Sistema di riferimento inerziale e Momento angolare
Salve a tutti e grazie in anticipo per le letture e le risposte che mi darete.
Consideriamo queste due immagini. Esse rappresentano lo stesso identico moto rotatorio di una particella di massa $m$ attorno ad un asse fisso. La particella è collegata perpendicolarmente all'asse tramite una bacchetta sottile ideale di massa trascurabile. L'asse si suppone vincolato a due cuscinetti in modo tale che la massa $m$ possa percorrere la circonferenza parallelamente al piano [tex]\overrightarrow{x}\overrightarrow{y}[/tex].
PRIMA DOMANDA : fissare l'origine $O$ in questo tipo di problema significa per caso stabilire dove piazzare idealmente uno dei due cuscinetti? Perché?
Costruiamo una piccola leggenda per capire cosa significano i vari simboli, anche se credo facciano riferimento ad una sintassi abbastanza diffusa e conosciuta.
[tex]\mathbf{l}[/tex] è il momento angolare
[tex]\mathbf{r}[/tex] è il raggio tra l'origine $O$ è la particella di massa $m$ sulla circonferenza
[tex]\mathbf{F_c}[/tex] è la forza centripeta
[tex]\mathbf{p}=m\mathbf{v}[/tex] è la quantità di moto della particella, con $m$ la massa e [tex]\mathbf{v}[/tex] la sua velocità tangenziale
Si supponga che sul sistema non agiscano forze esterne. Allora, il momento della forza totale [tex]\sum\mathbf{\tau}[/tex] si riduce al solo momento di forza centripeta [tex]\mathbf{\tau_c}[/tex]. Quest'ultimo non è stato disegnato in figura perché è nullo, dato che [tex]\mathbf{\tau_c}=\mathbf{r}\times\mathbf{F_c}[/tex] (il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è un vettore nullo).
SECONDA DOMANDA : Supponendo che la particella stia già girando con velocità costante attorno all'origine lungo la circonferenza disegnata. Se improvvisamente togliessimo il cuscinetto all'estremità superiore dell'asse [tex]\overrightarrow{z}[/tex], l'asse rimarrebbe immobile o si sposterebbe?
Intuitivamente l'asse dovrebbe spostarsi da qualche parte, dato che il "corpo" rotante è costituito da una sola particella che rende tale corpo privo di simmetria assiale. Però il momento angolare e la velocità angolare (non disegnata nella figura) sono paralleli, quindi questo mi mette in difficoltà perché mi fa pensare che invece l'asse dovrebbe rimanere fisso. Il dubbio più grosso mi viene messo dal sistema seguente.
In questo sistema abbiamo traslato l'origine degli assi verso il basso (o, se volete, abbiamo traslato il corpo rotante verso l'alto). Questa traslazione genera un raggio vettore diverso da quello della figura iniziale, che a sua volta genera un momento della forza che "piega" il momento angolare.
Sono sicuro che togliendo il cuscinetto superiore l'asse tenderebbe a spostarsi rispetto alla posizione originaria, ma questo mi mette in crisi su vari fronti, perché non riesco a trovare l'unificazione dei due casi visti fin qui. Infatti, l'idea principale è che cambiando il sistema di riferimento inerziale il comportamento fisico deve rimanere immutato: se è vero che l'asse nella realtà ruoterebbe, ciò deve essere ravvisabile sia con il sistema di riferimento 1 che con il 2. Invece, il primo pare rimanere immobile nonostante sia asimmetrico.
Credo che la chiave di volta stia nel comprendere esattamente cosa significa l'aggettivo "inerziale" riguardo ai sistemi rotatori.
Consideriamo queste due immagini. Esse rappresentano lo stesso identico moto rotatorio di una particella di massa $m$ attorno ad un asse fisso. La particella è collegata perpendicolarmente all'asse tramite una bacchetta sottile ideale di massa trascurabile. L'asse si suppone vincolato a due cuscinetti in modo tale che la massa $m$ possa percorrere la circonferenza parallelamente al piano [tex]\overrightarrow{x}\overrightarrow{y}[/tex].
PRIMA DOMANDA : fissare l'origine $O$ in questo tipo di problema significa per caso stabilire dove piazzare idealmente uno dei due cuscinetti? Perché?
