Spessore Lamina Dielettrico

[***1117]

Salve ragazzi , vi propongo tale problema :

Una lamina sottile di materiale dielettrico , di costante dielettrica $epsilon$ , viene inserita all'interno di un condensatore piano carico isolato con armature di area uguale a quella della lamina , poste a distanza d . Determinare lo spessore del dielettrico se la differenza di potenziale si dimezza in seguito all'immissione del dielettrico .

Sono arrivato al risultato che lo spessore sia $s=\frac{epsilon}{2 epsilon_0}d$ ma non sono per nulla convinto del mio procedimento , potete darmi un indizio su come procedere ?

Grazie mille in anticipo!

[Leocap9999]

Potresti scrivere il procedimento usato?

[***1117]

Vorrei , ma l'ho svolto durante l'esame e sinceramente non ricordo che ragionamento ho usato , dato che ho agito "d'istinto" e non con logica . Per questo motivo volevo imparare a svolgere correttamente tale esercizio.

[Leocap9999]

Allora, noi sappiamo che

$ C_1V = C_2V/2 $

$ (\varepsilon_0A)/d = (\bar\varepsilonA)/(2d) $

$ \bar\varepsilon = 2\varepsilon_0 $

e che

$ \bar\varepsilon = ((d-s)A\varepsilon_0+sA\varepsilon)/(dA) $

$ \bar\varepsilon = (d\varepsilon_0-s\varepsilon_0+s\varepsilon)/d $

dunque

$ (d\varepsilon_0-s\varepsilon_0+s\varepsilon)/d = 2\varepsilon_0 $

$ s(\varepsilon-\varepsilon_0) = d\varepsilon_0 $

$ s = (d\varepsilon_0)/(\varepsilon-\varepsilon_0) $

La tua formula non convince molto neanche intuitivamente, in quanto lo spessore risulterebbe direttamente proporzionale alla costante dielettrica (se il materiale A ostacola maggiormente il campo elettrico rispetto al materiale B, allora, a logica, la quantità di materiale A necessaria a produrre una certa caduta di potenziale dovrebbe essere minore della quantità necessaria di materiale B) .

[***1117]

Eh mi sa che hai perfettamente ragione :/

Grazie mille per l'aiuto!

[***1117]

"CapitanCap":

$ C_1V = C_2V/2 $

$ (\varepsilon_0A)/d = (\bar\varepsilonA)/(2d) $

$ \bar\varepsilon = 2\varepsilon_0 $

e che

$ \bar\varepsilon = ((d-s)A\varepsilon_0+sA\varepsilon)/(dA) $

$ \bar\varepsilon = (d\varepsilon_0-s\varepsilon_0+s\varepsilon)/d $

Potresti spiegarmi questa parte? non mi è chiarissima...

[Leocap9999]

$ C_1V = C_2V/2 $

$ (\varepsilon_0A)/d = (\bar\varepsilonA)/(2d) $

$ \bar\varepsilon = 2\varepsilon_0 $

La prima uguaglianza deriva dalla conservazione della carica, che, essendo il condensatore isolato, non varia da un caso all'altro, poi sono ricorso alla formula della capacità:

$ C = (\varepsilonA)/d $

$ \bar\varepsilon = ((d-s)A\varepsilon_0+sA\varepsilon)/(dA) $

$ \bar\varepsilon = (d\varepsilon_0-s\varepsilon_0+s\varepsilon)/d $

Qui invece ho ricavato la costante dielettrica media, moltiplicando $\varepsilon_0$ e $\varepsilon$ per il volume corrispondente e dividendo il tutto per il volume totale.

[RenzoDF]

Per una tensione dimezzata, a parità di carica, la capacità C dovrà raddoppiare e quindi l'elastanza S dimezzare; indicando con $S_0=1/C_0$ l'elastanza iniziale e con $S_1$ e $S_2$ quelle delle due parti finali, avremo quindi

$S_1+S_2=\frac{1}{2}S_0$

e di conseguenza, per unità di superficie delle armature

$\frac{d-s}{\epsilon_0}+\frac{s}{\epsilon }=\frac{d}{2\epsilon _0}$

dalla quale

$s=\frac{d\epsilon}{2(\epsilon-\epsilon_0)}$

[***1117]

Grazie della risposta RenzoDF, nel corso dell'anno non abbiamo mai trattato l'argomento "elastanza" mi potresti dire qualcosa su di essa ? Cosi da capire la logica che sta dietro alla tua risoluzione

[RenzoDF]

"MillesoliSamuele":... mi potresti dire qualcosa su di essa ? Cosi da capire la logica che sta dietro alla tua risoluzione

E' semplicemente l'inverso della capacità, e puoi ovviamente evitare di usarla scrivendo alternativamente alla precedente prima relazione, la classica somma dei reciproci per la capacità equivalente di una serie

$\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}=\frac{1}{2C_0}$

[***1117]

Non si smette mai di imparare !

Grazie ancora