Soluzione dell'equazione delle onde con funzione di Green
L'obiettivo e` cercare di risolvere l'equazione delle onde usando la tecnica della funzione di Green.
L'equazione delle onde e` del tipo
\begin{align*}
\Box \phi &= -4 \pi f
\end{align*}
ossia, espicitando il d'Alembertiano:
\begin{align*}
\frac{\partial \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial \phi }{ \partial y^2} + \frac{\partial \phi }{ \partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{ \partial t^2} = -4 \pi f
\end{align*}
Si procede in questo modo: si considera l'evento potenziato $ E(x,t,x',t') $ cui si richiede di soddisfare l'equazione
\begin{align*}
\Box E &= -4 \pi \delta^3 (x-x') \delta (t-t')
\end{align*}
Si vede subito che la soluzione dell'equazione di d'Alembert, in termini della funzione di Green $ E(x,t,x',t') $ sara` data da
\begin{align*}
\phi &= \int_{M^4} E(x,t,x',t')f(x',t')dx'^3dt'
\end{align*}
L'obiettivo e` dunque dare una rappresentazione esplicita della funzione di Green. La tecnica che viene seguita per farlo e` quella delle trasformate di Fourier.
Sappiamo che la rappresentazione della delta in trasformata di Fourier e`:
\begin{align*}
\delta^3 (x-x') \delta (t-t') &= \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^3 k \int d\omega e^{ik(x-x')}e^{-i \omega(t-t')}
\end{align*}
Si assume di poter fare la trasformata di Fourier anche della funzione di Green, scrivendo una cosa del tipo:
\begin{align*}
E &= \int d^3 k \int d\omega e(k,\omega) e^{ik(x-x')}e^{-i\omega(t-t')}
\end{align*}
con $e(k,\omega)$ da determinare.
Calcolando il d'Alembertiano di E ed eguagliandolo con la sua espressione in termini di $\delta$ si trova subito che
\begin{align*}
e(k,\omega)= \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})}
\end{align*}
Sono allora arrivata all'integrale
\begin{align*}
E &= \int d^3 k \int d\omega \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})} e^{ik(x-x')}e^{-i\omega(t-t')}\\
&= \int d^3 k e^{ik(x-x')} \int d\omega \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})}e^{-i\omega(t-t')}
\end{align*}
Si osserva che questo integrale non si puo` calcolare direttamente, perche` ha due poli sull'asse $\omega$.
Allora l'idea e` di passare al piano complesso e sfruttare il teorema dei residui.
Pongo $\omega = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)$, e sostituendo l'integrale diventa
\begin{align*}
E &= \int d^3 k e^{ik(x-x')} \int _C d\omega e(k,\omega) e^{-i \rho (t-t') \cos \theta + \rho (t-t') \sin \theta}\\
\end{align*}
Considerazioni fisiche ci portano a richiedere $E(x,t,x',t') \ne 0$ se $t \ge t'$ e $E(x,t,x',t') = 0$ se $t < t'$
A questo punto posso scegliere tra due circuiti: la parte "superiore" della circonferenza $\rho \cos \theta$ e $\rho \sin \theta$ unita al segmento dell'asse reale che congiunge $-\rho$ e $\rho$ oppure la parte inferiore, unita allo stesso segmento. La scelta viene fatta in base alla richiesta che l'integrale tenda a zero per valori di $\rho$ tendenti a $+ \infty$ (infatti voglio che il contributo della parte immaginaria sia nullo). Allora guardando la parte $e^{-i \rho (t-t') \cos \theta + \rho (t-t') \sin \theta}$ dell'integrale, vedo che devo imporre a $ \rho (t-t') \sin \theta $ di tendere a zero. Considerazioni di questo tipo portano a scegliere il cammino superiore ($\sin \theta > 0$) quando $t-t' < 0 $ e il cammino inferiore ($\sin \theta <0 $) quando $t-t' \ge 0$.
L'integrazione cui arriviamo pero` e` impropria: ho infatti dei poli lungo il bordo del cammino: per aggirare il problema posso spostare le singolarita` verso l'alto o verso il basso.
Osservo che spostando le singolarita` un po' verso l'alto, i loro residui danno contributo all'integrale del cammino superiore (che scelgo quando $t-t' <0$ ), in contraddizione con la richiesta $E(x,t,x',t') = 0$ se $t
Facendo l'integrale con il teorema dei residui si ottiene:
\begin{align*}
E &= \frac{1}{4 \pi ^3} \lim _{\epsilon \to 0} \int d^3 k \int _C d\omega \frac{1}{k^2 - \frac{1}{c^2} (\omega + i \epsilon)} e^{-i \omega (t-t') + ik(x-x')} =\\
& = \frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}=\\
&=\frac{\delta (t' + \frac{|x-x'|}{c} -t}{|x-x'|})
\end{align*}
E grazie alla nuova espressione per $E$ si puo` esplicitare l'integrale di partenza.