Costruiamo una piccola leggenda per capire cosa significano i vari simboli, anche se credo facciano riferimento ad una sintassi abbastanza diffusa e conosciuta.
[tex]\mathbf{l}[/tex] è il momento angolare
[tex]\mathbf{r}[/tex] è il raggio tra l'origine $O$ è la particella di massa $m$ sulla circonferenza
[tex]\mathbf{F_c}[/tex] è la forza centripeta
[tex]\mathbf{p}=m\mathbf{v}[/tex] è la quantità di moto della particella, con $m$ la massa e [tex]\mathbf{v}[/tex] la sua velocità tangenziale
Si supponga che sul sistema non agiscano forze esterne. Allora, il momento della forza totale [tex]\sum\mathbf{\tau}[/tex] si riduce al solo momento di forza centripeta [tex]\mathbf{\tau_c}[/tex]. Quest'ultimo non è stato disegnato in figura perché è nullo, dato che [tex]\mathbf{\tau_c}=\mathbf{r}\times\mathbf{F_c}[/tex] (il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è un vettore nullo).
SECONDA DOMANDA : Supponendo che la particella stia già girando con velocità costante attorno all'origine lungo la circonferenza disegnata. Se improvvisamente togliessimo il cuscinetto all'estremità superiore dell'asse [tex]\overrightarrow{z}[/tex], l'asse rimarrebbe immobile o si sposterebbe?
Intuitivamente l'asse dovrebbe spostarsi da qualche parte, dato che il "corpo" rotante è costituito da una sola particella che rende tale corpo privo di simmetria assiale. Però il momento angolare e la velocità angolare (non disegnata nella figura) sono paralleli, quindi questo mi mette in difficoltà perché mi fa pensare che invece l'asse dovrebbe rimanere fisso. Il dubbio più grosso mi viene messo dal sistema seguente.
In questo sistema abbiamo traslato l'origine degli assi verso il basso (o, se volete, abbiamo traslato il corpo rotante verso l'alto). Questa traslazione genera un raggio vettore diverso da quello della figura iniziale, che a sua volta genera un momento della forza che "piega" il momento angolare.
Sono sicuro che togliendo il cuscinetto superiore l'asse tenderebbe a spostarsi rispetto alla posizione originaria, ma questo mi mette in crisi su vari fronti, perché non riesco a trovare l'unificazione dei due casi visti fin qui. Infatti, l'idea principale è che cambiando il sistema di riferimento inerziale il comportamento fisico deve rimanere immutato: se è vero che l'asse nella realtà ruoterebbe, ciò deve essere ravvisabile sia con il sistema di riferimento 1 che con il 2. Invece, il primo pare rimanere immobile nonostante sia asimmetrico.
Credo che la chiave di volta stia nel comprendere esattamente cosa significa l'aggettivo "inerziale" riguardo ai sistemi rotatori.
Risposte
...in breve: perché, se cambio sistema di riferimento, il comportamento fisico del sistema asta+bacchetta+corpo cambia di conseguenza? Se l'asse è fermo quando [tex]\mathbf{r}[/tex] è parallelo al piano del moto della particella, allora perché si muove quando [tex]\mathbf{r}[/tex] non è più parallelo? E se, nel caso in cui [tex]\mathbf{r}[/tex] è parallelo al piano, l'asse invece si muove, qual è la forza (ed il conseguente momento) responsabile, dato che abbiamo supposto nessuna forza esterna a parte quella centripeta? Non riesco a venirne a capo.
Scegliendo il polo come nel primo caso tutto è semplice e il conto che fai scrivendo l'equazione del momento angolare rispetto a $O$ è corretto.
Scegliendo invece il polo come nel secondo caso i conti sono più complessi, ricorda che il momento della quantità di moto $vec r times m vec v$ è un vettore perpendicolare sia a $vec v$ sia a $vec r$ e non è diretto nel secondo caso come l'asse $z$.
Inoltre $vec r times vec F_c ne 0$
e se consideri la terna fissa xyz ambedue non sono neanche vettori costanti ma ruotano. Si potrebbero esprimere tuttavia per semplificare i conti nella terna rotante attorno all'asse z.
Se fai tutti i conti bene (non sono impossibili, ma occorre attenzione) vedrai che otterrai un risultato congruente con quello che trovi considerando il polo che hai scelto all'inizio.
