Sistemi non inerziali

[Fievel1]

Ho qualche problema con gli esercizi sui sistemi non inerziali, di fisica 1. Bene o male con gli altri tipi me la cavo ma non riesco proprio a mandare giu' questi, partendo proprio dall'impostazione dell'esercizio.

- Si consideri la terra come una sfera omogenea di raggio R=6370Km e si assuma il valore di g ai poli come g0=9.83, trascurando il moto di rivoluzione attorno al sole, calcolare il rapporto tra il peso di un corpo posto sulla superficie terrestre alla latitudine L e quello ai poli

- Un tram si muove in curva su una strada piana
a) se R=10m ( raggio curva) e velocità del tram V=15Km/h, che angolo formano con la verticale le maniglie di sostegno per i passeggeri, che penzolano libere?
b)agisce una forza su quelle maniglie?

Non riesco a capire se il tram è S e la maniglia è S', faccio fatica a capire e distinguere i sistemi di riferimento.


So che la regola è postare un tentativo ma onestamente non so proprio da dove partire.

[professorkappa]

Boh, provo a risolvere quello del treno sia da un punto di vista inerziale che da un punto di vista non inerziale.
Inerziale:
Supponiamo, senza compromettere la generalita' del ragionamento, che il treno si muova su un binarico circolare di raggio R=10m. Un sistema di riferimento inerziale e', per esempio, il raggio vettore che dall'origine punta verso il treno (per intenderci, il raggio vettore ha modulo 10) e l'angolo che esso forma con l'asse delle x, angolo assunto positivo quando il treno percorre il binario in senso antiorario. L'asse verticale, rivolto verso l'alto, e' z.
I versori siano $vectau$ (versore tangente rivolto nel verso di avanzamento del treno), $vecn$ versore del raggio vettore e $veck$ versore dell'asse verticale z.

Alla maniglia, di massa m sono applicate le seguenti forze
$vecT$ la tensione della cinghia di sostegno
$-mgveck$ peso della maniglia.

In un sdr inerziale, la sommatoria di queste forze e' pari all'accelerazione della maniglia.
L'accelerazione di un corpo che si muove lungo una traiettoria ha sempre 2 componenti: un'accelerazione tangenziale $avectau$, dovuta alla variazione di velocita' in modulo (in questo caso, $a_tvectau=0$, perche il treno si muove di velocita' costante) e una accelerazione normale, centripeta, $-a_nvecn$, di modulo $a_n=v^2/R$

Quindi: $vecT-mgveck=-mv^2/Rvecn$

La cinghia della maniglia, a regime, formera' un angolo $theta$ rispetto alla verticale.

A questo punto, basta scomporre sui 3 versori del sdr:

Su $vectau$, l'equazione sopra e' identicamente 0=0

Su $vecn$ si ha: $-Tsintheta=-mv^2/R$

Su $veck$ si ha $Tcostheta-mg=0$

Risolto il sistema, si determina $theta$ Risulta facilmente

$tantheta=v^2/[gR]$

Rivedi quanto sopra e, se non hai domande, lo risolviamo secondo un sistema di riferimento non inerziale

[Fievel1]

Ho provato a risolverlo e mi è venuto lo stesso risultato mi sembra. Incollo il procedimento e tutto ciò che ho scritto pari pari ( Potrei aver scritto delle banalità ma mi serve per comprendere per bene questi primi problemi )

S' = Pendolo solidale al veicolo
S = Veicolo solidale alla terra
a= accelerazione del sistema "dal punto di vista della terra"
a' = accelerazione del pendolo dal punto di vista del treno

$ a' = a - atr - aco $

$ aco = 0 $ ( Non sono molto sicuro del perchè però )

L'accelerazione di trascinamento, ovvero l'accelerazione che si osserva nel treno S è dato dall'accelerazione centripeta

$ atr = ac = - (V^2)/R $
$ a'x = T*sina/M - (V^2)/R $ e $ a'y = Tcosa/M - g $

Risolvendo il sistema dividendo membro a membro trovo che :

$ tanθ=(v^2)/(gR) $

[Fievel1]

Credo di aver sbagliato, non so se

S = è il pendolo dal punto di vista della terra
S' = Pendolo dal punto di vista del veicolo

o è come ho detto prima?

