Sns - Quantità di moto
Vi posto un esercizio della Sns (anno 1977, n.1) su cui avrei bisogno di alcune precisazioni.
"Su un vagone di 5 tonnellate, mobile su supporti senza attrito, sono piazzati una mitragliatrice e un bersaglio (in grado di assorbire i colpi) distanti fra loro 5 m. La mitragliatrice comincia a sparare 10 proiettili di 100 g al secondo, avendo velocità iniziale di 500 m/s. Di conseguenza il vagone si muove.
a) In che direzione, e perchè?
b) Si descriva il moto istantaneo fra uno sparo e l'altro
c) Qual è la velocità media risultante? Quale ne è l'interpretazione in termini del baricentro vagone-proiettili?"
a) Il vagone si muove in direzione opposta alla direzioni di sparo dei proiettili, a causa della conservazione della quantità di moto.
b) Ad ogni sparo la quantità di moto sarà sempre conservata. Ho pensato di calcolare la velocità impressa al vagone dopo il primo sparo ( $mv=MV$), ma non so in che modo migliore 'descrivere il moto istantaneo tra uno sparo e l'altro'
c) Posso facilmente calcolare la velocità finale del vagone ( $n*mv=MV_f$), ma cosa si intende con 'velocità media risultante'? Per quanto riguarda il baricentro, io direi che esso rimane fermo durante tutto il tempo degli spari, conservandosi la quantità di moto..
Grazie!
"Su un vagone di 5 tonnellate, mobile su supporti senza attrito, sono piazzati una mitragliatrice e un bersaglio (in grado di assorbire i colpi) distanti fra loro 5 m. La mitragliatrice comincia a sparare 10 proiettili di 100 g al secondo, avendo velocità iniziale di 500 m/s. Di conseguenza il vagone si muove.
a) In che direzione, e perchè?
b) Si descriva il moto istantaneo fra uno sparo e l'altro
c) Qual è la velocità media risultante? Quale ne è l'interpretazione in termini del baricentro vagone-proiettili?"
a) Il vagone si muove in direzione opposta alla direzioni di sparo dei proiettili, a causa della conservazione della quantità di moto.
b) Ad ogni sparo la quantità di moto sarà sempre conservata. Ho pensato di calcolare la velocità impressa al vagone dopo il primo sparo ( $mv=MV$), ma non so in che modo migliore 'descrivere il moto istantaneo tra uno sparo e l'altro'
c) Posso facilmente calcolare la velocità finale del vagone ( $n*mv=MV_f$), ma cosa si intende con 'velocità media risultante'? Per quanto riguarda il baricentro, io direi che esso rimane fermo durante tutto il tempo degli spari, conservandosi la quantità di moto..
Grazie!
Risposte
Il baricentro (meglio dire Centro di Massa) è dato da:
$R=(1/M)sum_{i=1}^N (m_ir_i)$
..se i proiettili vengono fermati dal bersaglio il centro di massa si sposta... $m_1v_1+m_2v_2=mv_t$
La conservazione della quantità di moto può essere anche interpretata come il tentativo di mantenere fisso il centro di massa, quindi se un
proiettile che si distacca dal vagone con velocità $v_1$ viene fermato il centro di massa si sposta.
$P=sum_{i=1}^N (m_iv_i)=(d/dt)sum_{i=1}^N (m_ir_i)$
$R=(1/M)sum_{i=1}^N (m_ir_i)$
..se i proiettili vengono fermati dal bersaglio il centro di massa si sposta... $m_1v_1+m_2v_2=mv_t$
La conservazione della quantità di moto può essere anche interpretata come il tentativo di mantenere fisso il centro di massa, quindi se un
proiettile che si distacca dal vagone con velocità $v_1$ viene fermato il centro di massa si sposta.
$P=sum_{i=1}^N (m_iv_i)=(d/dt)sum_{i=1}^N (m_ir_i)$
a) ok
b) quasi ok. considera il primo sparo: è vero che nel tempo di volo del proiettile il vagone si muove, ma cosa succede quando il proiettile viene assorbito dal bersaglio? Poi, quanti proiettili in volo ci possono essere al massimo in un dato istante (se la velocità è $500 m/s$ e la distanza del bersaglio $5 m$ allora il tempo di volo è $0,01 s$, mentre la mitragliatrice spara $10 "colpi"/s$, cioè 1 colpo ogni $0.1 s$, quindi …). Traccia il diagramma velocità-tempo del vagone, ti tornerà utile al punto c.).
c) dalla risposta al punto b) vedi che bisogna fare attenzione nel sommare. In altre parole: i termini di quantità di moto $mv$ che hai moltiplicato per $n$ sussistono tutti allo stesso momento? Il sistema vagone-proiettili è isolato, quindi, come hai detto, il CM (o il baricentro, in questo caso è equivalente) rimane fermo, prima degli spari, durante e dopo.