Molte cose mi sono poco chiare di tutto questo procedimento:
1) Qual e` il significato dell'introduzione di un "evento potenziato"?
2) Qual e` il significato fisico dell'imposizione $E(x,t,x',t') \ne 0$ se $t \ge t'$ e $E(x,t,x',t') = 0$ se $t < t'$ ?
3) In che modo il teorema dei residui applicato all'ultimo integrale mi da l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ ?
4) Come riesce a scrivere l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ in termini della $\delta$, nell'ultimo passaggio?
Grazie
L'equazione delle onde e` del tipo
\begin{align*}
\Box \phi &= -4 \pi f
\end{align*}
ossia, espicitando il d'Alembertiano:
\begin{align*}
\frac{\partial \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial \phi }{ \partial y^2} + \frac{\partial \phi }{ \partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{ \partial t^2} = -4 \pi f
\end{align*}
Si procede in questo modo: si considera l'evento potenziato $ E(x,t,x',t') $ cui si richiede di soddisfare l'equazione
\begin{align*}
\Box E &= -4 \pi \delta^3 (x-x') \delta (t-t')
\end{align*}
Si vede subito che la soluzione dell'equazione di d'Alembert, in termini della funzione di Green $ E(x,t,x',t') $ sara` data da
\begin{align*}
\phi &= \int_{M^4} E(x,t,x',t')f(x',t')dx'^3dt'
\end{align*}
L'obiettivo e` dunque dare una rappresentazione esplicita della funzione di Green. La tecnica che viene seguita per farlo e` quella delle trasformate di Fourier.
Sappiamo che la rappresentazione della delta in trasformata di Fourier e`:
\begin{align*}
\delta^3 (x-x') \delta (t-t') &= \frac{1}{(2 \pi)^4} \int d^3 k \int d\omega e^{ik(x-x')}e^{-i \omega(t-t')}
\end{align*}
Si assume di poter fare la trasformata di Fourier anche della funzione di Green, scrivendo una cosa del tipo:
\begin{align*}
E &= \int d^3 k \int d\omega e(k,\omega) e^{ik(x-x')}e^{-i\omega(t-t')}
\end{align*}
con $e(k,\omega)$ da determinare.
Calcolando il d'Alembertiano di E ed eguagliandolo con la sua espressione in termini di $\delta$ si trova subito che
\begin{align*}
e(k,\omega)= \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})}
\end{align*}
Sono allora arrivata all'integrale
\begin{align*}
E &= \int d^3 k \int d\omega \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})} e^{ik(x-x')}e^{-i\omega(t-t')}\\
&= \int d^3 k e^{ik(x-x')} \int d\omega \frac{1}{4\pi ^3 (k^2 - \frac{\omega ^2}{c^2})}e^{-i\omega(t-t')}
\end{align*}
Si osserva che questo integrale non si puo` calcolare direttamente, perche` ha due poli sull'asse $\omega$.
Allora l'idea e` di passare al piano complesso e sfruttare il teorema dei residui.
Pongo $\omega = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)$, e sostituendo l'integrale diventa
\begin{align*}
E &= \int d^3 k e^{ik(x-x')} \int _C d\omega e(k,\omega) e^{-i \rho (t-t') \cos \theta + \rho (t-t') \sin \theta}\\
\end{align*}
Considerazioni fisiche ci portano a richiedere $E(x,t,x',t') \ne 0$ se $t \ge t'$ e $E(x,t,x',t') = 0$ se $t < t'$
A questo punto posso scegliere tra due circuiti: la parte "superiore" della circonferenza $\rho \cos \theta$ e $\rho \sin \theta$ unita al segmento dell'asse reale che congiunge $-\rho$ e $\rho$ oppure la parte inferiore, unita allo stesso segmento. La scelta viene fatta in base alla richiesta che l'integrale tenda a zero per valori di $\rho$ tendenti a $+ \infty$ (infatti voglio che il contributo della parte immaginaria sia nullo). Allora guardando la parte $e^{-i \rho (t-t') \cos \theta + \rho (t-t') \sin \theta}$ dell'integrale, vedo che devo imporre a $ \rho (t-t') \sin \theta $ di tendere a zero. Considerazioni di questo tipo portano a scegliere il cammino superiore ($\sin \theta > 0$) quando $t-t' < 0 $ e il cammino inferiore ($\sin \theta <0 $) quando $t-t' \ge 0$.
L'integrazione cui arriviamo pero` e` impropria: ho infatti dei poli lungo il bordo del cammino: per aggirare il problema posso spostare le singolarita` verso l'alto o verso il basso.
Osservo che spostando le singolarita` un po' verso l'alto, i loro residui danno contributo all'integrale del cammino superiore (che scelgo quando $t-t' <0$ ), in contraddizione con la richiesta $E(x,t,x',t') = 0$ se $t
Facendo l'integrale con il teorema dei residui si ottiene:
\begin{align*}
E &= \frac{1}{4 \pi ^3} \lim _{\epsilon \to 0} \int d^3 k \int _C d\omega \frac{1}{k^2 - \frac{1}{c^2} (\omega + i \epsilon)} e^{-i \omega (t-t') + ik(x-x')} =\\
& = \frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}=\\
&=\frac{\delta (t' + \frac{|x-x'|}{c} -t}{|x-x'|})
\end{align*}
E grazie alla nuova espressione per $E$ si puo` esplicitare l'integrale di partenza.
Molte cose mi sono poco chiare di tutto questo procedimento:
1) Qual e` il significato dell'introduzione di un "evento potenziato"?
2) Qual e` il significato fisico dell'imposizione $E(x,t,x',t') \ne 0$ se $t \ge t'$ e $E(x,t,x',t') = 0$ se $t < t'$ ?
3) In che modo il teorema dei residui applicato all'ultimo integrale mi da l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ ?
4) Come riesce a scrivere l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ in termini della $\delta$, nell'ultimo passaggio?
Grazie
Risposte
"EtaBeta88":
Molte cose mi sono poco chiare di tutto questo procedimento:
1) Qual e` il significato dell'introduzione di un "evento potenziato"?
Confesso che questa e' la prima volta che sento questo termine...
2) Qual e` il significato fisico dell'imposizione $E(x,t,x',t') \ne 0$ se $t \ge t'$ e $E(x,t,x',t') = 0$ se $t < t'$ ?
E' la causalita': cioe' la propagazione del campo al tempo $t$ dipende solo dai tempi precedenti: per quelli successivi la funzione di Green (causale, ritardata) si annulla. Faccio notare che ci sono altre funzioni di Green, per esempio quella anticipata: in quel caso la dipendanza dal tempo e' opposta. Nel tuo caso ti serve quella ritardata.
3) In che modo il teorema dei residui applicato all'ultimo integrale mi da l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ ?
Ci sono due poli, uno a [tex]\omega=|k|[/tex] e l'altro a [tex]\omega = - |k|[/tex]. Se fai attenzione ai segni ottieni il seno come differenza di due esponenziali.
4) Come riesce a scrivere l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ in termini della $\delta$, nell'ultimo passaggio?
Credo che in quel passaggio tu abbia perso un [tex]e^{ik(x-x')}[/tex]. Dovresti ottenere (a meno di fattori costanti)
[tex]\int d^3 k \frac{1}{|\vec{k}|} (e^{-i |k| (t-t') + i \vec{k} \cdot (x-x')} - e^{+i |k| (t-t') + i k\cdot (x-x')}) = \int k^2 dk \int d\phi \int d(cos\theta) \frac{1}{k} (e^{-i k (t-t') + i k (cos\theta) |x-x'|} - \dots )[/tex]
con gli ovvi estremi di integrazione (nella espressione a dx $k$ sta per il modulo di $k$, ovviamente).
Se fai l'integrale [tex]\int d(cos\theta)[/tex] tiri giu' dall'esponenziale nel denominatore un fattore $k |x-x'|$, cosi' semplifichi entrambi i $k$ al numeratore, ottieni il denominatore [tex]\frac{1}{|x-x'|}[/tex], e integrando su $k$ ottieni direttamente la delta "ritardata" nella espressione finale.
"yoshiharu":
[quote="EtaBeta88"]
3) In che modo il teorema dei residui applicato all'ultimo integrale mi da l'espressione $\frac{c}{2 \pi ^2} \int d^3 k \frac {c \sin (ck (t-t'))}{|k|}$ ?
Ci sono due poli, uno a [tex]\omega=|k|[/tex] e l'altro a [tex]\omega = - |k|[/tex]. Se fai attenzione ai segni ottieni il seno come differenza di due esponenziali.
[/quote]
Ooops, nella fretta mi sa che ho cannato...c'e' un polo solo, e' la funzione ritardata... :-\
Il resto della risposta (mutatis mutandis dovrebbe essere giusto, comunque.
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