[professorkappa]

Si, piu' o meno ci sei, e' un po' sporca ma ti sei avvicinato.
Il punto e' questo: nel sistema di riferimento non inerziale vale la relazione fondamentale della dinamica, a patto di inseririci le forze apparenti

Questo perche', in un sdr inerziale, puoi scrivere: $vecT-mgveck=mveca=mvec[a_r]+mvec[a_]+mvec[a_[co]]$

Nel sistema di riferimento non inerziale (quello in cui l'accelerazione e' relativa)

$vecT-mgveck-mvec[a_]-mvec[a_[co]]=mvec[a_r]$ (***)

Adesso attento:
$mvec[a_]$ e' l'accelerazione del corpo, se questo fosse fisso nel sistema di riferimento mobile: quindi $mvec[a_]$ e' la forza centripeta $-mv^2/Rvecn$ che abbiamo visto prima. Che pero' nell'eq. (***) cambia di segno e divente centrifuga (stesso verso di $vecn$, per come ho definito questo versore all'inizio).

$mvec[a_[co]]$ e' l'accelerazione di Coriolis, che e' nulla perche il corpo, nel sistema di riferimento non inerziale, ha velocita nulla (ovvero, il che e' lo stesso, la velocita' relativa e' nulla).

$vec[a_r]$ e' nulla (se e' nulla la velocita' relativa, e' nulla anche l'accelerazione relativa).

Quindi, scomponendo lungo $vecn$

$-Tsintheta+mv^2/R=0$: in definitiva con questa, hai scritto che il corpo e' fermo nel sdr non inerziale, e c'e' una forza centrifuga (perche' equiversa con $vecn$). La risultante delle forze reali e fittizie si annulla.

Lungo $veck$, l'equazione resta uguale (non ci sono forze fittizie in quella direzione)

[Fievel1]

Ok grazie mille, hai qualche idea sull'esercizio sulla latitudine terrestre? Non so proprio da dove partire

[Fievel1]

vorrei sapere se sono giusti gli svolgimenti di questi due esercizi che ho appena fatto. Scrivo solo il procedimento logico per renderlo piu' scorrevole, mi serve capire se sto ragionando nel modo giusto

Un blocco M1 è poggiato su un blocco M2, una forza F viene applicata su M2. Ho i coefficienti di attrito tra i due blocchi, dinamico e statico. Il piano su cui poggia il bocco M2 è liscio
1- Qual'è la massima forza F che può essere applicata senza che il blocco M1 slitti sul blocco M2?
2 - Se F è il doppio di questo valore massimo, trovare l'accelerazione di ciascuno dei due blocchi
3 - Se F è la metà di questo valore massimo trovare l'accelerazione dei due blocchi

Allora... M1 non slitta se F1 <= Fatt. Se M1 non slitta allora M1 e M2 sono solidali, quindi vale il principio di relatività galileiano e a1=a2=a
Analizzo il caso limite in cui F1 = Fatt da cui ricavo il valore delle forze agenti sul blocco 1, per il calcolo dell'attrito utilizzo il coefficiente di attrito statico dato che i due sistemi si muovono insieme.
ora facendo : a = a' , dove a è l'accelerazione dei due blocchi congiunti e a1 è dato dalla F1/M1, trovo il valore della forza massima Ftot agente sui due blocchi.

2 - Quando invece F raddoppia non vale piu' il principio di relatività galileiano dato che M1 si sposterà sopra M2
Quindi F2 sarà dato dalla Ftot nuova - Fapp ( la forza apparente è data dalla Forza di attrito, su cui viene utilizzato ora il coefficiente di attrito dinamico )

3 - Ora ho di nuovo una Ftot minore della forza limite, quindi a1 e a2 tornano ad essere solidali, Per cui :
F=F1 + F2, scrivendo f2 come m2*a2 e F1 come forza di attrito ( statico stavolta ) trovo facilmente a2

[donald_zeka]

agisce una forza su quelle maniglie?

