Situazione fisica tradizionale [Asta che colpisce una massa]

[giuscri]

Stavo pensando alla seguente situazione fisica -piuttosto tradizionale, direi. Un'asta si trova inizialmente in quiete parallela al terreno e può ruotare attorno ad un asse passante per uno dei suoi estremi. Viene lasciata libera di ruotare -la rotazione attorno all'asse non comporta perdita di energia meccanica- e dopo aver spazzato un arco ampio \(\frac{\pi}2\) colpisce un massa puntiforme che è libera di scivolare su un piano orizzontale privo di attrito.

Quali grandezze dovrebbero conservarsi? L'energia meccanica durante la rotazione dell'asta attorno al suo asse e il momento angolare durante tutta la realizzazione della situazione descritta. Quindi: \[L^{(i)} = I \omega\] \[L^{(f)} = - l \cdot (mv_0)\] con \(\omega\) negativo, dato che l'asta ruota in senso orario. \[\Rightarrow v_0 = \frac{- I\omega}{lm}\] \(\omega\) lo si ricava dalla conservazione dell'energia meccanica via \[E^{(i)} = M g \frac{l}2 = \frac{1}2 I \omega^2 = E^{(f)}\] \[\Rightarrow \omega = \dots\]

[mathbells]

A giudicare dalle equazioni che hai scritto per la conservazion edel momento angolare mi pare di capire che stai assumendo l'ipotesi che l'asta, dopo aver colpito la massa $m$, rimanga ferma...ma la validità di questa ipotesi dipende dalla massa $m$, quindi non credo che vadano bene quelle equazioni

[yoshiharu]

"giuscri":
Quali grandezze dovrebbero conservarsi?
...
il momento angolare durante tutta la realizzazione della situazione descritta.

E la gravita' non ha effetto? Se si conserva il momento angolare come fa la sbarra a cadere?

[giuscri]

"yoshiharu":[quote="giuscri"]
Quali grandezze dovrebbero conservarsi?
...
il momento angolare durante tutta la realizzazione della situazione descritta.

E la gravita' non ha effetto? Se si conserva il momento angolare come fa la sbarra a cadere?[/quote]

... ops. Corretto. La conservazione che mi interessa usare è quella della conservazione del momento angolare per istanti vicini a quelli in cui avviene l'urto -voglio ricondurmi a casi già studiati.

Pensando a quanto diceva mathbells pensavo di scrivere un'equazione del tipo \[|\Delta{\vec{L}}| = (I\omega_1 - lmv_0) - (I\omega_0) = 0\] di modo da non trascurare il fatto che l'asta, in generale, continua a ruotare -dopo aver urtato la massetta. Ma, al momento, non mi viene nessun'altra informazione che possa estrarre dal sistema -e che possa usare per esprimere \(v_0\), che era la questione iniziale in realtà.

[yoshiharu]

"giuscri":
Pensando a quanto diceva mathbells pensavo di scrivere un'equazione del tipo \[|\Delta{\vec{L}}| = (I\omega_1 - lmv_0) - (I\omega_0) = 0\] di modo da non trascurare il fatto che l'asta, in generale, continua a ruotare -dopo aver urtato la massetta. Ma, al momento, non mi viene nessun'altra informazione che possa estrarre dal sistema

Prova con la conservazione dell'energia. Ti da' sia la velocita' angolare immediatamente prima dell'urto, sia una ulteriore equazione per risolvere il sistema dell'urto.

Altrimenti ci sono sempre gli integrali ellittici

[ralf86]

com'è che si possono utilizzare gli integrali ellittici? (senza ironia, mi interessa sul serio)

[yoshiharu]

"ralf86":com'è che si possono utilizzare gli integrali ellittici? (senza ironia, mi interessa sul serio)

Beh, era una mezza battuta, comunque se consideri l'equazione del moto dell'asta ($\theta$ e' l'angolo con la verticale)

[tex]\ddot\theta = -\beta \sin \theta[/tex]

considerate le condizioni iniziali (asta ferma a $\theta=\frac{\pi}{2}$) hai

[tex]\dot\theta^2=2\beta\cos\theta[/tex]

In forma implicita la soluzione sarebbe se non erro

[tex]t = \int_{\frac{\pi}{2}}^\theta \ d\theta' \frac{1}{\sqrt{1-2\sin^2\frac{\theta'}{2}}}[/tex]

Da cui si vede che stavo scherzando