Soluzioni all' equazione di Schrödinger
Ciao a tutti volevo chiedervi se la funzione che vi ho messo nella foto è giusta e se potreste indicarmi bene tutte le cose da sostituire.
Risposte
Dovrebbe essere la soluzione radiale per l'atomo di idrogeno. Comunque scherzi?
secondo me è sia la parte radiale che quella angolare ! come scherzi? in che senso?
Si, hai ragione. E' la soluzione generale normalizzata? Comunque non capisco la domanda. Puoi essere più preciso? Cosa vuoi sapere?
dovrebbe essere la forma generica delle funzioni d' onda orbitali per l'atomo di H, che intendi per normalizzata? io vorrei sapere bene cosa andare a sostituire alle varie lettere oltre a quelle rappresentanti i numeri quantici (n,l,m) per poter utilizzare tale funzione ! a dire il vero penso che basterebbe che mi spiegassi come faccio a trovare rho poi per il resto dovrei cavarmela..
L'equazione radiale che descrive il moto dell'atomo di idrogeno è
\[
\begin{split}
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{l(l+1)}{r^{2}} -\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r}\right]u(r)&=E_{nl}u(r)\\
\left[ 1-\frac{\rho_{0}}{\rho}+\frac{l(l+1)}{\rho^{2}}-\frac{d^{2}}{d\rho^{2}}\right]u(\rho)&=0
\end{split}
\]
Dove \(r\) è la coordinata polare. Prima è stata sostituita la seguente espressione per \(k\) (e quindi è stato eliminato \(E\)) e subito dopo le altre
\[
\begin{split}
k&=\frac{\sqrt{-2mE_{nl}}}{\hbar} \\
\rho&=kr \\
\rho_{0}&=\frac{me^{2}}{2 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2}k}
\end{split}
\]
In sostanza facendo una ulteriore sostituzione l'equazione differenziale è soddisfatta da
\[
u(\rho)=\rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho)=\rho^{l+1}e^{-\rho}\sum_{j=0}^{j_{max}}a_{j}\rho^{j}
\]
E se vai a vedere nel libro, ricordando come si è giunti all'equazione radiale, la soluzione diventa
\[
R_{nl}=\frac{1}{r}\rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho)
\]
I coefficienti \(a_{j}\) esistono non nulli in numero finito dato che la sommatoria arriva fino ad un certo \(j_{max}\). Significa che per \(j_{max}+1\) i coefficienti si annullano. Se poni \(a_{j_{max}+1}=0\) nell'espressione per i coefficienti
\[
a_{j+1}=\frac{2(j+l+1)-\rho_{0}}{(j+1)(j+2l+2)}a_{j}
\]
Ottieni
\[
\begin{split}
a_{j+1}&=\frac{2(j+l+1-n)-\rho_{0}}{(j+1)(j+2l+2)}a_{j} \\
a_{j_{max}+1}&=\frac{2(j_{max}+l+1-n)-\rho_{0}}{(j_{max}+1)(j_{max}+2l+2)}a_{j_{max}}\\
0&=\frac{2(j_{max}+l+1)-\rho_{0}}{(j_{max}+1-n)(j_{max}+2l+2)}a_{j_{max}}\\
\rho_{0}&=2(j_{max}+l+1) \mbox{ e con j_{max}+l+1=n} \\
\rho_{0}&=2n \\
E_{n}&=-\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\frac{1}{n^{2}} \mbox{ con } n \in \mathbb{N}
\end{split}
\]
\(n\) è il numero quanti principale che quindi determina l'energia. Fissato \(n\) e quindi l'energia, ricordando l'espressione \(j_{max}+l+1=n\) puoi scegliere a piacere gli altri parametri a patto che la loro somma sia uguale ad \(n\). La soluzione completa se aggiungo \(Y^{l}_{m}\) diventa
\[
\psi_{nlm}(r,\theta,\varphi)=R_{nl}(r)Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)
\]
Quindi come ho detto prima ti basta scegliere \(n\) da cui poi determini varie possibilità per \(l\) e \(j_{max}\) e sviluppi con i coefficienti trovati la serie precedente. Poi però devi normalizzare \(R_{nl}(r)\) così trovato prima di poterlo moltiplicare per \(Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)\). Se non hai voglia di calcolare le equazioni radiali di volta in volta c'è la formula già normalizzata per la soluzione completa
\[
\psi_{nlm}=\sqrt{\left(\frac{2}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}e^{-r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{l}L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)
\]
