Sistema formato da un'asta e un punto materiale: equilibrio, reazioni vincolari ed equazioni differenziali del moto

[sangi89]

Oggi vi propongo questo esercizio:
Nel paino verticale Oxy un'asta AB, di lunghezza 2R e densità, nel suo generico punto Q, data da \(\displaystyle \mu=\frac{3M}{8R^{3}}|AQ|^2, M>0 \), è incernierata nel suo punto medio O. Un punto materiale P, di massa m, è vincolato a muoversi su una guida circolare di centro O e raggio R. Una molla di costante elastica h collega il centro dell'asta con il punto materiale P. Sul sitema, inoltre agisce una coppia di forza di momento \(\displaystyle M=\frac{-Mg}{2}\overline{j}\wedge OB' \) dove B' è la proiezione di B sull'asse orizzontale Ox.

a) suppondendo i vincoli perfetti, determinare le evenutali configurazioni di equilibrio, discutendone la stabilità, ed in corrispondenza le ereazioni vincolari.
b) Supponendo che il piano ruoti uniformente attorno all'asse y e che il vincolo in P sia scabro, determinare le equazioni differenziali pure del moto.

Allora innanzi tutto, quì ho due parametri dati dall'angolo \(\displaystyle \theta \)che il semiasse positivo Ox forma con OB, e \(\displaystyle \varphi \)che il semiasse positivo Ox forma con OP giusto?!?

dopo di che avrò che \(\displaystyle B'=R\cos{\left(\theta\right)}\overline{i} \) per il petenziel del momento, devo verificare che sia conservativo, quindi:
\(\displaystyle dL=M*w dt dove w dt= \dot\theta \overline{k} dt=\partial\theta\overline{k} \)
allora \(\displaystyle dL=M*w dt=\frac{MgR\cos{\left(\theta\right)}}{2}\partial\theta=d(\frac{MgR\sin{\left(\theta\right)}}{2}) \) quindi \(\displaystyle U_{M}=\frac{MgR\cos{\left(\theta\right)}}{2} \)
il baricentro dell'asta è\(\displaystyle G=\frac{3R}{2}(\cos{\left(\theta\right),\sin{\left(\theta\right)}}) \)
quindi \(\displaystyle U_{AB}=\frac{-3RMg\sin{\left(\theta\right)}}{2} \)
\(\displaystyle U_{P}=-mgR\sin{\left(\varphi\right)} \)
\(\displaystyle U_{el}=\frac{-k}{2}|PG|^{2} dove PG=R[(\frac{3\cos{\left(\theta\right)}}{2}-\cos{\left(\varphi\right)})\overline{i}+(\frac{3\sin{\left(\theta\right)}}{2}-\sin{\left(\varphi\right)})\overline{i} \)
quindi \(\displaystyle |PG|^{2}=\frac{13R^{2}}{4}-3R^{2}(\cos{\left(\theta\right)}\cos{\left(\varphi\right)}+\sin{\left(\theta\right)}\sin{\left(\varphi\right)} \)
allora \(\displaystyle U_{el}=\frac{-h}{2}(\frac{13R^{2}}{4}-3R^{2}(\cos{\left(\theta\right)}\cos{\left(\varphi\right)}+\sin{\left(\theta\right)}\sin{\left(\varphi\right)}) \)
il problema è che quando vado a fare le derivare del potenziale totale ottengo:
\(\displaystyle U_{\theta}=-MgR\cos{\left(\theta\right)}-\frac{3h}{2}R^{2}\sin{\left(\theta\right)}\cos{\left(\varphi\right)}+\frac{3h}{2}R^{2}\cos{\left(\theta\right)}\sin{\left(\varphi\right)} \)
\(\displaystyle U_{\varphi}=-mgR\cos{\left(\varphi\right)}+\frac{3h}{2}R^{2}\sin{\left(\theta\right)}\cos{\left(\varphi\right)}-\frac{3h}{2}R^{2}\cos{\left(\theta\right)}\sin{\left(\varphi\right)} \)
allora ho pensato di sommare queste due espressioni e ottengo:
\(\displaystyle
m\cos{\left(\theta\right)}=-M\cos{\left(\varphi\right)} \), quindi come posso scrivere le posizioni di equilibrio? soprattutto perchè poi devo anche andare a fare l'hessiano per verificarne la stabilità..
Grazie per la disponibilità

[sangi89]

oppure ho provato utilizzando le equazioni cardinali della statica così:
per il punto:
\(\displaystyle P-kPG+M+\phi_{P}=0 \)che diventa
\(\displaystyle -mg\overline{j}-kR[(\frac{3}{2}\cos{\left(\theta\right)}-\cos{\left(\varphi\right)})\overline{i}+(\frac{3}{2}\sin{\left(\theta\right)}-\sin{\left(\varphi\right)})\overline{j}+\frac{Mg}{2}R\cos{\left(\theta\right)}\overline{k}+\phi_{P_{x}}\overline{i}+\phi_{P_{y}}\overline{j}=0 \)
e proiettando sugli assi:
\(\displaystyle -kR(\frac{3}{2}\cos{\left(\theta\right)}-\cos{\left(\varphi\right)})+\phi_{P_{x}}=0 \)
\(\displaystyle -mg+kR(-\frac{3}{2}\sin{\left(\theta\right)}+\sin{\left(\varphi\right)})+\phi_{P_{y}}=0 \)
\(\displaystyle \frac{Mg}{2}R\cos{\left(\theta\right)}=0 \)

Per l'asta:
\(\displaystyle P-kGP+M+\phi_{O}=0 \)
\(\displaystyle OG\wedge P+OG\wedge -kGP+M=0 \)che diventano

\(\displaystyle -Mg\overline{j}+kR[(\frac{3}{2}\cos{\left(\theta\right)}-\cos{\left(\varphi\right)})\overline{i}+(\frac{3}{2}\sin{\left(\theta\right)}-\sin{\left(\varphi\right)})\overline{j}+\frac{Mg}{2}R\cos{\left(\theta\right)}\overline{k}+\phi_{O_{x}}\overline{i}+\phi_{O_{y}}\overline{j}=0 \)
\(\displaystyle
-\frac{3Mg}{2}R\cos{\left(\varphi\right)}\overline{k}+\frac{Mg}{2}R\cos{\left(\theta\right)}\overline{k}+\frac{3}{2}kR\(\sin{\left(\varphi\right)}cos{\left(\theta\right)}+\sin{\left(\theta\right)}cos{\left(\varphi\right)}\overline{k}=0 \)

che proiettando sugli assi:
\(\displaystyle kR(\frac{3}{2}\cos{\left(\theta\right)}-\cos{\left(\varphi\right)})+\phi_{O_{x}}=0 \)
\(\displaystyle -Mg+kR(\frac{3}{2}\sin{\left(\theta\right)}-\sin{\left(\varphi\right)})+\phi_{O_{y}}=0 \)
\(\displaystyle MgR\cos{\left(\theta\right)}-\frac{3Mg}{2}R \cos{\left(\varphi\right)}+\frac{3}{2} kR(\sin{\left(\varphi\right)}cos{\left(\theta\right)}+\sin{\left(\theta\right)}cos{\left(\varphi\right)}=0 \)

dalle quali ottengo posizioni di equilibrio dalla terza espressione dei due sistemi:
\(\displaystyle \cos{\left(\theta\right)}=0 \) da cui \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \)
\(\displaystyle \cos{\left(\varphi\right)}=0 \) da cui \(\displaystyle \varphi=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2} \)
\(\displaystyle arc\sin{\left(\theta\right)}=\frac{Mg}{k} \)