Spaziotempo omogeneo ed isotropo

[GianlucaN2]

Salve a tutti, vorrei un' opinione e se possibile un chiarimento sulla seguente questione:
molti testi di cosmologia sviluppano inizialmente modelli di universi omogenei ed isotropi, fornendo una formalizzazione di questi concetti riferendosi alla possibilità di dichiarare determinate isometrie della metrica.
In particolare, seguendo la linea del testo di R.Wald, General Relativity, capitolo 5, è introdotta la tipica fogliazione dello spaziotempo in sottovarietà di tipo spazio per definire l'omogeneità,

Uno spaziotempo si dice spazialmente omogeneo se esiste una famiglia $\Sigma_t$ ad un parametro $t$ di ipersuperfici di tipo spazio, costituenti una fogliazione dello spaziotempo, tali che per ogni $t$ e per ogni coppia di punti $p,q \in \Sigma_t$ esiste un'isometria della metrica dello spaziotempo g che porti $p$ in $q$.

mentre la definizione di isotropia è fornita direttamente in maniera globale, dicendo cosa significa che uno spaziotempo sia spazialmente isotropo rispetto ad ogni punto

Uno spaziotempo $V_4$ è detto essere spazialmente isotropo rispetto ad ogni punto se esiste una congruenza di curve di tipo tempo, tale che, $ \forall p \in V_4$ e detto $u_p$ il vettore in $p$ tangente alla curva passante per detto punto, esiste un'isometria di g che lascia fissi $p$ ed $u_p$ e per ogni coppia di vettori unitari
$v_1, v_2 \in T_p(V_4)$ ed ortogonali ad $u_p$, ruota $v_1$ in $v_2$.

I miei dubbi sono i seguenti:

- Esiste una definizione di spaziotempo spazialmente isotropo rispetto ad un punto, non globale? Posso pensare naturalmente di prendere la definizione precedente e limitarla ad un punto della varietà, ma così facendo ho un dubbio sulla scelta del vettore di tipo tempo $u$ di riferimento per la costruzione (in particolare dovrà valere per qualunque scelta di un vettore di tipo tempo $u$, o isotropia nel punto significa che esiste un vettore di tipo tempo in particolare che realizza tale definizione (che rispetto alla definizione globale viene dall'esistenza di una congruenza di curve) ?

- Una condizione globale di isotropia dovrebbe essere, da sola, sufficiente per garantire l'omogeneità, e quindi l'esistenza della fogliazione della varietà con le opportune relazioni che dovranno sussistere tra i vettori tangenti la congruenza e le ipersuperfici. Vorrei conferma di questa affermazione, e se possibile un possibile modo di dimostrarla. (Facendo un' analogia con alcuni risultati di meccanica sto provando individuare la fogliazione come superfici di livello di una qualche funzione che nasca come primitiva di una forma differenziale individuata grazie alla definizione di isotropia, ma non so se sia a strada giusta e sono ancora in alto mare )

Grazie per l'attenzione e a chi vorrà rispondere.