Sistema riferimento polare, coordinate polari e versori (discussione Faussone)
Buonasera, credo di avere bisogno di un aiuto da qualcuno riguardo l'argomento del titolo.
Sono un po' confuso sul senso delle coordinate polari e cartesiane. Ho trovato una risposta di @Faussone https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8477905 qui e ho cercato di rispondermi da solo su alcune cose ma non ci sono riuscito. Vediamo...
Come dice il signor faussone:
Mi accorgo di un fatto: quando parlo di coordinate cartesiane le componenti (o coordinate) di un qualunque punto coincidono con la scomposizione del vettore sui versori di quel sistema di coordinate.
Viene quindi possibile confondere le due cose: la coordinata (ossia il numero che identifica il punto connesso al vettore posizione è pari alla scomposizione del vettore posizione su due versori (rimaniamo nel piano)).
Chiamo quindi coordinata la scomposizione di un qualunque vettore lungo i due versori, ma che di fatto coincide proprio con la coordinata intesa come numero che identifica P, cioè la coppia (x,y).
Quando lavoro in coordinate polari ho invece grossi dubbi, un qualunque punto lo posso individuare con due coordinate (r,ϑ) però le componenti di un vettore rispetto ai versori non sono più la dupla (r,ϑ) di numeri come nel caso cartesiano con cui indico il punto P. Nel caso polare sono la scomposizione lungo i versori (radiale e circonferenziale) del vettore e danno sempre due scalari ma diversi da r e theta come valore.
Quindi trovo una ambiguità e sono confuso: quando parlo di coordinate di un punto intendo (r,ϑ), ma quando parlo di componenti di un vettore in coordinate polari[nota]perché come giustamente mi si fa notare ho le coordinate del punto e le componenti di un vettore in coordinate polari (componenti in questo senso ha due significati diversi)[/nota] devo immaginare la scomposizione di esso lungo il versore radiale e tangenziale, quindi non sono più gli stessi numeri (r,ϑ) cioè sono due cose diverse ora? Corretto?
Quindi...
A questo punto sfruttando l'esempio della risposta di faussone nel link: parto considerando le coordinate polari $(r,theta)$ legate dalla relazione scritta nel link a quelle cartesiane (ora sto trattando proprio le coordinate (r,ϑ) del punto P, non della scomposizione del vettore lungo i versori), poi calcolo le derivate delle relazioni e trovo:
però a questo punto queste sono componenti di un vettore perché poi lui le proietta sui versori (ma come fa a passare da componenti intese come coppia di scalare (r,ϑ) a componenti intese come proiezioni sui versori?):
Insomma tra versori vettori componenti non ci sto capendo più nulla su come usarle.
Vi ringrasio
Sono un po' confuso sul senso delle coordinate polari e cartesiane. Ho trovato una risposta di @Faussone https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8477905 qui e ho cercato di rispondermi da solo su alcune cose ma non ci sono riuscito. Vediamo...
Come dice il signor faussone:
"lavorare in coordinate polari significa che invece di identificare un punto tramite le coordinate cartesiane classiche x e y (sto parlando proprio delle coordinate cartesiane non più della coordinata curvilinea che prima ho pure chiamato x), lo identifichi dalla distanza dall'origine r e dall'angolo α che il vettore posizione forma rispetto ad una certa posizione di riferimento."
Mi accorgo di un fatto: quando parlo di coordinate cartesiane le componenti (o coordinate) di un qualunque punto coincidono con la scomposizione del vettore sui versori di quel sistema di coordinate.
Viene quindi possibile confondere le due cose: la coordinata (ossia il numero che identifica il punto connesso al vettore posizione è pari alla scomposizione del vettore posizione su due versori (rimaniamo nel piano)).
Chiamo quindi coordinata la scomposizione di un qualunque vettore lungo i due versori, ma che di fatto coincide proprio con la coordinata intesa come numero che identifica P, cioè la coppia (x,y).
Quando lavoro in coordinate polari ho invece grossi dubbi, un qualunque punto lo posso individuare con due coordinate (r,ϑ) però le componenti di un vettore rispetto ai versori non sono più la dupla (r,ϑ) di numeri come nel caso cartesiano con cui indico il punto P. Nel caso polare sono la scomposizione lungo i versori (radiale e circonferenziale) del vettore e danno sempre due scalari ma diversi da r e theta come valore.
Quindi trovo una ambiguità e sono confuso: quando parlo di coordinate di un punto intendo (r,ϑ), ma quando parlo di componenti di un vettore in coordinate polari[nota]perché come giustamente mi si fa notare ho le coordinate del punto e le componenti di un vettore in coordinate polari (componenti in questo senso ha due significati diversi)[/nota] devo immaginare la scomposizione di esso lungo il versore radiale e tangenziale, quindi non sono più gli stessi numeri (r,ϑ) cioè sono due cose diverse ora? Corretto?
Quindi...
A questo punto sfruttando l'esempio della risposta di faussone nel link: parto considerando le coordinate polari $(r,theta)$ legate dalla relazione scritta nel link a quelle cartesiane (ora sto trattando proprio le coordinate (r,ϑ) del punto P, non della scomposizione del vettore lungo i versori), poi calcolo le derivate delle relazioni e trovo:
$dot x=dot r sin alpha + r dot alpha cos alpha$
$dot y=-dot r cos alpha+r dot alpha sin alpha$
però a questo punto queste sono componenti di un vettore perché poi lui le proietta sui versori (ma come fa a passare da componenti intese come coppia di scalare (r,ϑ) a componenti intese come proiezioni sui versori?):
Però a noi serve scrivere queste componenti nella direzione radiale e circonferenziale che equivale a scrivere questo vettore rispetto a un riferimento ruotato di $90-alpha$ gradi in senso orario rispetto al riferimento cartesiano, in modo che le velocità siano appunto scritte nelle direzioni radiale e circonferenziale.
Questo equivale a applicare la matrice di rotazione:
\[
\begin{pmatrix} \sin\alpha & -\cos\alpha \\ \cos\alpha & \sin \alpha \end{pmatrix}
\]
Facendo i conti si trova
$v_r=dot r$
$v_alpha=r dot alpha$
Insomma tra versori vettori componenti non ci sto capendo più nulla su come usarle.
Vi ringrasio
Risposte
Scusami se non rispondo nello specifico alla tua domanda ... però mi ha fatto strano quando hai scritto "ma quando parlo di coordinate di un vettore" ... un vettore non ha coordinate ma componenti e le ha espresse in tanto modi diversi, appunto cartesiano, polare, etc ... le coordinate le hanno i punti che lo delimitano e anche queste possono essere espresse in tanti modi diversi ... se non ricordo male, sono un pò arrugginito, per trasformare le coordinate da un sistema all'altro hai bisogno di una matrice di trasformazione, che non fa altro che mettere in relazione i versori di un riferimento rispetto all'altro.
Hai ragione è una inesattezza. Correggo e ti ringrazio 
Proprio nessun aiuto? 
"sixpix":
Insomma tra versori vettori componenti non ci sto capendo più nulla su come usarle.
Vi ringrasio
Grazie per il signor, ma su questo forum va benissimo non usare titoli vari, e ci si può dare tranquillamente del tu.
Detto questo mi spiace, ma non ho capito mica il dubbio.
Ti è chiaro come si arriva a
$ v_r=dot r $
$ v_alpha=r dot alpha $
?
Se no ok possiamo chiarire quello, se sì allora non ho capito cosa non sia chiaro. Tutte le varie riflessioni le ho scritte in quella discussione e non trovo nulla altro da aggiungere.
Ok, perfetto, allora ti darò del tu. 
Siccome mi dici che non sono stato in grado di spiegarmi provo ad aggiustare il tiro se me ne dai opportunità, perché mi piacerebbe arrivare a capire questa cosa semplice e utile che mi sfugge. Devo colmare questa lacuna per il prosieguo dei miei studi.
Il resto delle considerazioni in quella pagina sul pendolo mi sono chiare mi manca più che altro la parte di coordinate e vorrei approfondire con te quella parte se possibile e se hai voglia.
Divido la trattazione in coordinate cartesiane e polari:
quando lavoriamo in un certo sistema di coordinate (facciamo un piano) un certo punto lo identifichiamo con una dupla: le coordinate di quel punto (x,y); (r,ϑ), con ϑ angolo che il vettore posizione forma rispetto ad una certa posizione di riferimento.
Fin qui bene, i problemi vengono quando introduco i concetti di versore.
sistema di coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane hanno due versori canonici i,j ora quando prendo un qualunque vettore (così come il vettore posizione che indica un punto P o un vettore del tutto diverso es. vettore velocita') posso scomporlo lungo quei versori. E' interessane notare che scomponendo il vettore posizione ad esempio tramite prodotto scalare con il versore, i valori che trovo (componenti) corrispondono alla coordinata del punto P nel piano (cioè corrispondono proprio a qui numeri (x,y) con cui denoto il punto P).
Posso quindi confondere coordinata (intesa come dupla che permette di identificare un punto nel piano) con componente del vettore. Va da sé che posso parimenti scomporre il vettore velocità "lungo" quei versori e troverò gli scalari componenti del vettore velocità.
Benissimo
sistema di coordinate polari
Prendiamo nuovamente un punto P.
In questo caso i versori sono quello normale (diretto lungo il raggio della circonferenza) e quello tangenziale (tangente a quella circonferenza).
Le coordinate del punto P sono due numeri: (r,ϑ) però qui il vettore posizione scomposto lungo i versori non mi darà più questi due numeri (come succedeva nel caso cartesiano) qui se scompongo $vecr$ lungo i versoi ottengo $r$ che sarà la componente di $vecr$ lungo il versore normale e stop, nessun altro scalare.
Insomma le coordinate sono (r,ϑ), la componente r!
C'è quindi questa sostanziale differenza.
Ora veniamo alla derivazione del tuo post
Tu prendi un punto P di coordinate (x,y) nel piano e scrivi giustamente:
Queste coordinate (r,ϑ) però non sono, come detto sopra, la scomposizione del vettore posizione che indica il punto P lungo i versori coordinati (cioè lungo $vece_n,vece_theta)$, bensì sono due numeri (distanza e angolo) due semplici numeri detti coordinate (non sono le componenti, ripeto, del vettore posizione).
Quando io cerco la velocità di solito mi aspetto di derivare un vettore posizione nel tempo, mentre tu derivi due numeri -o meglio due relazioni-, di fatto (non derivi la scomposizione del vettore posizione sui due versori $vece_n,vece_theta$, derivi il legame tra due numeri che identificano un punto nel piano).
Orbene, tu vai a derivare quelle relazioni (che sono il legame tra coordinate, non tra componenti lungo i versori) e trovi il risultato:
A questo punto tali due valori li tratti ora come componenti (cioè come fosse la scomposizione del vettore velocità lungo i e j) le ruoti e ottieni dei valori che per te sono una proiezione del vettore velocità lungo $vece_n,vece_theta$.
E a me questo stupisce: siamo partiti da due numeri che in quanto si trattava di sistema di coordinate polari non erano le componenti del vettore posizione lungo i versori, erano solo n raggio e un angolo, derivi la relazione che lega quei valori a x,y e poi trovi degli altri valori che ritieni come le componenti del vettore velocità scomposti lungo i versori cartesiani $veci, vecj$ e a questo punto ruoti semplicemente tali componenti lungo i versori polari.
non capisco quindi come si sia giunti da coordinate del punto p r, theta a componenti di un vettore velocità.
Se ci sono errori (sui concetti dei sistemi di coordinati espressi) potrei chiederti di correggermi, oltre a risolvere il dubbio centrale. Un grande grazie.
Siccome mi dici che non sono stato in grado di spiegarmi provo ad aggiustare il tiro se me ne dai opportunità, perché mi piacerebbe arrivare a capire questa cosa semplice e utile che mi sfugge. Devo colmare questa lacuna per il prosieguo dei miei studi.
Il resto delle considerazioni in quella pagina sul pendolo mi sono chiare mi manca più che altro la parte di coordinate e vorrei approfondire con te quella parte se possibile e se hai voglia
.Divido la trattazione in coordinate cartesiane e polari:
quando lavoriamo in un certo sistema di coordinate (facciamo un piano) un certo punto lo identifichiamo con una dupla: le coordinate di quel punto (x,y); (r,ϑ), con ϑ angolo che il vettore posizione forma rispetto ad una certa posizione di riferimento.
Fin qui bene, i problemi vengono quando introduco i concetti di versore.
sistema di coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane hanno due versori canonici i,j ora quando prendo un qualunque vettore (così come il vettore posizione che indica un punto P o un vettore del tutto diverso es. vettore velocita') posso scomporlo lungo quei versori. E' interessane notare che scomponendo il vettore posizione ad esempio tramite prodotto scalare con il versore, i valori che trovo (componenti) corrispondono alla coordinata del punto P nel piano (cioè corrispondono proprio a qui numeri (x,y) con cui denoto il punto P).
Posso quindi confondere coordinata (intesa come dupla che permette di identificare un punto nel piano) con componente del vettore. Va da sé che posso parimenti scomporre il vettore velocità "lungo" quei versori e troverò gli scalari componenti del vettore velocità.
Benissimo
sistema di coordinate polari
Prendiamo nuovamente un punto P.
In questo caso i versori sono quello normale (diretto lungo il raggio della circonferenza) e quello tangenziale (tangente a quella circonferenza).
Le coordinate del punto P sono due numeri: (r,ϑ) però qui il vettore posizione scomposto lungo i versori non mi darà più questi due numeri (come succedeva nel caso cartesiano) qui se scompongo $vecr$ lungo i versoi ottengo $r$ che sarà la componente di $vecr$ lungo il versore normale e stop, nessun altro scalare.
Insomma le coordinate sono (r,ϑ), la componente r!
C'è quindi questa sostanziale differenza.
Ora veniamo alla derivazione del tuo post
Tu prendi un punto P di coordinate (x,y) nel piano e scrivi giustamente:
Il legame tra le coordinate cartesiane e quelle polari possiamo prenderlo come:
$x=r sin alpha$
$y=-r cos alpha$
Queste coordinate (r,ϑ) però non sono, come detto sopra, la scomposizione del vettore posizione che indica il punto P lungo i versori coordinati (cioè lungo $vece_n,vece_theta)$, bensì sono due numeri (distanza e angolo) due semplici numeri detti coordinate (non sono le componenti, ripeto, del vettore posizione).
Quando io cerco la velocità di solito mi aspetto di derivare un vettore posizione nel tempo, mentre tu derivi due numeri -o meglio due relazioni-, di fatto (non derivi la scomposizione del vettore posizione sui due versori $vece_n,vece_theta$, derivi il legame tra due numeri che identificano un punto nel piano).
Orbene, tu vai a derivare quelle relazioni (che sono il legame tra coordinate, non tra componenti lungo i versori) e trovi il risultato:
$dot x=dot r sin alpha + r dot alpha cos alpha$
$dot y=-dot r cos alpha+r dot alpha sin alpha$
A questo punto tali due valori li tratti ora come componenti (cioè come fosse la scomposizione del vettore velocità lungo i e j) le ruoti e ottieni dei valori che per te sono una proiezione del vettore velocità lungo $vece_n,vece_theta$.
E a me questo stupisce: siamo partiti da due numeri che in quanto si trattava di sistema di coordinate polari non erano le componenti del vettore posizione lungo i versori, erano solo n raggio e un angolo, derivi la relazione che lega quei valori a x,y e poi trovi degli altri valori che ritieni come le componenti del vettore velocità scomposti lungo i versori cartesiani $veci, vecj$ e a questo punto ruoti semplicemente tali componenti lungo i versori polari.
non capisco quindi come si sia giunti da coordinate del punto p r, theta a componenti di un vettore velocità.
Se ci sono errori (sui concetti dei sistemi di coordinati espressi) potrei chiederti di correggermi, oltre a risolvere il dubbio centrale. Un grande grazie.
@sixpix
A questo tipo di discorso avevo risposto in sostanza in questo messaggio della stessa discussione.
Sottolineo che le relazioni che esprimono la dipendenza delle coordinate cartesiani dalle polari, le puoi interpretare come assegnate leggi del moto di un punto materiale.
$x(t)=f(r(t), theta(t))$
$y(t)=g(r(t), theta(t))$
Quando derivi nel tempo quindi trovi la velocità sempre scritta nelle componenti cartesiane.
A questo punto semplicemente scrivi il vettore velocità scomponendolo nelle componenti radiale e circonferenziale e quelle componenti coincidono con la velocità in termini di coordinate polari.
Comunque se proprio non digerisci questo, perché non ti sembra formalmente corretto, puoi tranquillamente lasciar perdere questo approccio e usare quello classico per arrivare alla velocità in funzione delle coordinate polari (nella discussione linkata ci sono riferimenti a quello).
Io trovo questo mio approccio intuitivo e utile didatticamente in quanto non necessita di derivare i versori, ma sono gusti.
A questo tipo di discorso avevo risposto in sostanza in questo messaggio della stessa discussione.
Sottolineo che le relazioni che esprimono la dipendenza delle coordinate cartesiani dalle polari, le puoi interpretare come assegnate leggi del moto di un punto materiale.
$x(t)=f(r(t), theta(t))$
$y(t)=g(r(t), theta(t))$
Quando derivi nel tempo quindi trovi la velocità sempre scritta nelle componenti cartesiane.
A questo punto semplicemente scrivi il vettore velocità scomponendolo nelle componenti radiale e circonferenziale e quelle componenti coincidono con la velocità in termini di coordinate polari.
Comunque se proprio non digerisci questo, perché non ti sembra formalmente corretto, puoi tranquillamente lasciar perdere questo approccio e usare quello classico per arrivare alla velocità in funzione delle coordinate polari (nella discussione linkata ci sono riferimenti a quello).
Io trovo questo mio approccio intuitivo e utile didatticamente in quanto non necessita di derivare i versori, ma sono gusti.
Ciao Faussone
Non vorrei però essere frainteso, perché come dicevo non mi interessa molto quella vecchia discussione in sé, cioè del pendolo ecc. Mi interessava solo capire approfonditamente la questione dato che è legata strettamente al concetto sistemi di coordinate e quelli si voglio capirli meglio. Quindi quella discussione era solo un po' un pretesto per affrontare questi temi dato che trattava in un esempio specifico quelli che sono alcuni dubbi che vorrei fugare.
*******
Detto questo avrei solo tre domande...
Credo il punto focale del mio errore fosse qui: "Quando derivi nel tempo quindi trovi la velocità sempre scritta nelle componenti cartesiane."
In effetti il mio errore, nella derivazione, era di ritenere di star derivando in coordinate polari in realtà quello che succede è che tu stavi intrinsecamente derivando le relazioni $x(t)=f(r(t), theta(t))$ e $y(t)=g(r(t), theta(t))$, in effetti derivando i membri di destra derivo semplicemente una "riscrittura" del vettore posizione con coordinate parametrizzate da r e theta. Però, di fatto, sono ancora in coordinate cartesiane (x,y) non polari.
Io invece dicevo erroneamente: dato che per trovare la velocità posso derivare $(x(t),y(t))$, per trovarmi la velocità nelle polari euristicamente deriverei $(r(t),ϑ(t))$ e non mi ci trovavo molto perché non vedevo come da due valori $(r(t),ϑ(t))$ intesi come coordinate per definire un punto si trovasse la velocità. Il punto è che di fatto sto derivando $(x(t),y(t))$ (cioè scritto in modo esteso: $x(t)=f(r(t), theta(t))$ e $y(t)=g(r(t), theta(t))$) e non $(r(t),ϑ(t))$.
Mi sembra giusto ora no? O sto dicendo cavolate? (prima domanda)
Comunque se ho detto cose giuste sopra, passando al resto...
Questa cosa che sto dicendo nel quote secondo te è sensata? voglio cioè dire: componente del vettore e coordinata (cioè coppia di numeri che individua un punto P - o funzioni se vogliamo una dipendenza temporale-) coincidono nel sistema di coordinate cartesiane, quindi derivando sia le componenti che le coordinate (che hanno medesima forma $(x(t),y(t))$ trovo il vettore velocità.
I due concetti di coordinata e componente non coincidono però più nel sdr polare, perché qui il punto P che mettiamo si muova nel tempo: $P(t)$, si individua con scalari $(r,ϑ)$ (o se vogliamo che abbia una funzione temporale due funzioni $(r(t),ϑ(t))$) e queste sono le coordinate. Ma se prendo la componente del vettore posizione OP, cioè se scompongo il vettore posizione $vecr$ lungo i versori polari, esso avrà componente $r(t)$ e basta (non c'è scomposizione di valore ϑ lungo $e_theta$). Mi sembra quindi che i concetti siano diversi le coordinate sono due valori $(r(t),ϑ(t))$ le componenti (in tal caso la componente) è solo $(r(t)$.
Ora, derivare $(r(t),ϑ(t))$) non mi darà più le componenti del vettore velocità.
(ti chiedo se i concetti scritti sono corretti come seconda domanda). Mi preme infatti capire se ho ben compreso il fatto che le coordinate siano $(r,ϑ)$ mentre le componenti della scomposizione lungo i versori polari è solo $r$, perché non trovo mai una trattazione così chiara e i due concetti non mi sembrano doverosamente distinti, coincidono nel caso cartensiano ma non in quello polare mi pare.
La terza e ultima domanda è sempre inerente a questo discorso: la scomposizione del vettore posizione lungo i versori coordinati ci dà le componenti cartesiane $(x(t),y(t))$ se le derivo io trovo il vettore velocità (o meglio le sue componenti), però se derivo la componente della scomposizione lungo i versori polari io ho come componente -come ribadito- solo $r(t)$ e se la derivo non trovo però la velocità (per farlo dovei derivare anche i versori o procedere come hai fatto tu). Perché in tal caso derivare la componente non funziona? Non riesco bene ad afferrarlo.
Non vorrei però essere frainteso, perché come dicevo non mi interessa molto quella vecchia discussione in sé, cioè del pendolo ecc. Mi interessava solo capire approfonditamente la questione dato che è legata strettamente al concetto sistemi di coordinate e quelli si voglio capirli meglio. Quindi quella discussione era solo un po' un pretesto per affrontare questi temi dato che trattava in un esempio specifico quelli che sono alcuni dubbi che vorrei fugare.
*******
Detto questo avrei solo tre domande...
Credo il punto focale del mio errore fosse qui: "Quando derivi nel tempo quindi trovi la velocità sempre scritta nelle componenti cartesiane."
In effetti il mio errore, nella derivazione, era di ritenere di star derivando in coordinate polari in realtà quello che succede è che tu stavi intrinsecamente derivando le relazioni $x(t)=f(r(t), theta(t))$ e $y(t)=g(r(t), theta(t))$, in effetti derivando i membri di destra derivo semplicemente una "riscrittura" del vettore posizione con coordinate parametrizzate da r e theta. Però, di fatto, sono ancora in coordinate cartesiane (x,y) non polari.
Io invece dicevo erroneamente: dato che per trovare la velocità posso derivare $(x(t),y(t))$, per trovarmi la velocità nelle polari euristicamente deriverei $(r(t),ϑ(t))$ e non mi ci trovavo molto perché non vedevo come da due valori $(r(t),ϑ(t))$ intesi come coordinate per definire un punto si trovasse la velocità. Il punto è che di fatto sto derivando $(x(t),y(t))$ (cioè scritto in modo esteso: $x(t)=f(r(t), theta(t))$ e $y(t)=g(r(t), theta(t))$) e non $(r(t),ϑ(t))$.
Mi sembra giusto ora no? O sto dicendo cavolate?
(prima domanda)Comunque se ho detto cose giuste sopra, passando al resto...
Divido la trattazione in coordinate cartesiane e polari:
quando lavoriamo in un certo sistema di coordinate (facciamo un piano) un certo punto lo identifichiamo con una dupla: le coordinate di quel punto (x,y); (r,ϑ), con ϑ angolo che il vettore posizione forma rispetto ad una certa posizione di riferimento.
Fin qui bene, i problemi vengono quando introduco i concetti di versore.
sistema di coordinate cartesiane
Le coordinate cartesiane hanno due versori canonici i,j ora quando prendo un qualunque vettore (così come il vettore posizione che indica un punto P o un vettore del tutto diverso es. vettore velocita') posso scomporlo lungo quei versori[nota]evidenzio il concetto di componenti, cioè lo scalare che si ottiene proiettandolo sul versore, perché utile nel seguito[/nota]. E' interessane notare che scomponendo il vettore posizione ad esempio tramite prodotto scalare con il versore, i valori che trovo (componenti) corrispondono alla coordinata del punto P nel piano (cioè corrispondono proprio a qui numeri (x,y) con cui denoto il punto P).
Posso quindi confondere coordinata (intesa come dupla che permette di identificare un punto nel piano) con componente del vettore. Va da sé che posso parimenti scomporre il vettore velocità "lungo" quei versori e troverò gli scalari componenti del vettore velocità.
Benissimo
sistema di coordinate polari
Prendiamo nuovamente un punto P.
In questo caso i versori sono quello normale (diretto lungo il raggio della circonferenza) e quello tangenziale (tangente a quella circonferenza).
Le coordinate del punto P sono due numeri: (r,ϑ) però qui il vettore posizione scomposto lungo i versori non mi darà più questi due numeri (come succedeva nel caso cartesiano) qui se scompongo $vecr$ lungo i versori ottengo $r$ che sarà la componente di $vecr$ lungo il versore normale e stop, nessun altro scalare.
Insomma le coordinate sono (r,ϑ), la componente r!
C'è quindi questa sostanziale differenza.
Questa cosa che sto dicendo nel quote secondo te è sensata? voglio cioè dire: componente del vettore e coordinata (cioè coppia di numeri che individua un punto P - o funzioni se vogliamo una dipendenza temporale-) coincidono nel sistema di coordinate cartesiane, quindi derivando sia le componenti che le coordinate (che hanno medesima forma $(x(t),y(t))$ trovo il vettore velocità.
I due concetti di coordinata e componente non coincidono però più nel sdr polare, perché qui il punto P che mettiamo si muova nel tempo: $P(t)$, si individua con scalari $(r,ϑ)$ (o se vogliamo che abbia una funzione temporale due funzioni $(r(t),ϑ(t))$) e queste sono le coordinate. Ma se prendo la componente del vettore posizione OP, cioè se scompongo il vettore posizione $vecr$ lungo i versori polari, esso avrà componente $r(t)$ e basta (non c'è scomposizione di valore ϑ lungo $e_theta$). Mi sembra quindi che i concetti siano diversi le coordinate sono due valori $(r(t),ϑ(t))$ le componenti (in tal caso la componente) è solo $(r(t)$.
Ora, derivare $(r(t),ϑ(t))$) non mi darà più le componenti del vettore velocità.
(ti chiedo se i concetti scritti sono corretti come seconda domanda). Mi preme infatti capire se ho ben compreso il fatto che le coordinate siano $(r,ϑ)$ mentre le componenti della scomposizione lungo i versori polari è solo $r$, perché non trovo mai una trattazione così chiara e i due concetti non mi sembrano doverosamente distinti, coincidono nel caso cartensiano ma non in quello polare mi pare.
La terza e ultima domanda è sempre inerente a questo discorso: la scomposizione del vettore posizione lungo i versori coordinati ci dà le componenti cartesiane $(x(t),y(t))$ se le derivo io trovo il vettore velocità (o meglio le sue componenti), però se derivo la componente della scomposizione lungo i versori polari io ho come componente -come ribadito- solo $r(t)$ e se la derivo non trovo però la velocità (per farlo dovei derivare anche i versori o procedere come hai fatto tu). Perché in tal caso derivare la componente non funziona? Non riesco bene ad afferrarlo.
"sixpix":
[....]
Mi sembra giusto ora no? O sto dicendo cavolate?
Giusto.
Comunque io sono un ingegnere di formazione, capisco il dover formalizzare bene le cose, ma oltre un certo punto mi rompo le scatole
e alcune robe mi sembrano non sottigliezze, ma questioni di lana caprina.Intendiamoci: non dico che ho ragione io a vederla così, solo per metterti un guardia
Comunque il punto è che la velocità per definizione è la derivata del vettore posizione.
Ora il vettore posizione coincide direttamente con le coordinate cartesiane, invece le coordinate polari non ti danno, per così dire, la posizione direttamente, quindi farne la semplice derivata non ti fornisce affatto la velocità, ma solo la variazione della coordinata polare nel tempo.
"sixpix":
[....]
Ora, derivare $(r(t),ϑ(t))$) non mi darà più le componenti del vettore velocità.
(ti chiedo se i concetti scritti sono corretti come seconda domanda). Mi preme infatti capire se ho ben compreso il fatto che le coordinate siano $(r,ϑ)$ mentre le componenti della scomposizione lungo i versori polari è solo $r$, perché non trovo mai una trattazione così chiara e i due concetti non mi sembrano doverosamente distinti, coincidono nel caso cartensiano ma non in quello polare mi pare.
Sì è più o meno quello che ho appena detto e riscritto/ridetto.
"sixpix":
La terza e ultima domanda è sempre inerente a questo discorso: la scomposizione del vettore posizione lungo i versori coordinati ci dà le componenti cartesiane $(x(t),y(t))$ se le derivo io trovo il vettore velocità (o meglio le sue componenti), però se derivo la componente della scomposizione lungo i versori polari io ho come componente -come ribadito- solo $r(t)$ e se la derivo non trovo però la velocità (per farlo dovei derivare anche i versori o procedere come hai fatto tu). Perché in tal caso derivare la componente non funziona? Non riesco bene ad afferrarlo.
A me pare che tu stia ripetendo sempre lo stesso dubbio e la stessa domanda.I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche, quindi non ha senso la domanda.
Mi spiace ma sinceramente non so risponderti più di così su questo.
Spero basti, e che ove non fosse così qualcun altro meno rozzo di me sappia chiarire questi tuoi dubbi.
Mah, guarda, rozzo o meno direi che era quello che cercavo. Ho imparato di più a leggere da quella tua vecchia risposta e qui che in 4 giorni sui manuali di fisica XD perché mi stavo letteralmente scervellando. Invece ora ho finalmente capito con due tue parole.
Poi si, in effetti il dubbio è lo stesso ma dava adito a 2 sottodomande diciamo così. Nel senso risolto il dubbio come fatto ora scompaiono automaticamente e direi che
risponde esattamente al mio dubbio.
Però la terza la ritenevo un po' a se stante.
************
Mi piacerebbe quindi tediarti (per sadismo ovvio
, no scherzo 
) solo su un'ultima sottigliezza ma capita questa poi mi levo dalle scatole. E' che ci tengo proprio a capire.
Questo è vero cioè ho ora capito che non ha senso fare la derivata delle coordinate polari in se r e theta perché otterrei la variazione della coordinata polare e non la velocità! E quindi mi piacerebbe chiederti, per capire, perché se derivo $r(t)$ intesa come componente del vettore non trovo la velocità? Non sarebbe al pari di derivare le componenti $(x(t),y(t))$ del vettore $vecr(t)$?
Quello che voglio dire è che in quella che chiamavo terza domanda non usavo tanto le coordinate, quanto piuttosto una componente lungo il versore polare radiale. Cioè una componente del vettore posizione
Forse nasce perché non ho chiarissimo questo concetto:
I versori polari non sono radiale e tangenziale? cioè io li vedevo come direzioni, sbaglio?
Cioè nelle polari separo il concetto di coordinate che dicevo appunto essere $r$ e $theta$ e poi dei versori $e_r, e_theta$ che vedo come due versori ortogonali nel punto di interesse P. però una direzione la hanno e sono in particolare quella radiale e quella tangenziale (ma, rimarco, che nulla hanno a che fare con i numeri r e theta le scomposizioni della posizione su di esso). Però di fatto, in quanto versori, li vedevo così diretti nello spazio.
da qui la domanda perché non posso derivare la componente r(t) come facevo per x(t) y(t)? sbaglio qualcosa nel vedere questi versori? non capisco bene la maganga ecco
Poi si, in effetti il dubbio è lo stesso ma dava adito a 2 sottodomande diciamo così. Nel senso risolto il dubbio come fatto ora scompaiono automaticamente e direi che
Ora il vettore posizione coincide direttamente con le coordinate cartesiane, invece le coordinate polari non ti danno, per così dire, la posizione direttamente, quindi farne la semplice derivata non ti fornisce affatto la velocità, ma solo la variazione della coordinata polare nel tempo.
risponde esattamente al mio dubbio
.Però la terza la ritenevo un po' a se stante.
************
Mi piacerebbe quindi tediarti (per sadismo ovvio
, no scherzo ) solo su un'ultima sottigliezza ma capita questa poi mi levo dalle scatole. E' che ci tengo proprio a capire." invece le coordinate polari non ti danno, per così dire, la posizione direttamente, quindi farne la semplice derivata non ti fornisce affatto la velocità"
Questo è vero cioè ho ora capito che non ha senso fare la derivata delle coordinate polari in se r e theta perché otterrei la variazione della coordinata polare e non la velocità! E quindi mi piacerebbe chiederti, per capire, perché se derivo $r(t)$ intesa come componente del vettore non trovo la velocità? Non sarebbe al pari di derivare le componenti $(x(t),y(t))$ del vettore $vecr(t)$?
Quello che voglio dire è che in quella che chiamavo terza domanda non usavo tanto le coordinate, quanto piuttosto una componente lungo il versore polare radiale. Cioè una componente del vettore posizione
Forse nasce perché non ho chiarissimo questo concetto:
I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche, quindi non ha senso la domanda.
I versori polari non sono radiale e tangenziale? cioè io li vedevo come direzioni, sbaglio?
Cioè nelle polari separo il concetto di coordinate che dicevo appunto essere $r$ e $theta$ e poi dei versori $e_r, e_theta$ che vedo come due versori ortogonali nel punto di interesse P. però una direzione la hanno e sono in particolare quella radiale e quella tangenziale (ma, rimarco, che nulla hanno a che fare con i numeri r e theta le scomposizioni della posizione su di esso). Però di fatto, in quanto versori, li vedevo così diretti nello spazio.
da qui la domanda perché non posso derivare la componente r(t) come facevo per x(t) y(t)? sbaglio qualcosa nel vedere questi versori? non capisco bene la maganga ecco
"sixpix":
Mah guarda, rozzo o meno direi che era quello che cercavo. Ho imparato di più a leggere da quella tua vecchia risposta e qui che in 4 giorni sui manuali di fisica XD perché mi stavo letteralmente scervellando. Invece ora ho finalmente capito con due tue parole.
Mi fa molto piacere.
"sixpix":
[...]
da qui la domanda perché non posso derivare la componente r(t) come facevo per x(t) y(t)? sbaglio qualcosa nel vedere questi versori? non capisco bene la maganga ecco
Certo se parli solo di $r$ in particolare puoi farlo, perché la coordinata $r$ coincide con la posizione radiale, ma è un caso per così dire particolare di quella coordinata polare (e infatti appunto $v_r=dot r$). Quindi nessuna magagna.
Ok quindi i versori polari è giusto vederli come dicevo? con quelle direzioni: radiale e tangenziale. perché dalla tua frase: "I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche" non ho ben colto cosa volessi dirmi 
. Cioè, l'importante è che non sto facendo errori interpretativi, che è il mio grande cruccio .
Ciò detto, non ho però ben capito in che senso funzioni $v_r=dotr$, mi spiego: quando io ho la componente $r$, cioè la scomposizione di $vecr$ lungo il versore (polare) radiale se derivo $r$ in generale non trovo in realtà la componente della velocità mi pareva. Sbaglio? (da quello che dici mi sa di si ma non capisco perché). Perché il vettore velocità (immaginato come freccetta) in generale non ha la direzione di $vecr$ e questo mi pareva far perdere quella proprietà per cui derivando la componente del vettore posizione, trovo la componente della velocità. Credo sia questo che non mi è chiaro.
PS: ah forse ho capito ora, $(dvecr)/(dt)=d/(dt)r(t)vecu(t)=dotrvecu_r+d/(dt)vecu_r*r=dotrvecu_r+(r*(d theta)/(dt))vecu_theta$, quindi è vero: per la componente radiale r di $vecr$ ho il corretto legame senza "magagne" $v_r=dotr$, il problema è che non trovo la componente della velocità $r*(d theta)/(dt)$ come legame con qualche componente della posizione, si trova solo derivando il versore $vecu_r$.
Mentre nel caso cartesiano era comodo perché derivare le componenti $(x,y)$ già mi dà entrambe le componenti della velocità $(dotx,doty)$ e sono belle che a posto, quella polare mi permette solo di trovare $v_r=dotr$ invece ma mancherebbe l'altra componente circonferenziale per mancanza di un legame tra componente e sua derivata. Credo sia questo che complica intrinsecamente le cose spero di non dir baggiante.
Grazie davvero per il tuo aiuto!
. Cioè, l'importante è che non sto facendo errori interpretativi, che è il mio grande cruccio .Ciò detto, non ho però ben capito in che senso funzioni $v_r=dotr$, mi spiego: quando io ho la componente $r$, cioè la scomposizione di $vecr$ lungo il versore (polare) radiale se derivo $r$ in generale non trovo in realtà la componente della velocità mi pareva. Sbaglio? (da quello che dici mi sa di si ma non capisco perché). Perché il vettore velocità (immaginato come freccetta) in generale non ha la direzione di $vecr$ e questo mi pareva far perdere quella proprietà per cui derivando la componente del vettore posizione, trovo la componente della velocità. Credo sia questo che non mi è chiaro.
PS: ah forse ho capito ora, $(dvecr)/(dt)=d/(dt)r(t)vecu(t)=dotrvecu_r+d/(dt)vecu_r*r=dotrvecu_r+(r*(d theta)/(dt))vecu_theta$, quindi è vero: per la componente radiale r di $vecr$ ho il corretto legame senza "magagne" $v_r=dotr$, il problema è che non trovo la componente della velocità $r*(d theta)/(dt)$ come legame con qualche componente della posizione, si trova solo derivando il versore $vecu_r$.
Mentre nel caso cartesiano era comodo perché derivare le componenti $(x,y)$ già mi dà entrambe le componenti della velocità $(dotx,doty)$ e sono belle che a posto, quella polare mi permette solo di trovare $v_r=dotr$ invece ma mancherebbe l'altra componente circonferenziale per mancanza di un legame tra componente e sua derivata. Credo sia questo che complica intrinsecamente le cose
spero di non dir baggiante.Grazie davvero per il tuo aiuto!
"sixpix":
Grazie davvero per il tuo aiuto!
Bene, prego!
Alla fine mi pare i dubbi te li sei risolti da solo, ma questo ritengo sia l'unico vero modo per far propri i concetti e per convincersi
Grazie mille davvero, quindi mi sembra di capire che condividi quanto ho scritto, almeno ora sono sicuro di non aver detto castronerie megagalattiche . Ti ringrazio molto per avermi dedicato il tuo tempo nel rispondermi (anche se ho capito da quanto dicevi che non era un argomento che ti aggradava molto/annoiava XD), è stato importante chiacchierarne con qualcuno esperto perché da solo non ci sarei mai riuscito .
Ma invece, solo per curiosità e spirito di completezza, posso chiederti cosa intendessi con la parte che citavo?
"I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche"
Perché questa cosa mi rimane come tarlo (per le ragioni che dicevo nel post precedente), non ho onestamente capito e molto probabilmente per mia incompetenza, ma ne sono incuriosito. (so che odierai la mia ossessività XD, però ci tenevo a capire il più possibile di quanto dettomi)
TI auguro per intanto un buon WE!!
. Ti ringrazio molto per avermi dedicato il tuo tempo nel rispondermi (anche se ho capito da quanto dicevi che non era un argomento che ti aggradava molto/annoiava XD), è stato importante chiacchierarne con qualcuno esperto perché da solo non ci sarei mai riuscito .Ma invece, solo per curiosità e spirito di completezza, posso chiederti cosa intendessi con la parte che citavo?
"I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche"
Perché questa cosa mi rimane come tarlo (per le ragioni che dicevo nel post precedente), non ho onestamente capito e molto probabilmente per mia incompetenza, ma ne sono incuriosito. (so che odierai la mia ossessività XD, però ci tenevo a capire il più possibile di quanto dettomi)
TI auguro per intanto un buon WE!!
"sixpix":
Ma invece, solo per curiosità e spirito di completezza, posso chiederti cosa intendessi con la parte che citavo?
"I versori polari non hanno nulla a che fare, non direttamente almeno, con direzioni fisiche"
Perché questa cosa mi rimane come tarlo (per le ragioni che dicevo nel post precedente), non ho onestamente capito e molto probabilmente per mia incompetenza, ma ne sono incuriosito. (so che odierai la mia ossessività XD, però ci tenevo a capire il più possibile di quanto dettomi)
TI auguro per intanto un buon WE!!
Niente di che, sempre quello che già abbiamo detto e ridetto: le coordinate polari non sono coordinate vere e proprie quindi il versore di raggio o angolo non indica una direzione fisica direttamente, entrambe lo coordinate insieme vanno per così dire interpretate nel modo giusto, a differenza delle coordinate cartesiane x e y che appunto essendo cartesiane hanno una diretta corrispondenza spaziale.
Ciao e buon weekend anche a te.
Ah ok ho compreso cioè intendi che i versori per cui si può scrivere $rvece_r,thetavece_theta$, cioè che hanno per coefficiente diciamo così $(r,theta)$ non sono propriamente versori in quanto non hanno una indicazione spaziale.
Però il mio dubbio sorgeva perché invece interpretavo come versori polari questi altri: $vecu_r$ e $vecu_theta$ (cioè il radiale e circonferenziale, li chiamo "u" e non "e" come prima perché voglio scinderli come concetto rispetto a$vece_r,vece_theta$).
A questo punto è ovvio che essi non siano più quelli che rendono vero dire: $rvecu_r,thetavecu_theta$, perché non funzionerebbe più la relazione valore dell'angolo $theta$ come coefficiente del versore circonferenziale.
Però io pensavo fossero questi i versori, è sbagliato chiamarli in tal modo? Perché questi in effetti danno una direzione nello spazio.
E' questo che credo non mi sia chiaro. E' corretto come concetto, cioè la differenza col tuo era questo credo. Però vorrei capire, perché chiarito questo direi che ho terminato i dubbi sull'argomento.
Però il mio dubbio sorgeva perché invece interpretavo come versori polari questi altri: $vecu_r$ e $vecu_theta$ (cioè il radiale e circonferenziale, li chiamo "u" e non "e" come prima perché voglio scinderli come concetto rispetto a$vece_r,vece_theta$).
A questo punto è ovvio che essi non siano più quelli che rendono vero dire: $rvecu_r,thetavecu_theta$, perché non funzionerebbe più la relazione valore dell'angolo $theta$ come coefficiente del versore circonferenziale.
Però io pensavo fossero questi i versori, è sbagliato chiamarli in tal modo? Perché questi in effetti danno una direzione nello spazio.
E' questo che credo non mi sia chiaro. E' corretto come concetto, cioè la differenza col tuo era questo credo. Però vorrei capire, perché chiarito questo direi che ho terminato i dubbi sull'argomento.
"sixpix":
A questo punto è ovvio che essi non siano più quelli che rendono vero dire: $rvecu_r,thetavecu_theta$, perché non funzionerebbe più la relazione valore dell'angolo $theta$ come coefficiente del versore circonferenziale.
Però io pensavo fossero questi i versori, è sbagliato chiamarli in tal modo? Perché questi in effetti danno una direzione nello spazio.
Guarda lascerei perdere i nomi e le definizioni che tanto non le so e sarei impreciso: $r$ $theta$ sono una coppia di numeri, sono pure coordinate perché interpretate in un certo modo ti consentono di definire la posizione di un punto nello spazio.
Se tale coppia vuoi interpretarla come un vettore ok, però devi fare attenzione a quello che maneggi e in che spazio ti muovi e trattarle di conseguenza. Quindi se vuoi calcolare la velocità a partire da queste coordinate devi tener conto di quei discorsi e di quelle deduzioni che hai fatto su quei versi $u_r$ e $u_theta$ e quando ne fai la derivata fai attenzione (io li chiamerei versori locali, però non so se è il termine corretto ma credo si capisca il motivo), oppure lavori sempre in cartesiane, come ho fatto io e poi torni alle polari per ricavare la velocità in funzione delle coordinate polari.
Adesso davvero io chiuderei però, ché il discorso sta diventando da parte mia una continua ripetizione degli stessi concetti con parole diverse.
Ti ringrazio ancora, in realtà non volevo rompere ulteriormente e tantomeno cercare la formalità nella zoologia di nomenclatura (anzi i nomi che ho dato non so manco se fossero corretti), ma semplicemente mi premeva capirne il concetto intrinseco: dei nomi mi frega poco .
Come dicevo non ero ben riuscito a capire come usare questa nozione
Però ora credo di aver capito, il punto che volevi sottolineare penso fosse che sono versori, come mi fai correttamente notare tu, "locali" e in quanto tali non sono da prendere come direzioni nello spazio (fisse), come farei nelle cartesiane.
Credo in concetto intrinseco fosse quello. Mi sembra ora di esserci, grazie di nuovo! Ti saluto
.Come dicevo non ero ben riuscito a capire come usare questa nozione
le coordinate polari non sono coordinate vere e proprie quindi il versore di raggio o angolo non indica una direzione fisica direttamente
Però ora credo di aver capito, il punto che volevi sottolineare penso fosse che sono versori, come mi fai correttamente notare tu, "locali" e in quanto tali non sono da prendere come direzioni nello spazio (fisse), come farei nelle cartesiane.
Credo in concetto intrinseco fosse quello. Mi sembra ora di esserci, grazie di nuovo! Ti saluto
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