Somma di 2 vettori

[ekans1]

si possono sommare 2 vettori giacenti su 2 rette parallele e distinte ? Per evitare fraintendimenti i 2 vettori sono come 2 treni della stazione che si muovono in versi opposti.

Se si possono sommare, qual è la direzione del vettore somma risultante ?

[CaMpIoN]

La somma di due vettori $\vec A$ e $\vec B$ è un'altro vettore $\vec C$ che vale quindi:
\(\vec C=\vec A + \vec B\)
La differenza di due vettori invece è similmente
\(\vec C=\vec A - \vec B\)
Come possiamo notare il verso del vettore $\vec C$ dipende dal risultato della differenza, in ogni differenza il segno è pari a quello del numero con valore assoluto più grande, similmente per la differenza tra vettori opposti il verso sarà quello del vettore più grande, considerando il vettore $-\vec B$ come un vettore qualsiasi $\vec D$ otteniamo la somma tra due vettori:
\(\vec C=\vec A+\left(-\vec B\right)=\vec A+\vec D\)
Da cui ricaviamo che la stessa regola per la differenza tra due vettori vale anche per questo.

[mathbells]

"ekans":si possono sommare 2 vettori giacenti su 2 rette parallele...

Certo che sì! Qualsiasi coppia di vettori si può sommare!

"ekans":....e distinte ?

C'è da notare che non ha senso specificare che le rette sono distinte poiché i vettori sono classi di segmenti orientati, il che significa che vettori che differiscono solo per il punto di applicazione (e quindi che hanno stessa "inclinazione", verso e modulo) sono in realtà lo stesso vettore.

"ekans":Se si possono sommare, qual è la direzione del vettore somma risultante ?

La direzione del vettore somma è la stessa dei vettori sommati. Attenzione: per quanto detto sopra, la direzione di un vettore non deve essere identificata con una sola retta (quella che lo contiene), bensì con una classe di rette, e cioè tutte le rette parallele a quella che contiene il vettore in questione. Quindi, se ti stai chiedendo: "sì ma, la direzione della somma è quella del primo vettore o del secondo?", sappi che se i due vettori sono paralleli, la distinzione non ha senso perché la loro direzione è la stessa.

Per quanto riguarda il verso, dipende dal verso e dai moduli dei due vettori sommati.

Per chiarire ancora. Consideriamo un ordinario sistema di assi cartesiani $xOy$ con i rispettivi versori $\hat x$ e $\hat y$; consideriamo due vettori $\vec A$ e $\vec B$, di moduli rispettivamente $a$ e $b$, entrambi orizzontali ed orientati il primo verso destra e l'altro verso sinistra. Ora, anche se essi sono applicati in punti diversi, si scrivono sempre $\vec A = a\hat x$, e $\vec B = -b\hat x$ e quindi:

$\vec A + \vec B= (a - b)\hat x$

da cui si vede che, indipendentemente dai loro moduli (ma anche dai versi...) la direzione della somma è sempre $\hat x$ cioè quella dei due vettori di partenza