Spazio di Hilbert della MQ e spettri di Operatori
Dunque come da titolo:
qual'è lo spazio di Hilbert utilizzato dalla MQ?
E gli operatori in tale spazio sono autoaggiunti il che significa che hanno valori di aspettazione reali,
ma non sono sempre compatti, giusto? Perchè se fossero sempre autoaggiunti e compatti il teorema spettrale di Hilbert-Schmidt ci assicurerebbe che hanno solo spettro puntuale; quindi non potrebbero esistere valori di energia continui, ad esempio penso ad una particella libera o intrappolata in una buca poco profonda...
cosa sto sbagliando?
qual'è lo spazio di Hilbert utilizzato dalla MQ?
E gli operatori in tale spazio sono autoaggiunti il che significa che hanno valori di aspettazione reali,
ma non sono sempre compatti, giusto? Perchè se fossero sempre autoaggiunti e compatti il teorema spettrale di Hilbert-Schmidt ci assicurerebbe che hanno solo spettro puntuale; quindi non potrebbero esistere valori di energia continui, ad esempio penso ad una particella libera o intrappolata in una buca poco profonda...
cosa sto sbagliando?
Risposte
Perchè, restando all'esempio dell'energia, se sei in un buca di potenziale con energia minore dell'altezza delle pareti (o in situazione di potenziali analoghi), classicamente non esci dalla buca e quantisticamente puoi uscire, ma con probabilità tendente a zero (effetto tunnel).
In questi casi, la funzione d'onda è a quadrato sommabile, quindi appartiene allo spazio di Hilbert $L^2$ ed allora valgono tutti i bei teoremi di cui sopra.
Se, invece, la particella può andare all'infinito con probabilità non nulla (moto libero o potenziali non a buca o presenza di buca, ma con energia superiore all'altezza delle barriere), allora la funziona d'onda non è più a quadrato sommabile per cui non siamo più in presenza di uno spazio di Hilbert con le conseguenze del caso ...
Più tardi, posto l'esempio dell'operatore quantità di moto che è proprio il caso emblematico di questa situazione ...
In questi casi, la funzione d'onda è a quadrato sommabile, quindi appartiene allo spazio di Hilbert $L^2$ ed allora valgono tutti i bei teoremi di cui sopra.
Se, invece, la particella può andare all'infinito con probabilità non nulla (moto libero o potenziali non a buca o presenza di buca, ma con energia superiore all'altezza delle barriere), allora la funziona d'onda non è più a quadrato sommabile per cui non siamo più in presenza di uno spazio di Hilbert con le conseguenze del caso ...
Più tardi, posto l'esempio dell'operatore quantità di moto che è proprio il caso emblematico di questa situazione ...
ok ho capito quello che vuoi dire,
quindi si usa uno spazio più grande di $L^2$, ma allora per quanto riguarda il prodotto scalare come posso essere sicuro che $<\phi|\psi>\ <+\infty$? Visto che comunque il prodotto scalare usato è quello di $L^2$.
quindi si usa uno spazio più grande di $L^2$, ma allora per quanto riguarda il prodotto scalare come posso essere sicuro che $<\phi|\psi>\ <+\infty$? Visto che comunque il prodotto scalare usato è quello di $L^2$.
Infatti, nel caso di operatori con spettro continuo, per le autofunzioni vale :
$<\psi(p),\psi(p')> = \delta(p - p')$
che fornisce $0$ se $p != p'$ e $oo$ se $p = p'$ (non inorridiscano i matematici ...).
ps. procedo con la trattazione completa dell'operatore quantità di moto ? (secondo la mia interpretazione)
$<\psi(p),\psi(p')> = \delta(p - p')$
che fornisce $0$ se $p != p'$ e $oo$ se $p = p'$ (non inorridiscano i matematici ...).
ps. procedo con la trattazione completa dell'operatore quantità di moto ? (secondo la mia interpretazione)
ok ora ricordo che si tira fuori il discorso della delta di dirac...
Quindi mi stai dicendo che lo spazio scelto è lo spazio generato dalle $\delta(x-x_0)$ $\forall \ x_0$ (cioè intendo che le $\delta(x-x_0)$ sono funzioni di $x$).
E' così?
E si vede che sono un set ortonormale rispetto al prodotto di $L^2$
Si procedi pure
Quindi mi stai dicendo che lo spazio scelto è lo spazio generato dalle $\delta(x-x_0)$ $\forall \ x_0$ (cioè intendo che le $\delta(x-x_0)$ sono funzioni di $x$).