Ad essere rigorosi occorrerebbe considerare anche il fatto che dopo lo sparo la massa del vagone è diminuita (le 5 tonnellate iniziali sono il vagone, la mitragliatrice ed i proiettili), puoi anche calcolare qual è l’approssimazione introdotta nel trascurare la variazione di massa dovuta allo sparo.
b) quasi ok. considera il primo sparo: è vero che nel tempo di volo del proiettile il vagone si muove, ma cosa succede quando il proiettile viene assorbito dal bersaglio? Poi, quanti proiettili in volo ci possono essere al massimo in un dato istante (se la velocità è $500 m/s$ e la distanza del bersaglio $5 m$ allora il tempo di volo è $0,01 s$, mentre la mitragliatrice spara $10 "colpi"/s$, cioè 1 colpo ogni $0.1 s$, quindi …). Traccia il diagramma velocità-tempo del vagone, ti tornerà utile al punto c.).
c) dalla risposta al punto b) vedi che bisogna fare attenzione nel sommare. In altre parole: i termini di quantità di moto $mv$ che hai moltiplicato per $n$ sussistono tutti allo stesso momento? Il sistema vagone-proiettili è isolato, quindi, come hai detto, il CM (o il baricentro, in questo caso è equivalente) rimane fermo, prima degli spari, durante e dopo.
Ad essere rigorosi occorrerebbe considerare anche il fatto che dopo lo sparo la massa del vagone è diminuita (le 5 tonnellate iniziali sono il vagone, la mitragliatrice ed i proiettili), puoi anche calcolare qual è l’approssimazione introdotta nel trascurare la variazione di massa dovuta allo sparo.
Il bersaglio quindi si trova attaccato al vagone?
allora il CM non si sposta...
ma l'energia cinetica dei proiettili $1/2mv^2$ viene assorbita dal vagone in movimento....
allora il CM non si sposta...
ma l'energia cinetica dei proiettili $1/2mv^2$ viene assorbita dal vagone in movimento....
"Ottaviano":
Il bersaglio quindi si trova attaccato al vagone?
Sì, il bersaglio è considerato un tutt'uno con il vagone, per questo non scorre indietro e di conseguenza il vagone avanti. Lo ho dedotto dalla mancanza di dati..
"Cmax":
considera il primo sparo: è vero che nel tempo di volo del proiettile il vagone si muove, ma cosa succede quando il proiettile viene assorbito dal bersaglio?
Forse, e sottolineo FORSE, il vagone tende a tornare indietro perché comunque la quantità di moto si conserva, e andando il proiettile a "ficcarsi" nel bersaglio (perdonatemi il lessico!), la massa del bersaglio più proiettile si sposterà in avanti facendo avanzare anche il vagone?
Il carrello si sposta in direzione opposta a quella del proiettile fintanto il proiettile non colpisce il bersaglio.
Dopo, quando il proiettile colpisce il bersaglio, l'energia cinetica del proiettile viene riassorbita dal carrello
che (nel caso di urto perfettamente anelastico) quindi si ferma.
Quindi il carrello si è spostato. Ma attenzione perchè il CM non si è spostato! Difatti la distribuzione della massa nel sistema è cambiata
e anche se il carrello si è spostato (di poco... secondo i miei calcoli - spero corretti - il proiettile colpisce il bersaglio dopo T=0,0099 s ) il
CM è rimasto fermo.
Se poi i proiettili vengono sparati uno ogni decimo di secondo (media)..allora al successivo sparo il carrello sarà già fermo
e quindi puoi ripetere i calcoli per i restanti proiettili.....
e vedere di quanto si sposta in totale il carrello.... (credo di circa $9.9*10^-4 m$)
Tuttavia controlla i miei calcoli.....è meglio....
Dopo, quando il proiettile colpisce il bersaglio, l'energia cinetica del proiettile viene riassorbita dal carrello
che (nel caso di urto perfettamente anelastico) quindi si ferma.
Quindi il carrello si è spostato. Ma attenzione perchè il CM non si è spostato! Difatti la distribuzione della massa nel sistema è cambiata
e anche se il carrello si è spostato (di poco... secondo i miei calcoli - spero corretti - il proiettile colpisce il bersaglio dopo T=0,0099 s ) il
CM è rimasto fermo.
Se poi i proiettili vengono sparati uno ogni decimo di secondo (media)..allora al successivo sparo il carrello sarà già fermo
e quindi puoi ripetere i calcoli per i restanti proiettili.....
e vedere di quanto si sposta in totale il carrello.... (credo di circa $9.9*10^-4 m$)
Tuttavia controlla i miei calcoli.....è meglio....
"Ottaviano":
il proiettile colpisce il bersaglio dopo T=0,0099 s
Scusami Ottaviano, non ho capito questa affermazione..
Se non ho capito male la velocità iniziale del proiettile è 500 m/s.
Se il carrello non si spostasse e considerassimo il moto del proiettile privo di attrito
allora il proiettile colpirebbe il bersaglio dopo $t=5/500 [m/(m/s)]=0,01$ (moto rettilineo uniforme).
Tuttavia il carrello ( per la conservazione della quantità di moto ) si sposta nella direzione opposta al proiettile
con una velovità $v_1$.
La velocità relativa del proiettile diventa $500 m/s+v_1$, e quindi colpisce il bersaglio un pò prima....
Se il carrello non si spostasse e considerassimo il moto del proiettile privo di attrito
allora il proiettile colpirebbe il bersaglio dopo $t=5/500 [m/(m/s)]=0,01
Tuttavia il carrello ( per la conservazione della quantità di moto ) si sposta nella direzione opposta al proiettile
con una velovità $v_1$.
La velocità relativa del proiettile diventa $500 m/s+v_1$, e quindi colpisce il bersaglio un pò prima....
Chiaro, grazie.
Ora, per quanto riguarda quella $v_1$, la posso calcolare con la quantità di moto, immagino. Cioè
$m_p*v_p=M*v_1$
$v_1=m_p/M *v_p=(0,1)/5000 *500=0,01 m/s$
La velocità relativa del proiettile sarà $v=500+0,01=500,01 m/s$, e quindi percorrerà i 5 metri in $t=(5 m)/(500,01 m/s)=0,01 s$
Che ne dici?
Ora, per quanto riguarda quella $v_1$, la posso calcolare con la quantità di moto, immagino. Cioè
$m_p*v_p=M*v_1$
$v_1=m_p/M *v_p=(0,1)/5000 *500=0,01 m/s$
La velocità relativa del proiettile sarà $v=500+0,01=500,01 m/s$, e quindi percorrerà i 5 metri in $t=(5 m)/(500,01 m/s)=0,01 s$
Che ne dici?
Per essere precisi la massa del carrello (o vagone) è:
$M_[t]=5000 Kg$ massa totale iniziale
$M_[v]=(5*10^3)-0.1 Kg$ massa vagone uno dopo sparo
$m=0,1 Kg$ massa proiettile
quindi all'inizio: $m*v+M_[v]*u=M_[t]*v_[0]=0$ poichè la velocità iniziale del sistema è nulla....
quindi la velocità del vagone dopo lo sparo sarà: $u=-(m*v)/(M_[t]-m)$
che sommata a quella del proiettile diventa: $(m*v)/(M_[t]-m)+500$ (volocità relativa del proiettile dopo lo sparo rispetto al
sistema di riferimento carrello)
$M_[t]=5000 Kg$ massa totale iniziale
$M_[v]=(5*10^3)-0.1 Kg$ massa vagone uno dopo sparo
$m=0,1 Kg$ massa proiettile
quindi all'inizio: $m*v+M_[v]*u=M_[t]*v_[0]=0$ poichè la velocità iniziale del sistema è nulla....
quindi la velocità del vagone dopo lo sparo sarà: $u=-(m*v)/(M_[t]-m)$
che sommata a quella del proiettile diventa: $(m*v)/(M_[t]-m)+500$ (volocità relativa del proiettile dopo lo sparo rispetto al
sistema di riferimento carrello)
Ok. Questa è la velocità del vagone dopo uno sparo. Se volessi generalizzare tale velocità dopo $n$ spari, potrei dire:
$n*m*v + (M_t-n*m)*u=0$, anche se non credo che questa generalizzazione mi sia molto utile..
Tornando alla richiesta iniziale b) dell'esercizio ("Si descriva il moto istantaneo fra uno sparo e l'altro") secondo te bisogna aggiungere altro a quello che abbiamo detto finora (cioé: ad ogni sparo il proiettile precedente sarà già dentro il bersaglio; mentre il proiettile è in volo il vagone si sposta in direzione opposta con velocità $u$ calcolata prima e quindi in 100 colpi percorre..)??
$n*m*v + (M_t-n*m)*u=0$, anche se non credo che questa generalizzazione mi sia molto utile..
Tornando alla richiesta iniziale b) dell'esercizio ("Si descriva il moto istantaneo fra uno sparo e l'altro") secondo te bisogna aggiungere altro a quello che abbiamo detto finora (cioé: ad ogni sparo il proiettile precedente sarà già dentro il bersaglio; mentre il proiettile è in volo il vagone si sposta in direzione opposta con velocità $u$ calcolata prima e quindi in 100 colpi percorre..)??
Secondo voi, cosa si intende con "velocità media risultante" (punto c)?
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