Soluzioni del seguente sistema? (meccanica razionale)

[InCuBuS_89]

$\{(mgcos(t)+2kRsen(t)cos(f)=0), (cos(t)sen(f)=0):}$

devono uscire 8 coppie di soluzioni..grazie

[lucagalbu]

Credo si faccia così. Dalla seconda hai due possibilità: o si annulla il seno o si annulla il coseno.
Possibilità 1-si annulla il coseno:
$t=(2n+1)\frac{\pi}{2}$
sostituisci nella prima e ottieni:
$f=(2m+1)\frac{\pi}{2}$

Se consideri il periodo $[0,2\pi]$ hai quindi due soluzioni per t (n=0, n=1) e a ciascuna di queste corrispondono due soluzioni per f (m=0, m=1) quindi hai un totale di quattro coppie di soluzioni.

Possibilità 2 - si annulla il seno
$f=k\pi$
sostituisci nella prima e hai:
$mgcos(t)=-2kRsin(t)$
elevi al qudrato, trasformi il coseno quadro in seno quadro, risolvi per $sin^2(t)$ e trovi:
$sin^2(t)=\frac{m^2g^2}{m^2g^2+4k^2R^2}$
adesso estrai la radice tenendo però conto che devi tenere solo la soluzione negativa (quando abbiamo elevato al quadrato, il seno era uguagliato a una quantità negativa):
$t=arcsin(-\frac{mg}{sqrt{m^2g^2+4k^2R^2}})$

Anche qui hai quattro coppie di soluzioni perchè nel periodo $[0, 2\pi]$ il seno si annulla 2 volte e l'arcoseno è a due valori.

Quindi in totale hai 8 coppie di soluzioni