EDIT: Ho tolto l'ultima frase che avevo scritto sulla conservazione del momento angolare rispetto all'asse $z$ che c'entrava poco qui. Spero sia più chiaro il tutto con l'altro messaggio.
Scegliendo invece il polo come nel secondo caso i conti sono più complessi, ricorda che il momento della quantità di moto $vec r times m vec v$ è un vettore perpendicolare sia a $vec v$ sia a $vec r$ e non è diretto nel secondo caso come l'asse $z$.
Inoltre $vec r times vec F_c ne 0$
e se consideri la terna fissa xyz ambedue non sono neanche vettori costanti ma ruotano. Si potrebbero esprimere tuttavia per semplificare i conti nella terna rotante attorno all'asse z.
Se fai tutti i conti bene (non sono impossibili, ma occorre attenzione) vedrai che otterrai un risultato congruente con quello che trovi considerando il polo che hai scelto all'inizio.
EDIT: Ho tolto l'ultima frase che avevo scritto sulla conservazione del momento angolare rispetto all'asse $z$ che c'entrava poco qui. Spero sia più chiaro il tutto con l'altro messaggio.
Ripensandoci bene ho realizzato che la scelta dell'origine deve corrispondere ad un sistema di riferimento inerziale. Nel primo caso l'origine giace sul piano del moto della particella. Ciò equivale ad applicare il cuscinetto esattamente all'origine. Di fatto, in questo caso, l'anello centrale che permette all'asticella (alla cui estremità è "attaccata" la particella) di ruotare vincolatamente all'asse di rotazione coincide con l'ipotetico cuscinetto da porre sull'origine per impedire l'oscillazione dell'origine stessa rispetto all'asse di rotazione. Se slittiamo asticella e relativa particella verso l'alto lungo l'asta, raggiungendo un nuovo piano del moto, e se manteniamo il cuscinetto nella posizione originale, l'origine deve continuare a rimanere dov'era nella situazione precedente, poiché solo il riferimento a quel punto costituisce un sistema inerziale. È quindi errato "concedersi" la libertà di prendere sempre come punto di riferimento di origine il centro del cerchio di rotazione, poiché, in base alla distanza di quest'ultimo dal punto al quale è applicato il cuscinetto (mi sembra sia stato chiamato polo), tale centro verrà accelerato concordemente alle oscillazioni dell'asse di rotazione prodotte dal momento della forza totale (che agisce sul momento angolare totale). In pratica, fondando il sistema di riferimento sul centro del cerchio di rotazione quando tale centro non è garantito fisicamente essere fisso, si sta definendo un sistema di riferimento non inerziale rispetto alla particella in moto rotatorio, dove sappiamo bene che le leggi di Newton non sono direttamente applicabili se non con l'integrazione di fattori di correzione opportuni. Da un punto di vista più pratico la "colpa" è tutta del raggio vettore. È lui che dice chi è il punto dell'asse di rotazione che rimane immobile, quindi il raggio deve avere origine... dall'origine del sistema di riferimento 
So di aver scritto una tiritera immensamente noiosa, ma prego chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di dirmi se nel complesso ciò che ho scritto è solo un insieme di belle parole oppure no.
Grazie infinite
So di aver scritto una tiritera immensamente noiosa, ma prego chi è riuscito ad arrivare fino alla fine di dirmi se nel complesso ciò che ho scritto è solo un insieme di belle parole oppure no.
Grazie infinite
Scusa, ma con l'ultimo messaggio che hai scritto non ho capito né quello che vuoi dire né quale è il dubbio.
Che vuol dire poi che "l'origine deve corrispondere ad un sistema di riferimento inerziale"?
Io avevo capito che hai una massa vincolata a ruotare attorno ad un asse $z$ mantenendosi sul piano xy e che vuoi scrivere l'equazione del momento angolare prima scegliendo come polo $O$ l'origine del sistema xyz e che poi vuoi spostare il sistema di riferimento un po' più in basso e scegliere come polo O la nuova origine.
Il tuo dubbio mi sembrava fosse pervenire, come deve essere, allo stesso risultato nei due casi, mentre nel secondo caso ti sembra che ottieni che la massa non continua a ruotare solo attorno a $z$, ma anche attorno a $y$ ( o $x$).