E' così?
E si vede che sono un set ortonormale rispetto al prodotto di $L^2$
Si procedi pure
Sì, è così.
Procedo allora con l'esempio dell'operatore quantità di moto limitandomi al caso unidimensionale ed usando la notazione del Landau.
L'operatore quantità di moto è $hat p = -i \hbar d / {dx}$.
L'equazione agli autovalori è $hat p \psi = p \psi$ ovvero :
$i \hbar \psi' + p \psi = 0$ (1)
dove l'apice rappresenta la derivata prima.
La soluzione della (1) in $C^1(R)$ è :
$\psi = k e^{i / \hbar p x}$ (2)
dove $k$ è una costante.
La soluzione della (1) in $L^2(R)$ è :
$\psi = 0$ (3).
In $L^2$, quindi, l'operatore $hat p$ ha solo spettro continuo.
In MQ la soluzione (3) non ci basta perchè dobbiamo salvare il principio di indeterminazione di Heisenberg ed il dualismo onda particella di de Broglie.
Per questo motivo dobbiamo "ampliare" lo spazio delle funzioni d'onda ed usare le (2).
Infatti.
Il modulo quadro della (2) è $|k|^2$.
Questo significa che la particella si trova su tutto l'asse delle $x$ con probabilità costante. Ciò è coerente con il principio di indeterminazione perchè la (2) rappresenta la funzione d'onda (essendo autofunzione) di una particella che ha quantità di moto determinata $p$. Per una tale particella si ha (per l'indeterminazione) $\Delta p = 0$ per cui, dovendo valere $\Delta x * \Delta p = h$, si ha $\Delta x = oo$. Così salviamo il principio di indeterminazione.
La (2) rappresenta un'onda stazionaria tale per cui :
$p / \hbar \lambda = 2 \pi$
ovvero :
$\lambda = h / p$
come previsto da de Broglie.
Le autofunzioni (2), che non appartengono propriamente a $L^2(R)$, corrispondono quindi alle esigenze fisiche ...
In MQ si ha uno spettro continuo quando gli autovalori formano un insieme con cardinalità $\aleph_1$.
Nel presente caso, l'operatore ha in $L^2$ uno spettro continuo ed anche secondo la MQ. Questo risultato è generalizzable ? A questa domanda non saprei dare una risposta rigorosa, anche se intuitivamente, direi di sì ...
Spero di essere stato chiaro e corretto ...
Procedo allora con l'esempio dell'operatore quantità di moto limitandomi al caso unidimensionale ed usando la notazione del Landau.
L'operatore quantità di moto è $hat p = -i \hbar d / {dx}$.
L'equazione agli autovalori è $hat p \psi = p \psi$ ovvero :
$i \hbar \psi' + p \psi = 0$ (1)
dove l'apice rappresenta la derivata prima.
La soluzione della (1) in $C^1(R)$ è :
$\psi = k e^{i / \hbar p x}$ (2)
dove $k$ è una costante.
La soluzione della (1) in $L^2(R)$ è :
$\psi = 0$ (3).
In $L^2$, quindi, l'operatore $hat p$ ha solo spettro continuo.
In MQ la soluzione (3) non ci basta perchè dobbiamo salvare il principio di indeterminazione di Heisenberg ed il dualismo onda particella di de Broglie.
Per questo motivo dobbiamo "ampliare" lo spazio delle funzioni d'onda ed usare le (2).
Infatti.
Il modulo quadro della (2) è $|k|^2$.
Questo significa che la particella si trova su tutto l'asse delle $x$ con probabilità costante. Ciò è coerente con il principio di indeterminazione perchè la (2) rappresenta la funzione d'onda (essendo autofunzione) di una particella che ha quantità di moto determinata $p$. Per una tale particella si ha (per l'indeterminazione) $\Delta p = 0$ per cui, dovendo valere $\Delta x * \Delta p = h$, si ha $\Delta x = oo$. Così salviamo il principio di indeterminazione.
La (2) rappresenta un'onda stazionaria tale per cui :
$p / \hbar \lambda = 2 \pi$
ovvero :
$\lambda = h / p$
come previsto da de Broglie.
Le autofunzioni (2), che non appartengono propriamente a $L^2(R)$, corrispondono quindi alle esigenze fisiche ...
In MQ si ha uno spettro continuo quando gli autovalori formano un insieme con cardinalità $\aleph_1$.
Nel presente caso, l'operatore ha in $L^2$ uno spettro continuo ed anche secondo la MQ. Questo risultato è generalizzable ? A questa domanda non saprei dare una risposta rigorosa, anche se intuitivamente, direi di sì ...
Spero di essere stato chiaro e corretto ...
Ok, ho capito la giustificazione... Ti ringrazio sei stato molto chiaro.
Insomma, alla fine si usa lo spazio che ci serve
A posteriori sembra molto semplice
inoltre volevo dire:
Dato che esistono funzioni con norma minore di uno nel nostro spazio, ma con derivata infinita,
l'operatore $\hatp$ non manda la palla unitaria in un precompatto, quindi non è un operatore compatto!
E' perciò giustificato il fatto che $\hatp$ possa avere spettro continuo...
Solo non capisco il collegamento tra spettro continuo di un operatore e autovalori continui nella MQ, ho scritto per bene la domanda nell'altro post perchè credo sia più matematica che fisica... http://www.matematicamente.it/forum/spettri-di-operatori-lineari-tra-spazi-di-hilbert-t45738-10.html
Insomma, alla fine si usa lo spazio che ci serve
A posteriori sembra molto semplice
inoltre volevo dire:
Dato che esistono funzioni con norma minore di uno nel nostro spazio, ma con derivata infinita,
l'operatore $\hatp$ non manda la palla unitaria in un precompatto, quindi non è un operatore compatto!
E' perciò giustificato il fatto che $\hatp$ possa avere spettro continuo...
Solo non capisco il collegamento tra spettro continuo di un operatore e autovalori continui nella MQ, ho scritto per bene la domanda nell'altro post perchè credo sia più matematica che fisica... http://www.matematicamente.it/forum/spettri-di-operatori-lineari-tra-spazi-di-hilbert-t45738-10.html
Ciao.
Mi intrufolo perchè avete sollevato un dubbio che mi ha sempre lasciato perplesso. Prendiamo l'operatore $\hat p$ come sopra. Le autofunzioni che vengono fuori sono le onde piane e siamo d'accordo. Le quali però non stanno in $L^2$. Questo succede proprio perchè $\hat p$ non è compatto?
PS
Ma con compatto intendete limitato, giusto?
Mi intrufolo perchè avete sollevato un dubbio che mi ha sempre lasciato perplesso. Prendiamo l'operatore $\hat p$ come sopra. Le autofunzioni che vengono fuori sono le onde piane e siamo d'accordo. Le quali però non stanno in $L^2$. Questo succede proprio perchè $\hat p$ non è compatto?
PS
Ma con compatto intendete limitato, giusto?
No compatto è la definizione matematica di Operatore Compatto tra spazi Normati
ovvero: $T:X->Y$ è compatto se manda la palla unitaria centrata in $0$ in $X$ in un insieme compatto in $Y$
ovvero: $T:X->Y$ è compatto se manda la palla unitaria centrata in $0$ in $X$ in un insieme compatto in $Y$
"Fox":
No compatto è la definizione matematica di Operatore Compatto tra spazi Normati
ovvero: $T:X->Y$ è compatto se manda la palla unitaria centrata in $0$ in $X$ in un insieme compatto in $Y$
per fare i precisini deve essere 'relativamente compatto'
http://it.wikipedia.org/wiki/Operatore_compatto
ok la smetto di rompere e vado a far qualcosa di utile...
cmq le due nozioni sono legate:
- compatto => limitato
e chi ha tempo e sa o si ricorda qualcosa di analisi funzionale (io no) può cercare il contro-esempio all'altra
Giusto, è vero la definizione di operatore compatto dice che la CHIUSURA dell'immagine della palla unitaria, sia compatta.
Al mio corso di analisi funzionale li chiamavamo operatori compatti e non relativamente compatti... boh vabbè l'importante è capirsi...
Al mio corso di analisi funzionale li chiamavamo operatori compatti e non relativamente compatti... boh vabbè l'importante è capirsi...
si si scusa...
quando ho detto
"per fare i precisini deve essere 'relativamente compatto' "
il soggetto era l'insieme dei punti di Y composti dall'immagine della palla unitaria... questo per dire che non conosco la nozione di operatore relativamente compatto e non so se esiste
ciao ciao
quando ho detto
"per fare i precisini deve essere 'relativamente compatto' "
il soggetto era l'insieme dei punti di Y composti dall'immagine della palla unitaria... questo per dire che non conosco la nozione di operatore relativamente compatto e non so se esiste
ciao ciao
ah ok, bene 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo