Sistema dinamico $dotx = f(x)$, $|f(x)| \leq C|x|$

[Gatto891]

In vista del prossimo esame di Fisica Matematica, mi sono ripromesso di frequentare questa sezione che ho sempre tenuto felicemente lontana...

Posto un esercizio del primo esonero che mi ha creato qualche problema (proprio sul come partire per farlo):

Sia $dotx = f(x)$ un sistema dinamico in $RR^n$ con $f$ di classe $C^1$ tale che $|f(x)| \leq C|x|$ $\forall x \in RR^n, C > 0$.

1) Si dimostri che le soluzioni $phi(t, \barx)$ sono definite globalmente in $t$ $\forall x \in RR^n$

2) Si dimostri che $|e^(-Ct)\phi(t, \barx)| < +\infty$ $\forall x \in RR^n$, $\forall t \in RR$

Qualche input su come provare a farlo?

[Eredir]

In realtà di fisico in questo esercizio non c'è niente, si tratta di alcuni risultati generali sulle ODE.

Il primo punto segue dalla proprietà della [tex]f(x)[/tex] di essere Lipschitz, mentre il secondo è una conseguenza del lemma di Gronwall. Prova a guardare il paragrafo 2.1 di queste dispense.

[Gatto891]

Beh ma Fisica Matematica 1 è per metà equazioni differenziali e per metà applicazioni fisiche

Comunque grazie , il punto (2) l'avevo fatto ma il punto (1) mi ero perso perchè mi ricordavo la soluzione fosse definita solo localmente mentre invece se la lipschitzianità è totale la definizione è globale!