Spazio tangente e vettori controvarianti
Ciao a tutti...
sto studiando relatività generale sul Wald e sull'Hawking, ma nessuno dei due riesce a chiarirmi la nozione di vettore tangente.
La definizione che ne da l'Hawking è:
Data una curva $lambda(t)$ sul manifold $M$, e una funzione $f$ da $M$ a [tex]\mathbb{R}[/tex], definiamo vettore tangente alla curva $lambda$ nel punto $lambda(t_0)$ l'operatore che mappa ogni funzione $f$ nel punto $lambda(t_0)$ nel numero [tex]\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda}[/tex].
Esplicitamente, introducendo un sistema di coordinate $(x^1,...,x^n)$, si ha:
[tex]\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda(t_0)}=\frac{dx^j}{dt}\frac{\partial f}{\partial x^j}_{\lambda(t_0)}[/tex]
e gli operatori [tex]\frac{\partial}{\partial x^j}[/tex] formano una base per lo spazio dei vettori tangenti.
Ora, la definizione mi è chiara, però non capisco come qual'è il legame tra questi vettori tangenti ed i vettori tangenti ordinari definiti su una superficie immersa in [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Ad esempio, consideriamo come superficie la superficie sferica unitaria in $R^3$. Nella regione con x>0 una chart può essere data da:
[tex]\psi(x>0, y, z)=(y,z)[/tex]
Adesso considero la curva
[tex]\lambda (t)=\{x=0.5,\;\: y=r\cos(t),\;\: z=r\sin(t)\}[/tex]
dove $r$ è una costante che serve per fare in modo che la circonferenza $lambda$ stia sulla superficie della sfera unitaria.
Le coordinate di $lambda$ in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sono
[tex]x^i=\psi[\lambda (t) ]=(r\cos(t),\; r\sin(t))[/tex]
e la base per lo spazio tangente alla superficie è
[tex]\frac{\partial}{\partial r\cos(t)},\;\: \frac{\partial}{\partial r\sin(t)}[/tex]
Questo è quanto mi dicono l'Hawking e la geometria differenziale, ma non trovo il legame con il piano tangente che si trova dall'analisi matematica.
sto studiando relatività generale sul Wald e sull'Hawking, ma nessuno dei due riesce a chiarirmi la nozione di vettore tangente.
La definizione che ne da l'Hawking è:
Data una curva $lambda(t)$ sul manifold $M$, e una funzione $f$ da $M$ a [tex]\mathbb{R}[/tex], definiamo vettore tangente alla curva $lambda$ nel punto $lambda(t_0)$ l'operatore che mappa ogni funzione $f$ nel punto $lambda(t_0)$ nel numero [tex]\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda}[/tex].
Esplicitamente, introducendo un sistema di coordinate $(x^1,...,x^n)$, si ha:
[tex]\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{\lambda(t_0)}=\frac{dx^j}{dt}\frac{\partial f}{\partial x^j}_{\lambda(t_0)}[/tex]
e gli operatori [tex]\frac{\partial}{\partial x^j}[/tex] formano una base per lo spazio dei vettori tangenti.
Ora, la definizione mi è chiara, però non capisco come qual'è il legame tra questi vettori tangenti ed i vettori tangenti ordinari definiti su una superficie immersa in [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Ad esempio, consideriamo come superficie la superficie sferica unitaria in $R^3$. Nella regione con x>0 una chart può essere data da:
[tex]\psi(x>0, y, z)=(y,z)[/tex]
Adesso considero la curva
[tex]\lambda (t)=\{x=0.5,\;\: y=r\cos(t),\;\: z=r\sin(t)\}[/tex]
dove $r$ è una costante che serve per fare in modo che la circonferenza $lambda$ stia sulla superficie della sfera unitaria.
