[Sistemi dinamici] Criteri di instabilità

[asabasa]

Spero la sezione sia giusta..!

Sto studiando i criteri di instabilità di Lyapunov e Chetayev (o Cetaev? boh neanche Google sa bene come si scrive xD ) ma ci sono alcuni punti che non mi sono chiari.

Teorema di instabilità di Lyapunov
Se in un intorno aperto $Omega$ di $O$ esiste una funzione $V$ tale che:

-$VinC^1(Omega)$
-$V(O)=0$
-$dotV$ è definita positiva
-$V$ può assumere qualche valore positivo in un intorno sferico di $O$ contenuto in $Omega$

allora O è instabile

Dimostrazione
Sia $S_{epsilon}$ un intorno sferico chiuso di O contenuto in $Omega$ e sia $M$ il massimo assoluto di $V$ in S.
Sia $x_0!=0$ interno ad $S_{epsilon}$ e tale che $V(x_0)>0$
Sia inoltre $A={x : V(x)>V(x_0)}$ ed $I=AnnS$
La traiettoria $gamma^+$ uscente da $x_0$, fino a che resta in S, deve appartenere anche ad $I$ essendo $dotV>0$ in S.<---- Questa cosa non l'ho capita, chi me la spiega?
Per provare l'instabilità basta provare che $gamma^+$ esce da S.
[.....]
Il resto della dimostrazione mi è chiara, se volete la posto.


Teorema di instabilità di Chetayev

Sia $S_{epsilon}$ un intorno sferico chiuso di O ed $Omega_1subS_{epsilon}$ un insieme chiuso tale che $OinpartialOmega_1$
Se esiste una funzione $VinC^1(Omega_1)$ tale che $V$ e$dotV$ sono positive in $Omega_1/{partialOmega_1}$ ed inoltre V è nulla su $partialOmega_1nn(S/{partialS})$ allora il punto critico $O$ è instabile

Esattamente questi insiemi """quoziente""" che sono?
Anche qui dimostrazione chiara.


PS: il libro di testo che sto utilizzando è
Sistemi dinamici in $RR^n$ di Rionero

[asabasa]

Allora, poiché non ho capito bene la dimostrazione del primo teorema, la posto in modo diverso,
ditemi se fila (purtroppo proviene da appunti sbobinati malino quindi alcune cose non mi convincono)

Lo scopo della dimostrazione è dimostrare che se prendo un intorno dell'origine, e un punto contenuto in esso, una soluzione $x(t)$ che parte da questo punto deve uscire dall'intorno, perché l'origine è instabile

Bisogna negare la definizione di stabilità di Lyapunov:

$AAepsilon>0 EEdelta>0 : |x_0 - x*|=0$

Quindi si dimostra per assurdo

Io ho che $AAepsilon>0$ $x_0 inEES_epsilon$ (con $S_epsilon$ intorno sferico chiuso dell'origine) : $V(x_0)>0$
eia $M=maxV(x(t))$ in $S_epsilon$ (V è continua, $S_epsilon$ compatto(?), quindi V è dotata un massimo assoluto)

$K={x in : S_epsilon : V(x)>=V(x_0)>0}$
$K={x in : barS_epsilon : V(x)>=V(x_0)>0}$ (qual è l'insieme giusto tra i due?)
K è non vuoto (ok) e compatto (perchè?)

$dotV$ è limitata in K $mu=mindotV>0$ perchè $dotV$ è DN

Sia per assurdo $x(t)$ interamente contenuta in $S_epslion$ cioè $x(t)inS_epslion$ $AAt>=0$

Ho che $dotV(x(t))>=mu$ integrando tra [0,t] e ottengo (dove $x(0)=x_0$):

$V(x(t))>= V(x_0) + mut$

da cui segue che per $t \to \infty$ $V(x(t)) \to \infty$ il che è assurdo perché $x(t)$ è limitata (e $V(x(t))$ limitata)

avremmo che per
$t>t*= {M - V(x_0)}/mu$
$V(x(t))>M$ assurdo , cioè $x(t)$ esce da $S_epsilon$

[yoshiharu]

"asabasa":
Sia inoltre $A={x : V(x)>V(x_0)}$ ed $I=AnnS$
La traiettoria $gamma^+$ uscente da $x_0$, fino a che resta in S, deve appartenere anche ad $I$ essendo $dotV>0$ in S.<---- Questa cosa non l'ho capita, chi me la spiega?

Credo che sia semplicemente il fatto che $V$ deve essere monotona lungo le traiettorie del moto. $I$ e' l'insieme dei punti intorno a $O$ che sono "abbastanza vicini" (in $S_\epsilon$) e sui quali $V$ e' maggiore che in $x_0$. Poiche' $V$ e' monotona lungo la traiettoria, uscendo da $x_0$ hai valori di $V$ maggiori di $V(x_0)$, e quindi i punti della traiettoria sono in $A$. Da vedere se restano sempre anche in $S$ (parrebbe di no ).

