Sistemi di punti materiali e urti
ciao a tutti,
ho dei problemi con alcuni esercizi, qualcuno mi potrebbe aiutare?
prima di tutto, l'esercizio numero 5 "http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid953594.pdf"
io l'ho fatto in questo modo:
v = (m x v0) / L(m +M) W = v/L
per compiere un giro completo è necessario che il corpo arrivi almeno a metà giro, poi la velocità viene accelerata dalla forza peso giusto?
quindi ho fatto :
2(m +M)gL = 1/2 x (m+M) x (v^2) => v0 = 56.03 m/s
per trovare l'energia dissipata nell' urto:
EKin = 1/2 x m x (v0)^2
EKfin = 1/2 x (m + M) x v^2 = [1/2 x (m^2) x (v0^2)] / (m+M)
(EKin - EKfin) = 282.54 j
Qualcuno può dirmi se è giusto?
come faccio a trovare l'impulso sviluppato dalla cerniera?
Altro problema,
come posso impostare il problema 5 "http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid314800.pdf" ??
per favore aiutatemi
ho dei problemi con alcuni esercizi, qualcuno mi potrebbe aiutare?
prima di tutto, l'esercizio numero 5 "http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid953594.pdf"
io l'ho fatto in questo modo:
v = (m x v0) / L(m +M) W = v/L
per compiere un giro completo è necessario che il corpo arrivi almeno a metà giro, poi la velocità viene accelerata dalla forza peso giusto?
quindi ho fatto :
2(m +M)gL = 1/2 x (m+M) x (v^2) => v0 = 56.03 m/s
per trovare l'energia dissipata nell' urto:
EKin = 1/2 x m x (v0)^2
EKfin = 1/2 x (m + M) x v^2 = [1/2 x (m^2) x (v0^2)] / (m+M)
(EKin - EKfin) = 282.54 j
Qualcuno può dirmi se è giusto?
come faccio a trovare l'impulso sviluppato dalla cerniera?
Altro problema,
come posso impostare il problema 5 "http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid314800.pdf" ??
per favore aiutatemi
Risposte
I primi 3 punti sono giusti, ma in a) e c) ci sono due imprecisioni.
In a) il risultato è $omega = (m v_0)/(L(m + M))$ non $v = (m v_0)/(L(m + M))$ (lo si vede subito anche facendo un'analisi dimensionale)
Infatti, conservando il momento angolare, si ha:
$r m v_0 sin theta = I omega$ dove $r$ è la distanza di $m$ da $O$, $theta$ è l'angolo fra $vec(r)$ e $vec(v_o)$ mentre $I$ è il momento di inerzia del sistema dopo l'urto, che vale
$I = (m + M) L^2$. Poichè $L = r sin theta$ si ottiene alla fine
$m v_0 = (m + M) L omega$ da cui il risultato di cui sopra.
Per quanto riguarda l'energia dissipata, invece, per correttezza è meglio scrivere $E_(kf) - E_(ki) = -282.54 J$ (la variazione di qualsiasi grandezza fisica si esprime sempre come valore finale - valore iniziale).
Per l'impulso ho qualche perplessità data dal fatto che l'asta è senza massa....
L'impulso è uguale alla variazione di quantità di moto subita dal corpo; se l'asta non fosse incernierata, $M$ si muoverebbe si moto rettilineo ed uniforme con velocità $v$, mentre l'estremità $O$ inizierebbe a ruotare attorno ad $M$ in senso antiorario con velocità tangenziale $2 v$ (lo si può capire dalla composizione galileiana delle velocità). L'impulso è tale, quindi, da contrastare perfettamente la "tendenza" di $O$ a partire con velocità $2 v$ verso sinistra al momento dell'urto...il problema è che non c'è massa, quindi neanche quantità di moto!
Spero che qualcuno più illuminato possa risolvere l'inghippo...
In a) il risultato è $omega = (m v_0)/(L(m + M))$ non $v = (m v_0)/(L(m + M))$ (lo si vede subito anche facendo un'analisi dimensionale)
Infatti, conservando il momento angolare, si ha:
$r m v_0 sin theta = I omega$ dove $r$ è la distanza di $m$ da $O$, $theta$ è l'angolo fra $vec(r)$ e $vec(v_o)$ mentre $I$ è il momento di inerzia del sistema dopo l'urto, che vale
$I = (m + M) L^2$. Poichè $L = r sin theta$ si ottiene alla fine
$m v_0 = (m + M) L omega$ da cui il risultato di cui sopra.
Per quanto riguarda l'energia dissipata, invece, per correttezza è meglio scrivere $E_(kf) - E_(ki) = -282.54 J$ (la variazione di qualsiasi grandezza fisica si esprime sempre come valore finale - valore iniziale).
Per l'impulso ho qualche perplessità data dal fatto che l'asta è senza massa....
L'impulso è uguale alla variazione di quantità di moto subita dal corpo; se l'asta non fosse incernierata, $M$ si muoverebbe si moto rettilineo ed uniforme con velocità $v$, mentre l'estremità $O$ inizierebbe a ruotare attorno ad $M$ in senso antiorario con velocità tangenziale $2 v$ (lo si può capire dalla composizione galileiana delle velocità). L'impulso è tale, quindi, da contrastare perfettamente la "tendenza" di $O$ a partire con velocità $2 v$ verso sinistra al momento dell'urto...il problema è che non c'è massa, quindi neanche quantità di moto!
Spero che qualcuno più illuminato possa risolvere l'inghippo...
L'altro problema:
a) Sappiamo che la quantità di moto totale di un sistema è uguale alla quantità di moto del centro di massa, cioè $P = (m + M) V_(cm)$
Inoltre, l'impulso è uguale alla variazione di quantità di moto, quindi si può risolvere l'equazione $J_0 = (m + M) V_(cm)$
Il centro di massa inizia a muoversi con velocità costante parallelamente all'asse $y$
b) La velocità angolare si può calcolare rispetto a qualsiasi punto dell'asta, perchè è una grandezza indipendente dal raggio di curvatura; conviene scegliere la
massa $M$, che all'istante $t = 0$ si trova in $O$. La velocità tangenziale che acquista $m$ rispetto a $O$, perpendicolare all'asta $L$, si può trovare così:
poichè la componente tangenziale di $J_0$ è $J_0 cos [90 - (90 - theta_0)] = J_0 cos theta_0$, la velocità, rapporto fra impulso e massa, è:
$v = (J_0 cos theta_0)/m$
la velocità angolare è semplicemente $omega = v/L$
c) L'energia cinetica interna è la somma dell'energia cinetica delle masse calcolata rispetto al centro di massa, di cui va calcolata la posizione
d) Il lavoro è uguale all'energia meccanica che deve essere dissipata, cioè all'energia cinetica totale del sistema: per il teorema di Koenig basta sommare all'energia calcolata in c) l'energia del moto del centro di massa
a) Sappiamo che la quantità di moto totale di un sistema è uguale alla quantità di moto del centro di massa, cioè $P = (m + M) V_(cm)$
Inoltre, l'impulso è uguale alla variazione di quantità di moto, quindi si può risolvere l'equazione $J_0 = (m + M) V_(cm)$
Il centro di massa inizia a muoversi con velocità costante parallelamente all'asse $y$
b) La velocità angolare si può calcolare rispetto a qualsiasi punto dell'asta, perchè è una grandezza indipendente dal raggio di curvatura; conviene scegliere la
massa $M$, che all'istante $t = 0$ si trova in $O$. La velocità tangenziale che acquista $m$ rispetto a $O$, perpendicolare all'asta $L$, si può trovare così:
poichè la componente tangenziale di $J_0$ è $J_0 cos [90 - (90 - theta_0)] = J_0 cos theta_0$, la velocità, rapporto fra impulso e massa, è:
$v = (J_0 cos theta_0)/m$
la velocità angolare è semplicemente $omega = v/L$
c) L'energia cinetica interna è la somma dell'energia cinetica delle masse calcolata rispetto al centro di massa, di cui va calcolata la posizione
d) Il lavoro è uguale all'energia meccanica che deve essere dissipata, cioè all'energia cinetica totale del sistema: per il teorema di Koenig basta sommare all'energia calcolata in c) l'energia del moto del centro di massa
si, hai ragione, nel primo avevo sbagliato a scrivere.
per il secondo esercizio grazie. avevo dei dubbi e non sapevo come iniziarlo, adesso ho capito, dovevo scomporre Jo.
quindi per energia interna si intende l'energia calcolata rispetto al centro di massa => EK - Ekcm
energia cinetica totale meno energia cinetica del centro di massa giusto?
poi posso farti un altra domanda su un nuovo esercizio? non so come trovare la reazione del perno
l'esercizio 3 , il punto d
"http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid953594.pdf"
io pensavo che R = Fel ma dubito..
per il secondo esercizio grazie. avevo dei dubbi e non sapevo come iniziarlo, adesso ho capito, dovevo scomporre Jo.
quindi per energia interna si intende l'energia calcolata rispetto al centro di massa => EK - Ekcm
energia cinetica totale meno energia cinetica del centro di massa giusto?
poi posso farti un altra domanda su un nuovo esercizio? non so come trovare la reazione del perno
l'esercizio 3 , il punto d
"http://www.scienze.univr.it/documenti/OccorrenzaIns/matdid/matdid953594.pdf"
io pensavo che R = Fel ma dubito..
Si, è giusto: comunque conviene calcolare direttamente la velocità delle masse "rispetto" al centro di massa.
La reazione è uguale ed opposta alla risultante delle forze agenti sulla massa; poichè il problema chiede la dipendenza della reazione del tempo, basta sostituire nell'espressione di $R$ la legge oraria della massa $z(t)$, dipendente dal tempo, al posto della $z$
La reazione è uguale ed opposta alla risultante delle forze agenti sulla massa; poichè il problema chiede la dipendenza della reazione del tempo, basta sostituire nell'espressione di $R$ la legge oraria della massa $z(t)$, dipendente dal tempo, al posto della $z$
scusa, non ho capito,
allora, io ho trovato:
$ Maz + kz = Mg + kz0 $
$ A= -0.2 $
$ z(t) = Acos(wt) + zo + Mg/k $
R sarebbe $ Maz $ ?
allora, io ho trovato:
$ Maz + kz = Mg + kz0 $
$ A= -0.2 $
$ z(t) = Acos(wt) + zo + Mg/k $
R sarebbe $ Maz $ ?
Si.
Esplicitando l'equazione del moto hai $Ma_z = R = M g + k z_0 - k z$
Sostituendo la legge oraria da te trovata hai $R = M g + k z_0 - A k cos omega t - k z_0 - Mg$, cioè
$R = - A k cos omega t$
Esplicitando l'equazione del moto hai $Ma_z = R = M g + k z_0 - k z$
Sostituendo la legge oraria da te trovata hai $R = M g + k z_0 - A k cos omega t - k z_0 - Mg$, cioè
$R = - A k cos omega t$
ok capito!!
grazie mille per l'aiuto!!!
davvero gentile
grazie mille per l'aiuto!!!
davvero gentile
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