Soluzione di Blasius. Aiutino?
Volevo chiedervi un aiuto. Sto leggendo qualcosa riguardo la soluzione di Blasius alla sua equazione:
\[
f^{\prime \prime \prime} +\frac{1}{2} f^{\prime \prime} f= 0
\]
Blasius la risolve con un polinomio di undicesimo grado. Le condizioni al contorno da applicare sono:
\[
\eta = 0: \quad \frac{df}{d \eta} = 0 , f(\eta) = 0 \\
\eta \to \infty : \quad \frac{df}{d \eta} = 1
\]
I calcoli sono molto noiosi, comunque, ad un certo punto si arriva qui:
\[
f(\eta) = \frac{A_2}{2!} \eta^2 - \frac{1}{2}\frac{A_2^2}{5!} \eta^5 + \frac{11}{4}\frac{A_2^3}{8!} \eta^8 - \frac{375}{8}\frac{A_2^4}{11!} \eta^{11}
\]
Dove $A_2$ è una costante.
A questo punto l'unica condizione al contorno che posso usare è quella per $\eta \to \infty$, ma non capisco come utilizzarla in modo da risalire ad una soluzione esatta. Infatti, se faccio la derivata e la mando a infinito quella tende ad infinito, non c'è modo di farla andare ad un valore finito se non imponendo che la costante sia un numero molto piccolo, o meglio, zero. Come posso calcolarla?
\[
f^{\prime \prime \prime} +\frac{1}{2} f^{\prime \prime} f= 0
\]
Blasius la risolve con un polinomio di undicesimo grado. Le condizioni al contorno da applicare sono:
\[
\eta = 0: \quad \frac{df}{d \eta} = 0 , f(\eta) = 0 \\
\eta \to \infty : \quad \frac{df}{d \eta} = 1
\]
I calcoli sono molto noiosi, comunque, ad un certo punto si arriva qui:
\[
f(\eta) = \frac{A_2}{2!} \eta^2 - \frac{1}{2}\frac{A_2^2}{5!} \eta^5 + \frac{11}{4}\frac{A_2^3}{8!} \eta^8 - \frac{375}{8}\frac{A_2^4}{11!} \eta^{11}
\]
Dove $A_2$ è una costante.
A questo punto l'unica condizione al contorno che posso usare è quella per $\eta \to \infty$, ma non capisco come utilizzarla in modo da risalire ad una soluzione esatta. Infatti, se faccio la derivata e la mando a infinito quella tende ad infinito, non c'è modo di farla andare ad un valore finito se non imponendo che la costante sia un numero molto piccolo, o meglio, zero. Come posso calcolarla?
Risposte
Tu stai applicando il metodo della decomposizione di Adomian all'equazione di Blasius. Quello che hai scritto non è $f(\eta)$ ma un suo troncamento all'undicesimo grado. (Poi non c'è sempre $A_2$).
Ciao, grazie della risposta!
Non ho capito che intendi per "non c'è sempre $A_2$". Nella funzione che ho scritto, dopo aver utilizzato la condizione al contorno $f(0)=0=f^{\prime}(0)$ e aver fatto un po' di calcoli non ci sono errori. In realtà, Blasius credo se la sia risolta imponendo che l'equazione differenziale può essere soddisfatta solo se le costanti che moltiplicano le varie potenze siano zero, proprio in virtù del fatto che deve essere valida per ogni $\eta$. Si, in effetti, non ho specificato che volevo sapere come trovare la soluzione approssimata.
Comunque, ho cercato un po' su internet e da questo punto si può usare l'approssimazione di Padé per trovare la costante $A_2$, che è cronologicamente plausibile, perché Padè la fece intorno alla fine del 1800, Blasius la risolse intorno al 1908 e Adomian formalizzó il suo metodo intorno al 1970-80.
Grazie, comunque, ora ho capito.
Non ho capito che intendi per "non c'è sempre $A_2$". Nella funzione che ho scritto, dopo aver utilizzato la condizione al contorno $f(0)=0=f^{\prime}(0)$ e aver fatto un po' di calcoli non ci sono errori. In realtà, Blasius credo se la sia risolta imponendo che l'equazione differenziale può essere soddisfatta solo se le costanti che moltiplicano le varie potenze siano zero, proprio in virtù del fatto che deve essere valida per ogni $\eta$. Si, in effetti, non ho specificato che volevo sapere come trovare la soluzione approssimata.
Comunque, ho cercato un po' su internet e da questo punto si può usare l'approssimazione di Padé per trovare la costante $A_2$, che è cronologicamente plausibile, perché Padè la fece intorno alla fine del 1800, Blasius la risolse intorno al 1908 e Adomian formalizzó il suo metodo intorno al 1970-80.
Grazie, comunque, ora ho capito.
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