Sistemi di punti materiali: pendolo e carrello

[Frostman]

Salve, avrei bisogno di una mano con questo problema:

Un pendolo semplice di massa m=2 kg e lunghezza l=2.3 m è appeso a un carrello sospeso di massa M = 10 kg, che può muoversi senza attrito lungo una guida orizzontale. Inizialmente, il sistema è mantenuto fermo nella configurazione in figura, con il filo teso. Successivamente, il corpo di massa m è lasciato cadere. Determinare, nell’istante in cui il pendolo è in direzione verticale: a) lo spostamento Δx del carrello, b) il modulo v della velocità del carrello e c) la tensione T del filo.

Il punto a, l'ho risolto ponendo l'origine dell'asse x nel carrello, e ponendo la distanza di 2.3 m del corpo avente massa 2 kg, ho calcolato il centro di massa e ho trovato la distanza in cui entrambi i corpi si trovano nella configurazione in cui il pendolo è verticale. Per il secondo punto ho pensato di sfrutta la conservazione dell'energia meccanica in relazione alla quantità di moto totale del sistema. Ho posto che la quantità di moto totale del sistema, cioè del corpo di massa 2 kg avente velocità v1 e del corpo di massa 10 kg avente velocità v2 fosse uguale a zero. L'energia meccanica del sistema si conserva visto che si hanno solo forze conservative dunque ho che l'energia potenziale del corpo m e del corpo M è uguale all'energia potenziale del corpo M, all'energia cinetica del corpo m (con velocità v1) e all'energia cinetica del corpo M (con velocità v2).

Volevo sapere come risolvere il punto c e sapere se il punto b fosse giusto

[Studente Anonimo]

"Frostman":
Inizialmente, il sistema è mantenuto fermo nella configurazione in figura, con il filo teso.

Sarebbe meglio chiarire.

[Frostman]

Hai ragione

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda il punto a), l'ascissa del centro di massa è costante. Quindi, è sufficiente determinare l'ascissa iniziale del centro di massa e svolgere alcuni semplici calcoli visto che, quando il pendolo è lungo la verticale, l'ascissa del carrello è uguale a quelle del pendolo. Per quanto riguarda il punto b), se conservi l'energia meccanica e la quantità di moto lungo l'orizzantale, hai un sistema di due equazioni le cui incognite sono le velocità orizzontali del carrello e del pendolo. Per quanto riguarda il punto c, lascio a te illustrare almeno un tentativo di risoluzione.

[donald_zeka]

Cosa ci assicura che l'energia si conservi? La tensione del filo potrebbe compiere lavoro

[Studente Anonimo]

"Vulplasir":
La tensione del filo potrebbe compiere lavoro ...

Indicando con $A$ l'estremo del filo collegato al carrello e con $B$ l'estremo del filo collegato alla massa puntiforme, nel caso in cui il filo sia inestensibile e rimanga sempre teso, $vec(v_A)$ e $vec(v_B)$ soddisfano la formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi. Inoltre, nel caso in cui la massa del filo sia trascurabile, $vec(T_B)=-vec(T_A)$. Quindi:

$[vec(v_B)=vec(v_A)+vec\omegaxx(B-A)] ^^ [vec(T_B)=-vec(T_A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*[vec(v_A)+vec\omegaxx(B-A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A)-vec(T_A)*[vec\omegaxx(B-A)] rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A)-[(B-A)xxvec(T_A)]*vec\omega rarr$

$rarr vec(T_B)*vec(v_B)=-vec(T_A)*vec(v_A) rarr$

$rarr vec(T_A)*vec(v_A)+vec(T_B)*vec(v_B)=0$

Per il principio di azione e reazione, indicando con:

$vec(F_A)=-vec(T_A)$

la forza che il filo esercita sul carrello e con:

$vec(F_B)=-vec(T_B)$

la forza che il filo esercita sulla massa puntiforme, si ha:

$vec(F_A)*vec(v_A)+vec(F_B)*vec(v_B)=0$

[donald_zeka]

Ottima idea quella di osservare che l'atto di moto del sistema è rigido

[Studente Anonimo]

Grazie dell'apprezzamento. Dopo averci pensato un po', mi è sembrata una dimostrazione abbastanza diretta.

[mgrau]

"Vulplasir":Cosa ci assicura che l'energia si conservi? La tensione del filo potrebbe compiere lavoro

Io veramente pensavo che fosse una battuta di spirito...
Perchè, ci sono casi in cui la tensione di un filo inestensibile, a lunghezza fissa, può compiere lavoro?
Potete portare un esempio?

[Studente Anonimo]

Ciao mgrau. Nel manuale del mio docente di meccanica razionale, a proposito del corpo rigido, si dimostrava che le reazioni vincolari interne dovute ai vincoli di rigidità non compiono lavoro. Sembra scontato ma ti assicuro che la dimostrazione era sulla falsa riga di quella che ho riportato nel caso in esame.

[donald_zeka]

Ero consapevole del fatto che non potesse compiere lavoro, ma quando la dimostrazione non è immediata, come in questo caso in cui il filo non é ortogonale alle velocità dei corpi, quindi compie potenza su tutti e due i corpi, resta da dimostrare che la somma di queste potenze è nulla

[Studente Anonimo]

"Vulplasir":
... il filo non é ortogonale alle velocità dei corpi, quindi compie potenza su tutti e due i corpi, resta da dimostrare che la somma di queste potenze è nulla.

Complimenti per la notevole capacità di sintesi.

[mgrau]

"anonymous_0b37e9": Nel manuale del mio docente di meccanica razionale, a proposito del corpo rigido, si dimostrava che le reazioni vincolari interne dovute ai vincoli di rigidità non compiono lavoro. Sembra scontato ma ti assicuro che la dimostrazione era sulla falsa riga di quella che ho riportato nel caso in esame.

Ah, non ne dubito. Succede che non sia facile dimostrare certe cose ovvie. Però sono ovvie lo stesso...

[Studente Anonimo]

"mgrau":
Però sono ovvie lo stesso ...

Difficile dire che cosa sia ovvio e che cosa non lo sia. So solo che all'orale di meccanica razionale, se avessero chiesto di dimostrarlo, non si sarebbe potuto certamente rispondere dicendo che era ovvio. Tra l'altro, avendo avuto un amico che studiava scienza delle costruzioni, dove si considera la deformabilità dei corpi, ho imparato che alcune cose non erano poi così ovvie.

[mgrau]

"anonymous_0b37e9":
Difficile dire che cosa sia ovvio e che cosa non lo sia.

Beh, insomma... in un caso come questo, in cui la sola energia disponibile è quella potenziale iniziale, in un campo conservativo, con un andamento evidentemente (posso dirlo?) periodico...

[Studente Anonimo]

"mgrau":
Beh, insomma... in un caso come questo, in cui la sola energia disponibile è quella potenziale iniziale, in un campo conservativo, con un andamento evidentemente (posso dirlo?) periodico...

Su questo siamo d'accordo. Tuttavia, siccome Vulplasir ha il pregio di voler spaccare il capello in quattro:

"Vulplasir":
Cosa ci assicura che l'energia si conservi? La tensione del filo potrebbe compiere lavoro

Per evitare di prendere un cazziatone, ho solo cercato di formalizzarlo. Tra l'altro, avendo l'impressione che sia un esercizio di Fisica 1, sono d'accordo con te che si potesse dare praticamente per scontato.

[donald_zeka]

si dimostrava che le reazioni vincolari interne dovute ai vincoli di rigidità non compiono lavoro

Questo concetto, invece di essere dimostrato, può essere usato come principio primo per trovare delle equazioni di bilancio per i corpi, ossia richiedendo che la potenza interna su un corpo (in questo caso un corpo generico, quindi deformabile) sia nulla su un moto rigido del corpo, si ottengono le equazioni di bilancio per il corpo, è l'approccio moderno alla meccanica razionale di Clifford Truesdell e Walter Noll

[Studente Anonimo]

"Vulplasir":
... è l'approccio moderno alla meccanica razionale di Clifford Truesdell e Walter Noll.

Buono a sapersi. Grazie del riferimento bibliografico. Prima o poi faccio una ricerca in rete per capire meglio di che cosa si tratta.