolare di un anello)

http://www.dmf.unisalento.it//~panareo/ ... rigido.pdf

la mia domanda è: cosa significa "viene generalizzata al caso continuo"? E perchè nel calcolo del momento angolare $vec L$ passa dall'uso della sommatoria $ sum_(i = 1)^(n) vec r_i xx (m_i * vec v_i) $ a quello dell'integrale $ int_(m) vec r xx (m * vec v) $ ?

(un'ultima curiosità: che significa la scrittura con un solo estremo di integrazione $int_(m)$?)

Spero in un vostro aiuto,
Grazie

[lordb]

Nella dinamica dei sistemi e nel corpo rigido esistono due tipi di approccio:

-discreto: un corpo viene visto come formato da un numero finito di punti materiali;
-continuo: un corpo viene visto come fatto di "pezzi di materia" ovvero formato da una distribuzione continua di infiniti punti materiali;

Analiticamente questo si traduce in un passaggio da una sommatoria ad una serie e quindi ad un integrale.

$int_m$ vuol dire "integrale esteso a tutta la distribuzione di massa".

[Dino 921]

ti ringrazio, sei stavo molto chiaro. Un'ultima domanda: negli esercizi cosa dovrebbe indurmi a scegliere il procedimento continuo piuttosto che quello discreto?

[lordb]

Dipende da caso a caso, ad esempio se vuoi calcolare il centro di massa di un sistema fatto da $5$ corpi materiali userai un approccio discreto, se il sistema è un disco massivo di densità omogenea userai quello continuo.

Altro esempio: per calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse in rotazione di un sistema fatto da $5$ corpi usi la definizione discreta $I_O=sum_(i=1)^5m_irho_i^2$ se vuoi calcolare il momento rispetto allo stesso asse però di una bandiera di area $A$ rettangolare di densità superficiale uniforme userai la definizione continua $I_O=int_m rho^2 dm=int_S rho^2 sigma dS=int_S rho^2 m_(text{tot})/A dS$ etc etc.

[Dino 921]

Ok, tutto chiaro ed eccellentemente spiegato ti ringrazio!

[lordb]

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