Sistemi non inerziali e forze fittizie

[Flamber]

Studiando il capitolo sui sistemi non inerziali mi è venuto un dubbio.

fissato un sistema di riferimento inerziale $S$, un altro sistema $S'$ che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo è anch'esso un istema inerziale.

Supponiamo invece che il sistema $S'$ ruoti, che percorra una reaiettoria non rettilinea, e vari l'accelerazione anche in modulo.

Esiste un caso in cui la accelerazione di Coriolis e quella di trascinamento si bilanciano perfettamente, nonostante non siano nulle, e che quindi dal sistema $S'$ si osservi la stessa accelerazione si $S$ ?

[Faussone]

Dato che nessuno ha risposto mi rispondo io.
Trovo infatti questo tema come un'occasione interessante per capir bene i concetti di accelerazioni relative, assolute, centripete e di Coriolis, nonché di approfondire il concetto di rotazione di un sistema di riferimento.

Riepilogo qui il nocciolo della questione.
La richiesta iniziale era se fosse possibile trovare un sistema mobile, dotato eventualmente anche di velocità angolare, in cui l'accelerazione relativa e quella assoluta (rispetto ad un sistema fisso esterno quindi) di un punto coincidessero.

Per mostrare un caso banale (ma non troppo in cui cioè il sistema mobile non fosse in pratica fisso) ho citato questo esempio.
Consideriamo una piattaforma rotante (una giostra in pratica) in cui, per iniziare, il centro di rotazione sia fermo rispetto a un sistema fisso esterno. Consideriamo una farfalla sospesa in aria, quindi immobile rispetto ad un sistema di riferimento fisso esterno, e chiediamoci se riusciamo a dotare il centro della giostra di un moto tale per cui l'accelerazione relativa della farfalla in quel riferimento mobile sia nulla come lo è l'accelerazione della farfalla rispetto al sistema fisso esterno.


Vale in generale, scomponendo l'accelerazione in tutti i suoi termini:
$vec(a)=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$

ora considerando nulla l'accelerazione angolare della giostra e nulla l'accelerazione assoluta della farfalla:

$0=vec(a_r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$

nel caso in cui il perno è sempre fermo abbiamo:

$0=vec(a_r)+ vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$

per cui si ha per l'accelerazione relativa

$vec(a_r) = - (vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r))$

nel sistema della giostra avremmo che $v_r=omega r$ in modulo e diretta in direzione ortogonale al raggio vettore (dalla giostra la farfalla appare descrivere una circonferenza).
Per l'accelerazione centripeta vale invece:
$vec a_c = vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r))$ che risulta un vettore di modulo $omega^2 r$ diretto radialmente verso il centro della giostra.
Per Coriolis vale invece:
$vec a_{Co}=2 vec(omega) \times vec(v_r)$ che risulta un vettore di modulo $2 omega^2 r$ e diretto radialmente, ma in verso opposto al centro e quindi opposto all'accelerazione centripeta.
Queste due accelerazioni sommate sono pari a un vettore in modulo pari a $omega^2 r$ e avente direzione radiale centrifuga.

Per cui $vec a_r$ essendo opposto a questo vettore è pari ad un vettore centripeto di modulo $omega^2 r$. Questo d'altra parte doveva essere ovvio perché il moto della farfalla rispetto alla giostra è di fatto una circonferenza.

Consideriamo ora che per far sì che anche l'accelerazione relativa della farfalla sia nulla potremmo far muovere il centro della giostra $O$, infatti si può scrivere che affinché le accelerazioni assolute e relativa della farfalla siano nulle dovrà essere:

$vec(a_o) = - (vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r))$

Ricavare da questa accelerazione il moto che occorre dare al centro della giostra non è semplice, va infatti osservato che anche se, come deve essere, $vec omega$ e $vec v_r$ fossero costanti, $vec r$, raggio vettore non sarebbe costante. Infatti in questo nuovo sistema relativo la farfalla dovrà avere accelerazione relativa costante e quindi la velocità $vec v_r$ sarà costante, pertanto il raggio vettore $r$ non può rimanere costante.

Tuttavia per scrivere il moto del centro della giostra senza fare alcun integrale, si può imporre che dal sistema di riferimento relativo la farfalla venga vista muoversi di velocità $vec v_r$ costante pari a quella che ha al primo istante di tempo considerato.


La posizione della farfalla nel sistema di riferimento fisso può scriversi come somma vettoriale della posizione della farfalla rispetto al sistema di riferimento della giostra (a centro mobile) più la posizione del centro della giostra rispetto al sistema di riferimento fisso:
$vec P = (vec P - vec O) + vec O$
($vec P$ posizione della farfalla nel sistema fisso, $vec O$ posizione del centro della giostra, sempre nel sistema fisso esterno, e $(vec P - vec O)$ posizione della farfalla nel sistema relativo ).
Per cui

$vec O = vec P - (vec P - vec O)$

con $vec P = ({: ( r ),( 0) :})$ posizione della farfalla nel sistema fisso
e
$vec P - vec O=((r),(-omega t r))$ quest'ultimo vettore è così scritto in termini dei versori della terna solidale alla giostra;
in termini di versori della terna fissa vale (supponendo che la giostra ruoti in senso orario):
$vec P - vec O=({: ( cos omega t , -sin omega t ),( sin omegat , cos omega t ) :})((r),(-omega t r)) $

Sostituendo e facendoi conti si ottiene per la poszione di $vec O$ in funzione del tempo nel sistema fisso:

$vec O =((r -r cos omega t - omegat r sin omega t),(-r sin omega t + omega t r cos omega t))$

che è un moto complesso che dovrebbe permettere di misurare nel sistema relativo accelerazione relativa nulla per la farfalla (così come è nel sistema fisso).