Sono nuovo... e ho un problema (diciamo un indovinello)
Signore e signori, buonasera.
Mi sono appena iscritto a questo forum per poter dare una mano, per quanto le mie scarse capacità intellettive permettano, e per chiedere aiuto a mia volta.
Questa sera mentre cucinavo,mi è venuto in mente un problema che sfortunatamente non ho le capacità o, spero , le conoscenze per risolvere. Ho quindi deciso di sottoporlo alla vostra proverbiale sapienza:
quando sparo un proiettile con una certa massa dalla canna di un fucile, ho una reazione che possiamo considerare istantanea nella quale in un piccolo volume si crea una forte pressione; questa pressione, man mano che spinge in avanti il proiettile, diminuisce poichè il volume entro la quale è presente aumenta.
Il proiettile continua ad accelerare fin quando non esce dalla canna. Fino a quell'istante, però, per ogni infinitesimo di tratto che percorre, una forza sempre minore lo spinge.
come farei a calcolare la velocità alla quale il proiettile esce dalla canna?
credo che la velocità finale sia dovuta alla somma di forze via via decrescenti in modulo lungo la canna e per questo forse devo usare un'integrazione ma, seppur in grado di risolvere dei semplici integrali come esercizio, non riesco a trasportare questo caso, praticamente reale, in integrale da svolgere...
io ho provato a ragionare nel seguente modo:
la "camera di scoppio" ha un certo volume V0; Il proiettile inizia a muoversi, dopo la detonazione che ha provocato nella camera di scoppio una pressione P0, dal punto s0 (punto di partenza) al punto sf (fine della canna).
l'energia sprigionata dall'esplosione "E" è:
E=P0*V0
Dal momento che l'energia rimane costante per tutta la percorrenza della canna, avremo
P0*V0=P*V
ove P e V sono pressione e volume in un punto generico s.
Siccome però la sezione della canna è costante, avente area A per tutta la sua lunghezza, avremo:
P0*c=P*s
ove c è la lunghezza della camera di scoppio.
A questo punto ho varie ipotesi ma nessuna che mi convinca...
Mi dareste una mano?
Vi ringrazio moltissimo
Arcano
Mi sono appena iscritto a questo forum per poter dare una mano, per quanto le mie scarse capacità intellettive permettano, e per chiedere aiuto a mia volta.
Questa sera mentre cucinavo,mi è venuto in mente un problema che sfortunatamente non ho le capacità o, spero , le conoscenze per risolvere. Ho quindi deciso di sottoporlo alla vostra proverbiale sapienza:
quando sparo un proiettile con una certa massa dalla canna di un fucile, ho una reazione che possiamo considerare istantanea nella quale in un piccolo volume si crea una forte pressione; questa pressione, man mano che spinge in avanti il proiettile, diminuisce poichè il volume entro la quale è presente aumenta.
Il proiettile continua ad accelerare fin quando non esce dalla canna. Fino a quell'istante, però, per ogni infinitesimo di tratto che percorre, una forza sempre minore lo spinge.
come farei a calcolare la velocità alla quale il proiettile esce dalla canna?
credo che la velocità finale sia dovuta alla somma di forze via via decrescenti in modulo lungo la canna e per questo forse devo usare un'integrazione ma, seppur in grado di risolvere dei semplici integrali come esercizio, non riesco a trasportare questo caso, praticamente reale, in integrale da svolgere...
io ho provato a ragionare nel seguente modo:
la "camera di scoppio" ha un certo volume V0; Il proiettile inizia a muoversi, dopo la detonazione che ha provocato nella camera di scoppio una pressione P0, dal punto s0 (punto di partenza) al punto sf (fine della canna).
l'energia sprigionata dall'esplosione "E" è:
E=P0*V0
Dal momento che l'energia rimane costante per tutta la percorrenza della canna, avremo
P0*V0=P*V
ove P e V sono pressione e volume in un punto generico s.
Siccome però la sezione della canna è costante, avente area A per tutta la sua lunghezza, avremo:
P0*c=P*s
ove c è la lunghezza della camera di scoppio.
A questo punto ho varie ipotesi ma nessuna che mi convinca...
Mi dareste una mano?
