Sistema due particelle spin 1/2
Salve, ho questo problema: se ho due particelle con spin $1/2$ con spin totale $S=1$ e $m=0$, posso scrivere lo stato come
$|1,0>=1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)$
Se posso misurare solo spin della prima particella scrivo
$<1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)|O^((1))|1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)>$.
Contando che $O^((1))$ agisce solo sulla prima particella io svilupperei l'espressione così:
$1/2[+++]$
Nelle soluzioni vedo invece che
$<1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)|O^((1))|1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)= 1/2[+$
ovvero l'espressione è la somma dei termini diagonali. Negli altri esercizi che ho fatto ho utilizzato anche i termini non diagonali della matrice sviluppando così come ho fatto, quindi o sto sbagliando qualcosa o quei termini sono nulli e non capisco perché. Alla fine dovrei calcolare la matrice densità. Grazie dell'aiuto.
$|1,0>=1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)$
Se posso misurare solo spin della prima particella scrivo
$<1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)|O^((1))|1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)>$.
Contando che $O^((1))$ agisce solo sulla prima particella io svilupperei l'espressione così:
$1/2[
Nelle soluzioni vedo invece che
$<1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)|O^((1))|1/(sqrt(2))(uarr darr+ darr uarr)= 1/2[
ovvero l'espressione è la somma dei termini diagonali. Negli altri esercizi che ho fatto ho utilizzato anche i termini non diagonali della matrice sviluppando così come ho fatto, quindi o sto sbagliando qualcosa o quei termini sono nulli e non capisco perché. Alla fine dovrei calcolare la matrice densità. Grazie dell'aiuto.
Risposte
Indicherò lo stato di spin up col ket $|+\rangle$ e quello di spin down con $|-\rangle$.
Come detto da te, un sistema composto da due particelle con spin $s=1/2$ è equivalente a quello di una particella con spin s = 1 a patto di identificare i 4 autostati di $S^2$ ed $S_z$ nel modo seguente:
\[ |0 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+ -\rangle - |- +\rangle) \]
\[ |1 -1\rangle = |- -\rangle \]
\[ |1 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+ -\rangle + |- +\rangle) \]
\[ |1 1\rangle = |+ +\rangle \]
Fatto ciò, passiamo a calcolare il valore di aspettazione di $(s_z)_1$ (ossia $O^1$) sull'autostato $|1 0\rangle$:
\[ = \langle 1 0 | O^1 | 1 0 \rangle = \frac{1}{2}\left(\langle+ -| + \langle- +|\right)O^1\left(|+ -\rangle + |- +\rangle\right) = \frac{1}{2}\left(\langle+ -|O^1|+ -\rangle + \langle+ -|O^1|- +\rangle +\langle- +|O^1|+ -\rangle+\langle- +|O^1|- +\rangle\right) \].
$O^1$ agisce sulla sola parte riguardante la prima particella (il primo segno, insomma): possiamo evidenziare allora i prodotti scalare fra bra e ket della seconda particella, ottenendo:
\[ = \frac{1}{2}\left( \langle+|O^1|+\rangle\langle-|-\rangle_{2} + \langle+|O^1|-\rangle\langle-|+\rangle_{2} +\langle-|O^1|+\rangle\langle+|-\rangle_{2}+\langle-|O^1|-\rangle\langle+|+\rangle_{2} \right)\]
Per l'ortonormalità fra gli stati $|+\rangle_{2}$ e $|-\rangle_{2}$ il secondo e terzo termine in parentesi si annullano, da cui il risultato del libro:
\[ = \frac{1}{2}\left( \langle+|O^1|+\rangle +\langle-|O^1|-\rangle\right)\]
Come detto da te, un sistema composto da due particelle con spin $s=1/2$ è equivalente a quello di una particella con spin s = 1 a patto di identificare i 4 autostati di $S^2$ ed $S_z$ nel modo seguente:
\[ |0 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+ -\rangle - |- +\rangle) \]
\[ |1 -1\rangle = |- -\rangle \]
\[ |1 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+ -\rangle + |- +\rangle) \]
\[ |1 1\rangle = |+ +\rangle \]
Fatto ciò, passiamo a calcolare il valore di aspettazione di $(s_z)_1$ (ossia $O^1$) sull'autostato $|1 0\rangle$:
\[
$O^1$ agisce sulla sola parte riguardante la prima particella (il primo segno, insomma): possiamo evidenziare allora i prodotti scalare fra bra e ket della seconda particella, ottenendo:
\[ = \frac{1}{2}\left( \langle+|O^1|+\rangle\langle-|-\rangle_{2} + \langle+|O^1|-\rangle\langle-|+\rangle_{2} +\langle-|O^1|+\rangle\langle+|-\rangle_{2}+\langle-|O^1|-\rangle\langle+|+\rangle_{2} \right)\]
Per l'ortonormalità fra gli stati $|+\rangle_{2}$ e $|-\rangle_{2}$ il secondo e terzo termine in parentesi si annullano, da cui il risultato del libro:
\[ = \frac{1}{2}\left( \langle+|O^1|+\rangle +\langle-|O^1|-\rangle\right)\]
Io facevo agire $O^((1))$ sui primi ma non tenevo conto degli altri. Quindi qualsiasi operazione ha una parte che agisce sulle prime particelle e una sulle seconde, si può dire che questo è un caso particolare $O^((1))I^((2))$ dove $I$ è l'identità, se ho capito bene. Comunque grazie mille dell'aiuto
È proprio così. 
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