Teorema di instabilità di Chetayev

...

Esattamente questi insiemi """quoziente""" che sono?

Ma non e' che si tratta semplicemente degli insiemi senza la frontiera?

[asabasa]

"yoshiharu":

Credo che sia semplicemente il fatto che $V$ deve essere monotona lungo le traiettorie del moto. $I$ e' l'insieme dei punti intorno a $O$ che sono "abbastanza vicini" (in $S_\epsilon$) e sui quali $V$ e' maggiore che in $x_0$. Poiche' $V$ e' monotona lungo la traiettoria, uscendo da $x_0$ hai valori di $V$ maggiori di $V(x_0)$, e quindi i punti della traiettoria sono in $A$. Da vedere se restano sempre anche in $S$ (parrebbe di no ).

Sinceramente la devo rivedere ma credo di aver capito che lo scopo della dimostrazione è provare che se prendo un intorno dell'origine, e un punto contenuto in esso, una soluzione $x(t)$ che parte da questo punto deve uscire dall'intorno $\forall t \geq0$ , perché l'origine è instabile

"yoshiharu":
Ma non e' che si tratta semplicemente degli insiemi senza la frontiera?

Si è così!
Quando ho postato non avevo proprio capito cosa stavo leggendo, poi ho capito che era proprio come dici tu ma non ho corretto il post xD

[yoshiharu]

"asabasa":[quote="yoshiharu"]

Credo che sia semplicemente il fatto che $V$ deve essere monotona lungo le traiettorie del moto. $I$ e' l'insieme dei punti intorno a $O$ che sono "abbastanza vicini" (in $S_\epsilon$) e sui quali $V$ e' maggiore che in $x_0$. Poiche' $V$ e' monotona lungo la traiettoria, uscendo da $x_0$ hai valori di $V$ maggiori di $V(x_0)$, e quindi i punti della traiettoria sono in $A$. Da vedere se restano sempre anche in $S$ (parrebbe di no ).

Sinceramente la devo rivedere ma credo di aver capito che lo scopo della dimostrazione è provare che se prendo un intorno dell'origine, e un punto contenuto in esso, una soluzione $x(t)$ che parte da questo punto deve uscire dall'intorno $\forall t \geq0$ , perché l'origine è instabile
[/quote]

Certamente.
Cmq volevo sapere se condividi l'interpretazione che avevo dato della prima parte della dimostrazione, perche' vorrei capire un po' di piu' queste cose che purtroppo non sono mai entrate in pieno nel mio percorso di studi (ah, i tempi andati... )

[asabasa]

Si sono d'accordo con te perché la funzione è non decrescente lungo le traiettorie ($dotV$ è definita positiva)
Se appartiene a $S_epsilon$ deve appartenere anche ad $I$ perché $V$ è monotona lungo la traiettoria quindi non è mai minore di $V(x_0)$.

[asabasa]

Metto un pò d'ordine
Teorema di instabilità di Lyapunov
Se in un intorno aperto $Omega$ di $O$ esiste una funzione $V$ tale che:

-$VinC^1(Omega)$
-$V(O)=0$
-$dotV$ è definita positiva
-$V$ può assumere qualche valore positivo in un intorno sferico di $O$ contenuto in $Omega$

allora O è instabile

Dimostrazione
Sia $S_{epsilon}$ un intorno sferico di O contenuto in $Omega$
Sia inoltre $K={xin partialS_{epsilon} : V(x)>=V(x_0)>0}$
Sia $gamma$ la traiettoria di punto iniziale da $x_0 inS_{epsilon}$
Per provare l'instabilità basta provare che $gamma^+$ esce da S.

$0
integrando tra $[0,t]$ ho che $V(x(t))>= V(x_0) + mut$ $AA t>=0$

Se fosse per assurdo $|x(t,x_0)| avrei che per $t \to \infty$ $V(x(t))\to \infty$ il che è assurdo perché $V(x(t))$ è limitata in $S_epsilon$
se $maxV=M$ in K
avrei che per $t>t^x = {V(x_0)-M}/m$
$V(x(t))$ sarebbe maggiore di $M$

Teorema di instabilità di Chetayev

Sia $S$ un intorno sferico chiuso di O ed $Omega_1subS$ un insieme chiuso tale che $OinpartialOmega_1$
Se esiste una funzione $VinC^1(Omega_1)$ tale che
-$V(O)=0$
-$V$ e$dotV$ sono positive in $Omega_1-{partialOmega_1}$
-$V$ è nulla su $partialOmega_1nn(S-{partialS})$ allora il punto critico $O$ è instabile

Si dimostra analogamente al teorema precedente, la soluzione esce per $partialOmega_1nnpartialS$