Le coordinate di $lambda$ in [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sono
[tex]x^i=\psi[\lambda (t) ]=(r\cos(t),\; r\sin(t))[/tex]
e la base per lo spazio tangente alla superficie è
[tex]\frac{\partial}{\partial r\cos(t)},\;\: \frac{\partial}{\partial r\sin(t)}[/tex]
Questo è quanto mi dicono l'Hawking e la geometria differenziale, ma non trovo il legame con il piano tangente che si trova dall'analisi matematica.
Risposte
E' una domanda di geometria, questa, anche se te la sei ritrovata nel quadro della RG. Una risposta matematica proprio esauriente è contenuta in Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol. I, capitolo "The tangent bundle". Si dimostra, infatti, che "comunque tu definisca lo spazio tangente ad una varietà, definirai sostanzialmente sempre la stessa cosa". Ecco perché possono convivere allegramente tante definizioni tutte diverse tra loro!
Nel caso di una sottovarietà di \(\mathbb{R}^n\), abbiamo a disposizione (tra le tante altre) la definizione che fornisci tu (spazio tangente come spazio delle derivazioni nel punto) e quella "dell'analisi matematica" (spazio tangente come spazio dei vettori tangenti alle curve passanti per il punto dato). E' possibile identificare concretamente i vettori tangenti forniti dalle due definizioni, anche se è un pochino laborioso: sostanzialmente si dimostra che, scegliendo opportunamente i sistemi di coordinate, il vettore tangente "della geometria" \(\sum_1^m v^i \frac{\partial}{\partial x^i}\) si può identificare col vettore tangente "dell'analisi" \((v^1 \ldots v^m, 0 \ldots 0)\).
Io però ti sconsiglio di perderci troppo tempo. Il concetto è che tu ti scegli volta per volta la definizione più conveniente e poi resti con essa per tutto il resto del problema. Per fortuna c'è già stato qualcuno che si è occupato di dimostrare che ciò non porta a inconsistenze.
Nel caso di una sottovarietà di \(\mathbb{R}^n\), abbiamo a disposizione (tra le tante altre) la definizione che fornisci tu (spazio tangente come spazio delle derivazioni nel punto) e quella "dell'analisi matematica" (spazio tangente come spazio dei vettori tangenti alle curve passanti per il punto dato). E' possibile identificare concretamente i vettori tangenti forniti dalle due definizioni, anche se è un pochino laborioso: sostanzialmente si dimostra che, scegliendo opportunamente i sistemi di coordinate, il vettore tangente "della geometria" \(\sum_1^m v^i \frac{\partial}{\partial x^i}\) si può identificare col vettore tangente "dell'analisi" \((v^1 \ldots v^m, 0 \ldots 0)\).
Io però ti sconsiglio di perderci troppo tempo. Il concetto è che tu ti scegli volta per volta la definizione più conveniente e poi resti con essa per tutto il resto del problema. Per fortuna c'è già stato qualcuno che si è occupato di dimostrare che ciò non porta a inconsistenze.
Grazie Dissonance per la risposta!
Il mio problema è che queste nozioni di geometria differenziale sono troppo astratte e volevo applicarle a casi noti (come la sfera in R3) per dargli un contenuto più concreto. Magari quando inizierò a vederle applicate alla GR riuscirò a comprenderle meglio.
Per ora ho dato un'occhiata al libro che citavi e anche al libro di Isham e credo di essermi fatto un'idea della relazione tra vettore tangente di un manifold e vettore tangente nel senso dell'analisi matematica.
Grazie
Il mio problema è che queste nozioni di geometria differenziale sono troppo astratte e volevo applicarle a casi noti (come la sfera in R3) per dargli un contenuto più concreto. Magari quando inizierò a vederle applicate alla GR riuscirò a comprenderle meglio.
Per ora ho dato un'occhiata al libro che citavi e anche al libro di Isham e credo di essermi fatto un'idea della relazione tra vettore tangente di un manifold e vettore tangente nel senso dell'analisi matematica.
Grazie
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