Con \(a=4 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2} / me^{2}\) e \(L\) è l'espressione per i polinomi di Laguerre. Trovi tutto a partire da pagina 133 del libro di meccanica quantistica di Griffiths, liberamente consultabile da qui link
\[
\begin{split}
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{l(l+1)}{r^{2}} -\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r}\right]u(r)&=E_{nl}u(r)\\
\left[ 1-\frac{\rho_{0}}{\rho}+\frac{l(l+1)}{\rho^{2}}-\frac{d^{2}}{d\rho^{2}}\right]u(\rho)&=0
\end{split}
\]
Dove \(r\) è la coordinata polare. Prima è stata sostituita la seguente espressione per \(k\) (e quindi è stato eliminato \(E\)) e subito dopo le altre
\[
\begin{split}
k&=\frac{\sqrt{-2mE_{nl}}}{\hbar} \\
\rho&=kr \\
\rho_{0}&=\frac{me^{2}}{2 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2}k}
\end{split}
\]
In sostanza facendo una ulteriore sostituzione l'equazione differenziale è soddisfatta da
\[
u(\rho)=\rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho)=\rho^{l+1}e^{-\rho}\sum_{j=0}^{j_{max}}a_{j}\rho^{j}
\]
E se vai a vedere nel libro, ricordando come si è giunti all'equazione radiale, la soluzione diventa
\[
R_{nl}=\frac{1}{r}\rho^{l+1}e^{-\rho}v(\rho)
\]
I coefficienti \(a_{j}\) esistono non nulli in numero finito dato che la sommatoria arriva fino ad un certo \(j_{max}\). Significa che per \(j_{max}+1\) i coefficienti si annullano. Se poni \(a_{j_{max}+1}=0\) nell'espressione per i coefficienti
\[
a_{j+1}=\frac{2(j+l+1)-\rho_{0}}{(j+1)(j+2l+2)}a_{j}
\]
Ottieni
\[
\begin{split}
a_{j+1}&=\frac{2(j+l+1-n)-\rho_{0}}{(j+1)(j+2l+2)}a_{j} \\
a_{j_{max}+1}&=\frac{2(j_{max}+l+1-n)-\rho_{0}}{(j_{max}+1)(j_{max}+2l+2)}a_{j_{max}}\\
0&=\frac{2(j_{max}+l+1)-\rho_{0}}{(j_{max}+1-n)(j_{max}+2l+2)}a_{j_{max}}\\
\rho_{0}&=2(j_{max}+l+1) \mbox{ e con j_{max}+l+1=n} \\
\rho_{0}&=2n \\
E_{n}&=-\frac{m}{2\hbar^{2}}\left(\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}\right)^{2}\frac{1}{n^{2}} \mbox{ con } n \in \mathbb{N}
\end{split}
\]
\(n\) è il numero quanti principale che quindi determina l'energia. Fissato \(n\) e quindi l'energia, ricordando l'espressione \(j_{max}+l+1=n\) puoi scegliere a piacere gli altri parametri a patto che la loro somma sia uguale ad \(n\). La soluzione completa se aggiungo \(Y^{l}_{m}\) diventa
\[
\psi_{nlm}(r,\theta,\varphi)=R_{nl}(r)Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)
\]
Quindi come ho detto prima ti basta scegliere \(n\) da cui poi determini varie possibilità per \(l\) e \(j_{max}\) e sviluppi con i coefficienti trovati la serie precedente. Poi però devi normalizzare \(R_{nl}(r)\) così trovato prima di poterlo moltiplicare per \(Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)\). Se non hai voglia di calcolare le equazioni radiali di volta in volta c'è la formula già normalizzata per la soluzione completa
\[
\psi_{nlm}=\sqrt{\left(\frac{2}{na}\right)^{3}\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}e^{-r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{l}L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)Y^{l}_{m}(\theta,\varphi)
\]
Con \(a=4 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2} / me^{2}\) e \(L\) è l'espressione per i polinomi di Laguerre. Trovi tutto a partire da pagina 133 del libro di meccanica quantistica di Griffiths, liberamente consultabile da qui link
Fai un tentativo. Con \(n=1\) segue \(l=0\) e di conseguenza (questo è un risultato della teoria del momento angolare che dovresti sapere) \(m=0\). Hai, per il polinomio di Laguerre associato, partendo dalle equazioni del libro:
\[
L^{2l+1}_{(n+l)-(2l+1)}\left(\frac{2r}{na}\right)=L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)=(-1)^{2l+1}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}L_{n+l}\left(\frac{2r}{na}\right)
\]
Mentre per il polinomio di Laguerre:
\[
L_{n+l}\left(\frac{2r}{na}\right)=e^{2r/na}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left[e^{-2r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{n+l}\right]
\]
immagine
\[
L^{2l+1}_{(n+l)-(2l+1)}\left(\frac{2r}{na}\right)=L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)=(-1)^{2l+1}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}L_{n+l}\left(\frac{2r}{na}\right)
\]
Mentre per il polinomio di Laguerre:
\[
L_{n+l}\left(\frac{2r}{na}\right)=e^{2r/na}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left[e^{-2r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{n+l}\right]
\]
immagine
ti ringrazio infinitamente, appena avrò tempo mi metto a guardare bene le tue risposte ! ti avverto che non sono un fisico ma uno studente di Scienze Naturali ! moolto appassionato di tutto questo ! a scuola non me le ha mai spiegate nessuno queste cose ma volevo cercare capirle ! pertanto perdona la mia ignoranza in materia..! a presto ! se ti viene in mente qualsiasi altra cosa scrivi pure..
Ti consiglio di non focalizzarti sulla risoluzione dell'equazione differenziale ma piuttosto studiarti le soluzioni. Se sei interessato all'argomento cerca il libro che ho postato prima. Se sai derivare, integrare, usare i numeri complessi e risolvere la solita equazione differenziale \(\ddot{x}+\lambda^{2}x=0\) equazione dell'oscillatore armonico classico, non dovresti avere problemi con quel libro. Solo non cercare di saltare subito alle cose interessanti senza avere capito i capitoli precedenti. Il libro non è troppo difficile ed è pieno di esercizi. Comunque, nota che nel passaggio delle equazione di Legendre così come scritte sul libro, e quelle che ho postato io che vanno inserite nella formula per \(\psi\) definitivo, ho utilizzato anche questa relazione nel cambio di variabile di derivazione (posto \(x=2r/na\), questo ti serve per comprendere come passare da \( L(x) \) a \( L(2r/na)\)) :
\[
\begin{split}
\frac{\partial f[r(x))]}{\partial x}&=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{na}{2}\frac{\partial }{\partial r} \\
\end{split}
\]
Mentre la condizione di normalizzazione precedente se hai presente l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda dovrebbe esserti chiara, altrimenti la trovi nelle prime pagine del libro che ti ho consigliato prima.
\[
\begin{split}
\frac{\partial f[r(x))]}{\partial x}&=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{\partial }{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial }{\partial r} \\
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{na}{2}\frac{\partial }{\partial r} \\
\end{split}
\]
Mentre la condizione di normalizzazione precedente se hai presente l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda dovrebbe esserti chiara, altrimenti la trovi nelle prime pagine del libro che ti ho consigliato prima.
\(\displaystyle a=4 \pi \epsilon_{0}\hbar^{2} / me^{2} \) sarebbe il raggio di bohr \(\displaystyle a_0 \) giusto? che vale circa 0.052917721092 nm mettiamo che io voglia plottare la distribuzione di probabilità radiale per l' atomo di H dell' orbitale 1s dovrei fare \(\displaystyle 4 \pi r^2\psi^2_{100}=4 \pi r^2\left(\sqrt{\left(\frac{2}{1a_0}\right)^{3}\frac{1}{2\cdot1[(1)!]^{3}}}e^{-\frac{r}{1a_0}}\cdot\left(\frac{1}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^2 \)
una cosa del genere ? non ho capito cosa sono e cosa cambia tra i polinomi di Laguerre associati e polinomi di Laguerre e basta.. ma quindi la formula che ho caricato io è diversa cioè in quella nel libro non c'è piu \(\displaystyle \rho \)...
una cosa del genere ? non ho capito cosa sono e cosa cambia tra i polinomi di Laguerre associati e polinomi di Laguerre e basta.. ma quindi la formula che ho caricato io è diversa cioè in quella nel libro non c'è piu \(\displaystyle \rho \)...
Si, è il raggio di Bohr. Comunque semplifica ulteriormente, come ho fatto io nel foglio che ho postato. Scrivi
\[
|\psi_{nlm}|^{2}=|\psi_{100}|^{2}=\left|\frac{2}{\sqrt{a^{3}}}e^{-r/a}\left(\frac{2r}{a}\right) Y^{\ l}_{m}\right|^{2}
\]
Vedi se non ho dimenticato qualcosa
Non ricordo l'espressione per \(Y^{l=0}_{m=0}\) quindi cercala e sostituiscila. Il polinomio di Laguerre associato lo calcoli a partire dal polinomio di Laguerre. Significa che li devi esplicitare entrambi e poi sostituire il secondo nel primo . Guarda bene la formula del polinomio di Laguerre associato. \(\rho\) qui non c'é. E' \(r\) la coordinata polare. \(\rho=kr\) ed è stata usata nei calcoli precedenti per risolvere l'equazione di Schrodinger.
\[
|\psi_{nlm}|^{2}=|\psi_{100}|^{2}=\left|\frac{2}{\sqrt{a^{3}}}e^{-r/a}\left(\frac{2r}{a}\right) Y^{\ l}_{m}\right|^{2}
\]
Vedi se non ho dimenticato qualcosa
Non ricordo l'espressione per \(Y^{l=0}_{m=0}\) quindi cercala e sostituiscila. Il polinomio di Laguerre associato lo calcoli a partire dal polinomio di Laguerre. Significa che li devi esplicitare entrambi e poi sostituire il secondo nel primo . Guarda bene la formula del polinomio di Laguerre associato. \(\rho\) qui non c'é. E' \(r\) la coordinata polare. \(\rho=kr\) ed è stata usata nei calcoli precedenti per risolvere l'equazione di Schrodinger.
Cavolo scusa ma ho visto solo adesso che mi hai risposto, non ho visto che era cambiata la pagina ! lol
Semplificando ulteriormente arrivo qui:
\(\displaystyle \displaystyle 4 \pi r^2\psi^2_{100}=4 \pi r^2\left|\frac{2}{\sqrt{a_0^{3}}}e^{-\frac{r}{a_0}}\cdot\left(\frac{1}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{2}}\right|^2 \)
Le armoniche sferiche per \(\displaystyle l=0\quad m=0 \) valgono (pagina 128 del libro):
\(\displaystyle Y^{l=0}_{m=0}=\left(\frac{1}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} \)
non ho capito perchè hai lasciato questo però:
\(\displaystyle \left(\frac{2r}{a_0}\right) \)
sempre per le armoniche sferiche cosa è quell' \(\displaystyle i \) mediante il quale viene elevato il numero di Nepero nella 4.32 a pagina 128 del libro ?
e un' altra cosa questi sono i polinomi di Laguerre presi da Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_di_Laguerre
\(\displaystyle L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \quad \mbox{per} \quad n=0,1,2,3, ... \)
questa è la derivata ennesima no? mi spieghi come si calcola?
\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n} \)
Semplificando ulteriormente arrivo qui:
\(\displaystyle \displaystyle 4 \pi r^2\psi^2_{100}=4 \pi r^2\left|\frac{2}{\sqrt{a_0^{3}}}e^{-\frac{r}{a_0}}\cdot\left(\frac{1}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{2}}\right|^2 \)
Le armoniche sferiche per \(\displaystyle l=0\quad m=0 \) valgono (pagina 128 del libro):
\(\displaystyle Y^{l=0}_{m=0}=\left(\frac{1}{4 \pi}\right)^{\frac{1}{2}} \)
non ho capito perchè hai lasciato questo però:
\(\displaystyle \left(\frac{2r}{a_0}\right) \)
sempre per le armoniche sferiche cosa è quell' \(\displaystyle i \) mediante il quale viene elevato il numero di Nepero nella 4.32 a pagina 128 del libro ?
e un' altra cosa questi sono i polinomi di Laguerre presi da Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Polinomi_di_Laguerre
\(\displaystyle L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \quad \mbox{per} \quad n=0,1,2,3, ... \)
questa è la derivata ennesima no? mi spieghi come si calcola?
\(\displaystyle \frac{d^n}{dx^n} \)
Per quanto riguarda quel termine aggiuntivo che non ti torna mi sono sbagliato. Quella \(i\) è una unità immaginaria link. I polinomi di Laguerre dovresti calcolarli direttamente dalla formula che ti ho postato io perché di danno direttamente l'espressione per la soluzione radiale. Quella si, è la derivata n-esima. Per \(n=1\) usa
\[
\begin{split}
\frac{d}{dx}[h(x)g(x)]&=[h'(x)]g(x)+h(x)[g'(x)] \\
\frac{d}{dx}[e^{f(x)}]&=f'(x)e^{f(x)} \\
\frac{d}{dx}[e^{f(x)}g(x)]&=[f'(x)e^{f(x)}]g(x)+e^{f(x)}[g'(x)] \\
\frac{d}{dx}(e^{-x}x)&=(-1)e^{-x}x+e^{-x}(1)
\end{split}
\]
E per \(n=2\) fai la derivata prima due volte.
\[
\begin{split}
\frac{d}{dx}[h(x)g(x)]&=[h'(x)]g(x)+h(x)[g'(x)] \\
\frac{d}{dx}[e^{f(x)}]&=f'(x)e^{f(x)} \\
\frac{d}{dx}[e^{f(x)}g(x)]&=[f'(x)e^{f(x)}]g(x)+e^{f(x)}[g'(x)] \\
\frac{d}{dx}(e^{-x}x)&=(-1)e^{-x}x+e^{-x}(1)
\end{split}
\]
E per \(n=2\) fai la derivata prima due volte.
il polinomio di Laguerre completo è questo giusto?
\(\displaystyle L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)=(-1)^{2l+1}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left\{e^{2r/na}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left[e^{-2r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{n+l}\right]\right\} \)
mi manca solo capire quale è l' argomento di questa derivata n-esima:
\(\displaystyle \frac{d}{dr} \)
Come faccio a risolverla?
\(\displaystyle L^{2l+1}_{n-l-1}\left(\frac{2r}{na}\right)=(-1)^{2l+1}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left\{e^{2r/na}\left(\frac{na}{2}\frac{d}{dr}\right)^{2l+1}\left[e^{-2r/na}\left(\frac{2r}{na}\right)^{n+l}\right]\right\} \)
mi manca solo capire quale è l' argomento di questa derivata n-esima:
\(\displaystyle \frac{d}{dr} \)
Come faccio a risolverla?
Si, come hai fatto tu bastava sostituire. Per quanto riguarda il resto prova prima a sostituire con con \(n=1,l=0,m=0\) e posta la formula. L'argomento dell'operatore differenziale è ciò che sta alla sua destra quindi devi prima risolvere l'operatore differenziale a destra, poi quello a sinistra.
Questa è la formula con \(\displaystyle n=1 \) quindi \(\displaystyle l=0 \) e \(\displaystyle m=0 \):
\(\displaystyle -\frac{1}{4}a^2_0e^{\frac{2r}{a_0}}\left(\frac{2e^{\frac{2r}{a_0}}}{a}+\frac{4e^{\frac{2r}{a_0}}r}{a^2}\right) \)
è giusta?
ma non dovrebbe essere uguale a 1 il risultato del polinomio con le suddette condizioni?
\(\displaystyle -\frac{1}{4}a^2_0e^{\frac{2r}{a_0}}\left(\frac{2e^{\frac{2r}{a_0}}}{a}+\frac{4e^{\frac{2r}{a_0}}r}{a^2}\right) \)
è giusta?
ma non dovrebbe essere uguale a 1 il risultato del polinomio con le suddette condizioni?
I calcoli per \(n=1,l=0,m=0\) li ho postati in un link immagine della pagina precedente. Guarda quelli. Altrimenti dovresti scrivere tutti i calcoli perché li possa guardare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo