Sistema materiale: lamina + asta
nel piano verticale $Oxy$ un sistema materiale è costituito da una lamina omogenea $OAB$ a forma di un triangolo equilatero di lato $L$ e massa $ M$ e da un'asta omogenea $AC$ di lunghezza $l$ e massa $ m$ . la lamina ha il vertice $O$ incernierato nell'origine del sistema , il vertice $A$ incernierato nell'estremo $A$ dell'asta ed il vertice $B$ collegato al punto $Q=(2/3L,0)$ mediante una molla di costante elastica $k=((sqrt3)g/(4L))(3/2m+M)$. l'estremo $C$ dell'asta è vincolato a scorrere lungo il semiasse $x$ negativo senza mai oltrepassare l'origine $O$.
determinare:
1) le eventuali configurazione di equilibrio, ordinarie e di confine, studiando la stabilità di quelle ordinarie, nell'ipotesi che $C$ scorre senza attrito.
2)le equazioni pure del moto e le reazioni vincolari nell'ipotesi che il piano $Oxy$ ruoti uniformemente attorno all'asse $Oy$ e $C$ scorre con attrito.
il parametro lagrangiano è uno: l'angolo che si ha tra $ACO$
per il primo punto si deve studiare il potenziale, calcolare le sue derivate seconde e studiare la stabilità tramite lo studio del determinate hessiano
il problema è capire quali sono le posizioni di confine del sistema e qual è l'intervallo in cui varia l'angolo? non riesco a capirlo...
determinare:
1) le eventuali configurazione di equilibrio, ordinarie e di confine, studiando la stabilità di quelle ordinarie, nell'ipotesi che $C$ scorre senza attrito.
2)le equazioni pure del moto e le reazioni vincolari nell'ipotesi che il piano $Oxy$ ruoti uniformemente attorno all'asse $Oy$ e $C$ scorre con attrito.
il parametro lagrangiano è uno: l'angolo che si ha tra $ACO$
per il primo punto si deve studiare il potenziale, calcolare le sue derivate seconde e studiare la stabilità tramite lo studio del determinate hessiano
il problema è capire quali sono le posizioni di confine del sistema e qual è l'intervallo in cui varia l'angolo? non riesco a capirlo...
Risposte
Scusami marix, vorrei risolvere il problema con te. Io non so cos'è una lagrangiana, davvero. Però con un po' di intuizione voglio trovare le posizioni di equilibrio.
Ora so di sicuro che un sistema si ferma quando cambiando di poco la sua posizione l'energia potenziale non varia, cioè l'energia rispetto al movimento ha un punto stazionario. Come una palla in fondo a una buca. E' in equilibrio stabile.
Anche una palla in cima a una collinetta è stabile, ma è un equilibrio precario (non so neanche il termine giusto).
Allora qui ci sono 3 oggetti.
Sia $\theta$ l'angolo tra OA e l'asse x
L'asta.
L'asta ha il baricentro a un'altezza di $X_A/2 sin\theta $. E' immediato no ?
Quindi la sue energia potenziale è $m g (X_A/2)sin \theta$.
Il triangolo equilatero ha il baricentro lungo l'altezza a 2/3 dell'altezza dal vertice. L'altezza è $\sqrt3/2 L$. Quindi con un po' di geometria il baricentro è ad una altezza $2/3 \sqrt3/2 L sin (\pi/6+\theta) = 1/ \sqrt3 L sin (\pi/6+\theta)$.
Moltiplicato per $mg$ da la sua energia potenziale
Rimane la lunghezza della molla.
Un capo è attaccato a B che ha coordinate $L(\cos(\pi/3+\theta),\sin(\pi/3+\theta))$, l'altro capo a $(2/3 L,0)$.
quindi la sua lunghezza è $d=L\sqrt((\cos(\pi/3+\theta)-2/3 )^2+ \sin^2(\pi/3+\theta))$.
La sua energia è $1/2 kd^2$
Non resta che derivare le 3 energie rispetto a $\theta$, fare la somme delle derivate e uguagliare a zero.
Ora so di sicuro che un sistema si ferma quando cambiando di poco la sua posizione l'energia potenziale non varia, cioè l'energia rispetto al movimento ha un punto stazionario. Come una palla in fondo a una buca. E' in equilibrio stabile.
Anche una palla in cima a una collinetta è stabile, ma è un equilibrio precario (non so neanche il termine giusto).
Allora qui ci sono 3 oggetti.
Sia $\theta$ l'angolo tra OA e l'asse x
L'asta.
L'asta ha il baricentro a un'altezza di $X_A/2 sin\theta $. E' immediato no ?
Quindi la sue energia potenziale è $m g (X_A/2)sin \theta$.
Il triangolo equilatero ha il baricentro lungo l'altezza a 2/3 dell'altezza dal vertice. L'altezza è $\sqrt3/2 L$. Quindi con un po' di geometria il baricentro è ad una altezza $2/3 \sqrt3/2 L sin (\pi/6+\theta) = 1/ \sqrt3 L sin (\pi/6+\theta)$.
Moltiplicato per $mg$ da la sua energia potenziale
Rimane la lunghezza della molla.
Un capo è attaccato a B che ha coordinate $L(\cos(\pi/3+\theta),\sin(\pi/3+\theta))$, l'altro capo a $(2/3 L,0)$.
quindi la sua lunghezza è $d=L\sqrt((\cos(\pi/3+\theta)-2/3 )^2+ \sin^2(\pi/3+\theta))$.
La sua energia è $1/2 kd^2$
Non resta che derivare le 3 energie rispetto a $\theta$, fare la somme delle derivate e uguagliare a zero.
la derivata del potenziale dell'asta è $mgX_a/2cosθ$
la derivata del potenziale del triangolo è $MgL/sqrt(3)(-sqrt(3)/2senθ+1/2cosθ)$
la derivata del potenziale della forza elastica è $1/2sqrt(3)/4L(3/2m+M)(2/3senθ+2/3sqrt(3)cosθ)$ù
sommando:
$U'=senθ(mgx_a/2-MgL/2+sqrt(3)/8Lm+sqrt(3)LM/12)+cosθ(MgL/(2sqrt(3))+3/8Lm+1/4LM)=0$
non trovo pero' le soluzioni dell'equazione!
la derivata del potenziale del triangolo è $MgL/sqrt(3)(-sqrt(3)/2senθ+1/2cosθ)$
la derivata del potenziale della forza elastica è $1/2sqrt(3)/4L(3/2m+M)(2/3senθ+2/3sqrt(3)cosθ)$ù
sommando:
$U'=senθ(mgx_a/2-MgL/2+sqrt(3)/8Lm+sqrt(3)LM/12)+cosθ(MgL/(2sqrt(3))+3/8Lm+1/4LM)=0$
non trovo pero' le soluzioni dell'equazione!
"Quinzio":
Il triangolo equilatero ha il baricentro lungo l'altezza a 2/3 dell'altezza dal vertice. L'altezza è $\sqrt3/2 L$. Quindi con un po' di geometria il baricentro è ad una altezza $2/3 \sqrt3/2 L sin (\pi/6+\theta) = 1/ \sqrt3 L sin (\pi/6+\theta)$.
Moltiplicato per $mg$ da la sua energia potenziale
Rimane la lunghezza della molla.
Un capo è attaccato a B che ha coordinate $L(\cos(\pi/3+\theta),\sin(\pi/3+\theta))$, l'altro capo a $(2/3 L,0)$.
quindi la sua lunghezza è $d=L\sqrt((\cos(\pi/3+\theta)-2/3 )^2+ \sin^2(\pi/3+\theta))$.
La sua energia è $1/2 kd^2$
Non resta che derivare le 3 energie rispetto a $\theta$, fare la somme delle derivate e uguagliare a zero.
nono ho capito il $(\pi/3+\theta)$ ed il $(\pi/6+\theta)$..
Perchè non fai un disegno ? (tocca a te farlo)
Discuterne così è come descrivere la Gioconda a parole...
Discuterne così è come descrivere la Gioconda a parole...
ecco qui il disegno approssimativo
per il punto 2) dovrei scrivere le equazioni della dinamica giusto?
ma ho qualche problema nello scrivere le forze assifuga e coriolis
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