Sistema in rotazione con asta e molla
Ciao a tutti, avrei una curiosità su un problema di meccanica tratto da un tema d'esame.
Il sistema da studiare è il seguente (la sbarra è omogenea e ha massa $m$, la molla ha lunghezza a riposo nulla, il perno di collegamento fra la sbarra e il palo verticale è liscio):
Una delle richieste è di considerare il caso in cui il sistema ruoti attorno al palo con velocità angolare $\Omega$ e calcolare gli angoli di equilibrio. Nel caso $\Omega=0$ ho trovato che gli angoli di equilibrio sono $\theta=0,\theta=\pi$ (e la loro stabilità dipende dal valore del rapporto \(mg/kL\)), mentre nel caso $\Omega\ne 0$ oltre a questi c'è un eventuale terzo angolo di equilibrio di espressione:
che esiste se e solo se è possibile "dare in pasto" quell'argomento all'arcocoseno, ovvero se e solo se $\Omega\geq\sqrt{{3|mg-2kL|}/{2mL}}$.
Ora, il mio dilemma è studiare la stabilità di questi angoli di equilibrio, ossia scrivere l'espressione dell'energia potenziale del sistema. Se il sistema non ruota è molto facile, ma se ruota bisogna aggiungere un contributo centrifugo che non riesco bene a determinare. Calcolando un paio di integrali ho formulato un'ipotesi: \(U_C(\theta)=\frac{m\Omega^2L^2}{8}(\theta+\sin\theta\cos\theta)\), ma costruendone il grafico sembra non andare bene.
Grazie in anticipo!
Il sistema da studiare è il seguente (la sbarra è omogenea e ha massa $m$, la molla ha lunghezza a riposo nulla, il perno di collegamento fra la sbarra e il palo verticale è liscio):
Una delle richieste è di considerare il caso in cui il sistema ruoti attorno al palo con velocità angolare $\Omega$ e calcolare gli angoli di equilibrio. Nel caso $\Omega=0$ ho trovato che gli angoli di equilibrio sono $\theta=0,\theta=\pi$ (e la loro stabilità dipende dal valore del rapporto \(mg/kL\)), mentre nel caso $\Omega\ne 0$ oltre a questi c'è un eventuale terzo angolo di equilibrio di espressione:
\(\theta=\arccos\dfrac{3(mg-2kL)}{2mL\Omega^2}\)
che esiste se e solo se è possibile "dare in pasto" quell'argomento all'arcocoseno, ovvero se e solo se $\Omega\geq\sqrt{{3|mg-2kL|}/{2mL}}$.
Ora, il mio dilemma è studiare la stabilità di questi angoli di equilibrio, ossia scrivere l'espressione dell'energia potenziale del sistema. Se il sistema non ruota è molto facile, ma se ruota bisogna aggiungere un contributo centrifugo che non riesco bene a determinare. Calcolando un paio di integrali ho formulato un'ipotesi: \(U_C(\theta)=\frac{m\Omega^2L^2}{8}(\theta+\sin\theta\cos\theta)\), ma costruendone il grafico sembra non andare bene.
Grazie in anticipo!
Risposte
$M(\theta)=m/L\int_{0}^{L}\omega^2*x\sin\theta*xcos\thetadx=1/3mL^2\omega^2cos\thetasin\theta rarr$
$rarr U(\theta)=1/6mL^2\omega^2cos^2\theta$
Grazie! Il momento l'avevo calcolato. Non avevo pensato che potevo partire da quello piuttosto che dall'espressione della forza. Ovviamente valeva \(W=\displaystyle\int\tau_O(\theta)d\theta\). Hai utilizzato questa o un'altra relazione?
$M(\theta)=-(dU(\theta))/(d\theta)$
Ok! Era molto più semplice di quello che sembrava. Grazie davvero, buona serata!
Buona serata anche a te. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo