Sistema di stelle ternario
Ciao, amici!
Posto qua un problema di cui ho calcolato una soluzione coincidente con quella fornita dal mio libro, ma non sono completamente sicuro di esserci arrivato attraverso un ragionamento corretto, per cui chiederei a chi sa come risolverlo se potesse dirmi se ho proceduto correttamente o no (soprattutto per come ho considerato il raggio del moto e la massa ridotta)...
Tre stelle uguali di massa M orbitano il centro di massa del sistema, da cui distano tutte ugualmente di una distanza R. Del sistema si deve trovare il periodo orbitale T.
Ho utilizzato il fatto che la forza di gravità cui è soggetta ciascuna delle stelle rappresenta la forza centripeta che agisce sulla massa ridotta $F_(cp)=v^2/r \mu$ prendendo come raggio del moto centripeto il segmento che chiamo h congiungente una delle masse con il centro di massa della coppia formata dalle altre due, arrivando così all'equazione
$2G(M·M)/h^2 sin(\pi/3)=GM^2/h^2=F_(cp)=v^2/h\mu=(((2\pih)/T)^2)/h \mu$
Considerando la massa ridotta come $\mu=(M·(M+M))/(3M)=2/3 M$, cioè il prodotto della massa di una stella per la massa della coppia delle altre due stelle, fratto la somma delle tre masse, e il raggio del moto centripeto come l'altezza del triangolo isoscele con i vertici nelle tre stelle $h=sqrt(3)/2R$ (come già detto) arrivo alla soluzione $T=2\pi((sqrt(3)R^3)/(GM))^(1/2)$ che coincide esattamente con quella che dà il mio libro.
Grazie $+oo$ a tutti!
Davide
Posto qua un problema di cui ho calcolato una soluzione coincidente con quella fornita dal mio libro, ma non sono completamente sicuro di esserci arrivato attraverso un ragionamento corretto, per cui chiederei a chi sa come risolverlo se potesse dirmi se ho proceduto correttamente o no (soprattutto per come ho considerato il raggio del moto e la massa ridotta)...
Tre stelle uguali di massa M orbitano il centro di massa del sistema, da cui distano tutte ugualmente di una distanza R. Del sistema si deve trovare il periodo orbitale T.
Ho utilizzato il fatto che la forza di gravità cui è soggetta ciascuna delle stelle rappresenta la forza centripeta che agisce sulla massa ridotta $F_(cp)=v^2/r \mu$ prendendo come raggio del moto centripeto il segmento che chiamo h congiungente una delle masse con il centro di massa della coppia formata dalle altre due, arrivando così all'equazione
$2G(M·M)/h^2 sin(\pi/3)=GM^2/h^2=F_(cp)=v^2/h\mu=(((2\pih)/T)^2)/h \mu$
Considerando la massa ridotta come $\mu=(M·(M+M))/(3M)=2/3 M$, cioè il prodotto della massa di una stella per la massa della coppia delle altre due stelle, fratto la somma delle tre masse, e il raggio del moto centripeto come l'altezza del triangolo isoscele con i vertici nelle tre stelle $h=sqrt(3)/2R$ (come già detto) arrivo alla soluzione $T=2\pi((sqrt(3)R^3)/(GM))^(1/2)$ che coincide esattamente con quella che dà il mio libro.
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Davide
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