Vi ringrazio moltissimo
Arcano
Risposte
In pratica $Px=c$, con $c=costante$, quindi la pressione agente sul proiettile è $P=c/x$, detta $A$ la sezione del proiettile, sul proiettile agisce una forza $F(x)=PA=C/x$, con $C=cA$, dalla legge della dinamica:
$mddotx=C/x$
$mddotx=C/x$
Innanzi tutto grazie mille per la risposta. Purtroppo non sono riuscito a comprenderla (in particolare non conosco la notazione che hai utilizzato, quella con i due puntini sulla x, nell'ultima formula)... potresti rispiegarmi?
nel frattempo cerco di esprimere meglio la mia idea:
l'accelerazione del proiettile (e conseguentemente anche la forza con la quale viene spinto) da quando questo inizia il moto a quando esce dalla canna, diminuisce. la velocità quindi è in aumento, anche se non in modo costante.
Provo ad illustrare il mio ragionamento, cosicché tu mi possa gentilmente correggere dove sbaglio (anche se probabilmente è una complicazione di qualcosa di semplice).
Partendo dal fatto che l'energia dello scoppio "Ec" è
$ Ec=P_(0)*V_(0)=P_(d)*V_d $
Dove con il pedice 0 indico la condizione di partenza mentre con il pedice "d" indico quella di uscita dalla canna.
dal momento che la sezione della canna "A" è costante e indicando con "c" la lunghezza della camera di scoppio, posso scrivere
$ Ec = F_0/A*A*c=F_d/A*A*d " $
che semplificando viene
$ E_c=F_0*c=F_d*d $ ovvero $ E_c /d= F_d=F_0*c/d $
a questo punto, dal momento che $ F=m*a $, e che $ m $ è costante avrò:
$ E_c/(d*m) = a_d=a_0*c/d $
ora per sapere l'accelerazione media " $a_m$ " dall'inizio del moto alla fine della canna, dovrei integrare facendo
$ a_m= (int_(0)^(d) E_c/(d*m) d d)/d = E_c/(d*m) * int_(0)^(d) 1/d dd = ln|d|-ln|0| = +oo " e questo mi sembra strano"$
avendo l'accelerazione media avrei poi fatto $ v =(2a_m*d)^(1/2)$ e avrei trovato la velocità...
Dove sono gli errori?
nel frattempo cerco di esprimere meglio la mia idea:
l'accelerazione del proiettile (e conseguentemente anche la forza con la quale viene spinto) da quando questo inizia il moto a quando esce dalla canna, diminuisce. la velocità quindi è in aumento, anche se non in modo costante.
Provo ad illustrare il mio ragionamento, cosicché tu mi possa gentilmente correggere dove sbaglio (anche se probabilmente è una complicazione di qualcosa di semplice).
Partendo dal fatto che l'energia dello scoppio "Ec" è
$ Ec=P_(0)*V_(0)=P_(d)*V_d $
Dove con il pedice 0 indico la condizione di partenza mentre con il pedice "d" indico quella di uscita dalla canna.
dal momento che la sezione della canna "A" è costante e indicando con "c" la lunghezza della camera di scoppio, posso scrivere
$ Ec = F_0/A*A*c=F_d/A*A*d " $
che semplificando viene
$ E_c=F_0*c=F_d*d $ ovvero $ E_c /d= F_d=F_0*c/d $
a questo punto, dal momento che $ F=m*a $, e che $ m $ è costante avrò:
$ E_c/(d*m) = a_d=a_0*c/d $
ora per sapere l'accelerazione media " $a_m$ " dall'inizio del moto alla fine della canna, dovrei integrare facendo
$ a_m= (int_(0)^(d) E_c/(d*m) d d)/d = E_c/(d*m) * int_(0)^(d) 1/d dd = ln|d|-ln|0| = +oo " e questo mi sembra strano"$
avendo l'accelerazione media avrei poi fatto $ v =(2a_m*d)^(1/2)$ e avrei trovato la velocità...
Dove sono gli errori?
Allora, ho sbagliato. Sia $A$ la sezione della canna, sia $V_0$ il volume iniziale, a una certa distanza $d$ da questo volume iniziale, il volume sarà $V=V_0+Ad$, quindi $P_0V_0=PV=P(V_0+Ad)$, quindi:
$P=(P_0V_0)/(V_0+Ad)$
E la forza che agisce sul proiettile è:
$F=PA=(P_0V_0A)/(V_0+Ad)$
$P=(P_0V_0)/(V_0+Ad)$
E la forza che agisce sul proiettile è:
$F=PA=(P_0V_0A)/(V_0+Ad)$
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