Solenoide percorso da corrente lineare nel tempo
Ciao a tutti, ho tra le mani un problemino che fa fare un po' di contazzi e mi dà un paio di grattacapi matematici, lo riporto per avere un po' di feedback 
Un solenoide sottile, di raggio $R$ e lunghezza $l$ costituito da $N$ spire è percorso da una corrente \(\displaystyle i(t) \) che cresce linearmente con il tempo tra i valori \(\displaystyle i_0 \) e \(\displaystyle i_f \), scorrendo in modo da creare un campo magnetico parallelo all'asse $z$ del solenoide. Con l'approssimazione del solenoide ideale, calcolare quando la corrente vale $i$:
(a) Il campo magnetico e il campo elettrico all'interno e all'esterno del solenoide.
Allora; in generale il campo magnetico di un solenoide è conosciuto e vale \(\displaystyle \mathbf{B}={\mu_0i(t)N}/{l} \ \mathbf{e}_z \) all'interno, ed è nullo all'esterno. Per quanto riguarda la funzione corrente: sappiamo che è lineare, ovvero \(\displaystyle i(t):=\alpha t+\beta \), con \(\displaystyle i(0)=\beta=i_0 \). Inoltre da \(\displaystyle i(t_f)=\alpha t_f+i_0=i_f \) posso leggere il valore di $alpha$.
Quindi posso pensare al campo elettrico, prodotto per induzione elettromagnetica dalla variazione del campo magnetico. Scelgo una sezione circolare di raggio $r$ e applico l'equazione di Faraday. Mi esce, se non ho errato con i conti, \[E(r)=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l}r.\] Per analogia con l'altro problema mi viene da dire che il campo elettrico risulta essere circonferenziale, ma in realtà non ne sono sicuro. Inoltre se non sbaglio visto che il campo magnetico è costante il campo elettrico dovrebbe essere lo stesso sia all'interno che all'esterno. Possibile?
(b) Energia totale.
Siccome non c'è né polarizzazione né magnetizzazione, l'energia elettromagnetica si calcola da questo integrale: \[\int_{ovunque} \frac{1}{2}\left(\epsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)d\tau. \] In coordinate cilindriche viene una roba così: \[\int_0^R \left(\frac{\epsilon_0}{2}\frac{\mu_0^2N^2\alpha^2}{4l^2}r^2+\frac{1}{\mu_0}\frac{\mu_0^2i^2(t)N^2}{l^2}\right) (2\pi rl)dr=\frac{\epsilon_0\pi\mu_0^2N^2\alpha^2}{16l}R^4+\frac{2\pi\mu_0^2i^2(t)N^2}{\mu_0l}R.\] (c) Se al centro del solenoide è posto con asse parallelo all'asse del solenoide un anello di raggio $r$, resistività $rho$ e spessore $h$, calcolare la densità di corrente e la corrente totale che lo percorre.
Anche qua ho pensato alla legge di Ohm. Conosco già il campo, quindi \[\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{E}/\rho=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l\rho}r. \] Per la corrente totale ho da fare un altro integralino. L'unica cosa che mi crea dubbi è questa: l'anello ha uno spessore $h$. Per la definizione di densità di corrente, la corrente totale è ottenuta dalla sua integrazione rispetto alla superficie della sezione, che è il solito cerchio. Come entra in gioco $h$?
Un solenoide sottile, di raggio $R$ e lunghezza $l$ costituito da $N$ spire è percorso da una corrente \(\displaystyle i(t) \) che cresce linearmente con il tempo tra i valori \(\displaystyle i_0 \) e \(\displaystyle i_f \), scorrendo in modo da creare un campo magnetico parallelo all'asse $z$ del solenoide. Con l'approssimazione del solenoide ideale, calcolare quando la corrente vale $i$:
(a) Il campo magnetico e il campo elettrico all'interno e all'esterno del solenoide.
Allora; in generale il campo magnetico di un solenoide è conosciuto e vale \(\displaystyle \mathbf{B}={\mu_0i(t)N}/{l} \ \mathbf{e}_z \) all'interno, ed è nullo all'esterno. Per quanto riguarda la funzione corrente: sappiamo che è lineare, ovvero \(\displaystyle i(t):=\alpha t+\beta \), con \(\displaystyle i(0)=\beta=i_0 \). Inoltre da \(\displaystyle i(t_f)=\alpha t_f+i_0=i_f \) posso leggere il valore di $alpha$.
Quindi posso pensare al campo elettrico, prodotto per induzione elettromagnetica dalla variazione del campo magnetico. Scelgo una sezione circolare di raggio $r$ e applico l'equazione di Faraday. Mi esce, se non ho errato con i conti, \[E(r)=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l}r.\] Per analogia con l'altro problema mi viene da dire che il campo elettrico risulta essere circonferenziale, ma in realtà non ne sono sicuro. Inoltre se non sbaglio visto che il campo magnetico è costante il campo elettrico dovrebbe essere lo stesso sia all'interno che all'esterno. Possibile?
(b) Energia totale.
Siccome non c'è né polarizzazione né magnetizzazione, l'energia elettromagnetica si calcola da questo integrale: \[\int_{ovunque} \frac{1}{2}\left(\epsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)d\tau. \] In coordinate cilindriche viene una roba così: \[\int_0^R \left(\frac{\epsilon_0}{2}\frac{\mu_0^2N^2\alpha^2}{4l^2}r^2+\frac{1}{\mu_0}\frac{\mu_0^2i^2(t)N^2}{l^2}\right) (2\pi rl)dr=\frac{\epsilon_0\pi\mu_0^2N^2\alpha^2}{16l}R^4+\frac{2\pi\mu_0^2i^2(t)N^2}{\mu_0l}R.\] (c) Se al centro del solenoide è posto con asse parallelo all'asse del solenoide un anello di raggio $r$, resistività $rho$ e spessore $h$, calcolare la densità di corrente e la corrente totale che lo percorre.
Anche qua ho pensato alla legge di Ohm. Conosco già il campo, quindi \[\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{E}/\rho=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l\rho}r. \] Per la corrente totale ho da fare un altro integralino. L'unica cosa che mi crea dubbi è questa: l'anello ha uno spessore $h$. Per la definizione di densità di corrente, la corrente totale è ottenuta dalla sua integrazione rispetto alla superficie della sezione, che è il solito cerchio. Come entra in gioco $h$?
Risposte
"Nagato":
mi viene da dire che il campo elettrico risulta essere circonferenziale, ma in realtà non ne sono sicuro.
Direi di sì. Le linee del campo sono circonferenze perpendicolari all'asse del solenoide.
"Nagato":
Inoltre se non sbaglio visto che il campo magnetico è costante il campo elettrico dovrebbe essere lo stesso sia all'interno che all'esterno. Possibile?
Costante, intendi uniforme all'interno del solenoide? Perchè costante nel tempo non è. Però, avevi detto che il campo è uniforme all'interno e nullo all'esterno: perchè dovrebbe esserci un campo elettrico all'esterno?
Beh, se il campo magnetico sta solo all'interno, non è detto che anche il campo elettrico sia solo interno, o sbaglio? Se applico Faraday per un anello con \(\displaystyle r>R \) alla fine la circuitazione del campo è la stessa, e il flusso del campo magnetico "ignora" tutta la superficie all'infuori della sezione del cilindro... o forse prendo un granchio e proprio perché il flusso del campo magnetico è nullo all'infuori del cilindro il campo elettrico risulta essere nullo? 
"Nagato":
Beh, se il campo magnetico sta solo all'interno, non è detto che anche il campo elettrico sia solo interno, o sbaglio? Se applico Faraday per un anello con \(\displaystyle r>R \) alla fine la circuitazione del campo è la stessa, e il flusso del campo magnetico "ignora" tutta la superficie all'infuori della sezione del cilindro... o forse prendo un granchio e proprio perché il flusso del campo magnetico è nullo all'infuori del cilindro il campo elettrico risulta essere nullo?
Hai ragione, ho detto una sciocchezza. All'interno il campo elettrico cresce linearmente con la distanza dall'asse (la lunghezza della circonferenza va come $r$ e il flusso - o meglio, $(dPhi)/(dt)$) come $r^2$), all'esterno è inversamente proporzionale al raggio (la lunghezza va come $r$ e il flusso è costante)
Ho sistemato e mi tornano le cose 
per l'ultimo punto invece mi sai dire qualcosa?
per l'ultimo punto invece mi sai dire qualcosa?
"Nagato":
per l'ultimo punto invece mi sai dire qualcosa?
Come si fa a dire che la superficie è un cerchio? Sembrerebbe piuttosto un rettangolo, cioè una fetta tagliata da un tubo, dove lo spessore $h$ è uno dei lati. Ma l'altro?
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