Sono nate guerre a causa di domande come questa...

[professorkappa]

"Fievel":Ok grazie mille, hai qualche idea sull'esercizio sulla latitudine terrestre? Non so proprio da dove partire

E' la stessa pappa.
Prendi un sistema di riferimento solidale alla terra, con origine nel corpo a latitudine $theta$.
La risultante di tutte le forze esterne MENO le forze fittizie ti da l'acc. relativa, che e' nulla.
Le forze fittizie sono:
Coriolis (nulla, perche' il corpo e' fermo rispetto alla terra)
Trascinamento: $momega^2Rcostheta$, ortogonale all'asse terrestre e diretta nello spazio.
La forza reale e' il peso mg, diretta verso il centro della terra, e la reazione della bilancia N, diretta in senso opposto a mg.
Scomponendo tutte le forze sopraccitate lungo la direzione corpo-centroterra:

$mg-N-momega^2Rcostheta*costheta$, da cui ricavi N che e' il peso che leggi sulla bilancia

$N=mg-momega^2Rcos^2theta$ Quindi un osservatore che legge quella bilancia vede un peso $N=mg'$
Uno al polo vede $N=mg$

Il rapporto cercato e' ovviamente $k=[g']/g=[g-omega^2Rcos^2theta]/g$

[Fievel1]

"Vulplasir":

agisce una forza su quelle maniglie?

Sono nate guerre a causa di domande come questa...

In che senso?

[Fievel1]

"professorkappa":[quote="Fievel"]Ok grazie mille, hai qualche idea sull'esercizio sulla latitudine terrestre? Non so proprio da dove partire

E' la stessa pappa.
Prendi un sistema di riferimento solidale alla terra, con origine nel corpo a latitudine $theta$.
La risultante di tutte le forze esterne MENO le forze fittizie ti da l'acc. relativa, che e' nulla.
Le forze fittizie sono:
Coriolis (nulla, perche' il corpo e' fermo rispetto alla terra)
Trascinamento: $momega^2Rcostheta$, ortogonale all'asse terrestre e diretta nello spazio.
La forza reale e' il peso mg, diretta verso il centro della terra, e la reazione della bilancia N, diretta in senso opposto a mg.
Scomponendo tutte le forze sopraccitate lungo la direzione corpo-centroterra:

$mg-N-momega^2Rcostheta*costheta$, da cui ricavi N che e' il peso che leggi sulla bilancia

$N=mg-momega^2Rcos^2theta$ Quindi un osservatore che legge quella bilancia vede un peso $N=mg'$
Uno al polo vede $N=mg$

Il rapporto cercato e' ovviamente $k=[g']/g=[g-omega^2Rcos^2theta]/g$[/quote]

Se non ti chiedo troppo, sapresti mostrarmi un disegno? cioè come proveresti a schematizzare il problema? sto cercando ovunque ma non trovo nulla

[professorkappa]

Da quale testo stai studiando? Qualsiasi libro di Fisica I dovrebbe riportare questo problema, se non lo fa, prendine un altro.
Comunque, eccola qui.

[Fievel1]

Cercando qui e li l'avevo fatta così, ma non capisco dove va g0, in teoria non dovrebbe essere un vettore verticale che parte dal polo superiore e va verso il centro ?
E non capisco perchè come sei arrivato a quei due vettori con il coseno... potresti spiegarmelo?

[Fievel1]

"professorkappa":
Da quale testo stai studiando? Qualsiasi libro di Fisica I dovrebbe riportare questo problema, se non lo fa, prendine un altro.
Comunque, eccola qui.

Sto usando il testo : Fisica generale 1 - Giovanni Salesi.
Purtroppo come testo è troppo sintetico e da per scontate troppe cose, c'è una rappresentazione simile in cui viene spiegata l'accelerazione di coriolis ma è leggermente diversa da quella dell esercizio

[professorkappa]

"Fievel":

Cercando qui e li l'avevo fatta così, ma non capisco dove va g0, in teoria non dovrebbe essere un vettore verticale che parte dal polo superiore e va verso il centro ?
E non capisco perchè come sei arrivato a quei due vettori con il coseno... potresti spiegarmelo?

Tu e un amico ve ne andate con 2 bilance e due corpi di massa uguale (m). Tu te ne vai al polo, lui in un punto a latitudine $theta$. Siete 2 ignorantoni e non sapete che la terra gira. Per voi e' ferma, e l'unica cosa giusta che sapete e' che il campo di gravitazione e' costante e diretto verso il centro della terra e vale g.

Tu metti il tuo peso sulla bilancia, e la bilancia ti dice che il peso e' P=mg. Sei contentissimo.
Poi, pero', chiami il tuo amico, e gli dici di confermare che anche a lui la bilancia legge P.
Il maledetto, invece, ti dice che per lui il peso e' $P_1$.
Cosa concludi tu? Che dove si trova lui, l'accelerazione non e' $g=P/m$, am e' $g'=P_1/m$.
Cosa e' successo? Avete trovato forse un punto con anomalia del campo terrestre? No. Entrambi i corpi sono sottoposti a g, che e' quella dei poli. Ma siccome la terra gira, sul corpo a latitudine $theta$ agisce una forza centrifuga di modulo $F_c=momega^2Rcostheta$. Nota che se la latitudine e' $theta=90$, la forza centrifuga si annulla.
La quale $F_c$ ha una componente lungo la direzione di g, ma opposta a questa. Questa componente si ottiene semplicemente proiettando $F_c$ lungo la direzione di g, e l'operazione di proiezione si fa moltiplicando per $costheta$ (vedi la figura, se non sai proiettare un vettore lungo una direzione, devi rispassare i vettori, non puoi andare avanti).

Quindi, per il tuo amico, la gravita' in quel punto non e' g, ma $g'=g-omega^2Rcos^2theta$.
L'effetto piu' evidente di questa apparente perdita di peso si ha all'equatore, dove $cos^2theta=1$, e $g'$ e' minima e pari a $g-omega^2R$.

[Fievel1]

Grazie per la chiarezza, avrei un altro quesito da porre sull'argomento, ho un problema, praticamente la deduzione teorica non coincide con quella matematica nel problema, vi spiego.

Ho un ascensore che si muove verso il basso con accelerazione a=A
All'interno dell ascensore ho un piano inclinato su cui scorre un blocco senza attrito
Praticamente devo trovare il valore di A perchè la cassa resti in quiete rispetto al piano inclinato

Il ragionamento e i passaggi che ho fatto sono questi :
- La condizione necessaria da imporre è a'=0, ovvero l'accelerazione osservata all'interno dell ascensore deve essere nulla, in modo che il blocco non si muova. Ora faccio :

$ a'x = ax - Ax $
$ a'y = ay - Ay $

Da cui ricavo

$ a'x = g*sena - Asena $
$ a'y = -Acosa $

quindi in teoria avrei :

$ a'x = (g-A)sena $
$ a'y = -Acosa $

Il problema è che so che è sbagliato, cioè mi sto confondendo, so che l'accelerazione >( in questo caso verticale) osservata nell'ascensore è pari all'accelerazione newtoniana - l'accelerazione di trascinamento
Ma so anche che l'accelerazione osservata nell'ascensore è nulla.

Nell'esercizio alla fine dei conti ho :

$ ay = -Acosa $
$ ay' = 0 $

Ma sono due scritture incoerenti no ? dovrei avere a' = a - atr, so che a è nulla quindi dovrei avere a' = -atr

Dove sto sbagliando? l'esercizio concettualmente lo so fare, so che per risolverlo dovrei trovare la risultante a e a' e poi imporre a' = 0, ma non riesco a risolvere questo dubbio che ho.

[professorkappa]

Individui e specifichi, come dovresti fare sempre all'inizio di ogni esercizio, le direzioni degli assi del sistema di riferimento? Vedrai che se le espliciti formalmente l'esercizio ti torna.