La risposta è che nel secondo caso hai un momento attorno a $y$ ma devi ricordare che il momento angolare è un vettore e che quando lo derivi rispetto al tempo ottieni 3 equazioni differenziali che interagiscono tra loro, mentre nel primo caso ne rimaneva una sola, che in sostanza ti diceva che il momento angolare attorno a $z$ si conserva.
Nel secondo caso, scegliendo quel sistema di riferimento, è più complicato capire cosa avviene, anche se, se si facessero bene i conti si otterrebbe lo stesso risultato.
Ciò dimostra come la scelta del polo e del sistema di riferimento è meglio sia fatta in maniera "furba".
Questo almeno era quello che mi sembrava fosse il dubbio.
E' ovvio che se poi quando cambi l'origine cambi anche il tipo di vincolo per la massa, assumendo per esempio che la massa sia attaccata ad un'asta priva di peso che la collega alla nuova origine, allora il discorso è diverso.
Se provi a chiarire meglio, (magari brevemente) posso provare a risponderti in maniera più consona al tuo vero dubbio...
Che vuol dire poi che "l'origine deve corrispondere ad un sistema di riferimento inerziale"?
Io avevo capito che hai una massa vincolata a ruotare attorno ad un asse $z$ mantenendosi sul piano xy e che vuoi scrivere l'equazione del momento angolare prima scegliendo come polo $O$ l'origine del sistema xyz e che poi vuoi spostare il sistema di riferimento un po' più in basso e scegliere come polo O la nuova origine.
Il tuo dubbio mi sembrava fosse pervenire, come deve essere, allo stesso risultato nei due casi, mentre nel secondo caso ti sembra che ottieni che la massa non continua a ruotare solo attorno a $z$, ma anche attorno a $y$ ( o $x$).
La risposta è che nel secondo caso hai un momento attorno a $y$ ma devi ricordare che il momento angolare è un vettore e che quando lo derivi rispetto al tempo ottieni 3 equazioni differenziali che interagiscono tra loro, mentre nel primo caso ne rimaneva una sola, che in sostanza ti diceva che il momento angolare attorno a $z$ si conserva.
Nel secondo caso, scegliendo quel sistema di riferimento, è più complicato capire cosa avviene, anche se, se si facessero bene i conti si otterrebbe lo stesso risultato.
Ciò dimostra come la scelta del polo e del sistema di riferimento è meglio sia fatta in maniera "furba".
Questo almeno era quello che mi sembrava fosse il dubbio.
E' ovvio che se poi quando cambi l'origine cambi anche il tipo di vincolo per la massa, assumendo per esempio che la massa sia attaccata ad un'asta priva di peso che la collega alla nuova origine, allora il discorso è diverso.
Se provi a chiarire meglio, (magari brevemente) posso provare a risponderti in maniera più consona al tuo vero dubbio...
"Faussone":
Io avevo capito che hai un punto vincolato a ruotare attorno ad un asse $z$ mantenendosi sul piano xy e che vuoi scrivere l'equazione del momento angolare prima scegliendo come polo $O$ l'origine del sistema xyz e che poi vuoi spostare il sistema di riferimento un po' più in basso e scegliere come polo O la nuova origine.
Cerco di spiegarmi con meno contorsionismi. Io sto immaginando questa asta lunga con una piccola asticella rigida, di massa trascurabile, e ortogonale all'asta. L'asticella ha una sua estremità incollata all'asta. All'altra sua estremità è incollata una pallina con una certa massa, diciamo $m$. Il sistema asta_lunga+asticella_ortogonale+pallina appare quindi fisicamente come un tutt'uno, ma l'unica portatrice di massa è la pallina; il resto è solo una struttura ideale; uno scenario con questa stessa caratteristica può essere ritrovato nell'esempio classico di una molla ideale con un blocchetto di massa finita collegato alla sua estremità mobile.
Inoltre, l'asta ha alle sue due estremità dei cuscinetti che la vincolano a ruotare attorno a $z$. Non dico quanto sia lunga l'asta, non me ne voglio interessare.
Trascuriamo tutte le forze esterne a parte quella centripeta, necessaria per generare un moto rotatorio. Supponiamo che la particella di massa $m$ sia in moto circolare uniforme. Tale particella avrà quindi una quantità di moto [tex]\overrightarrow{p}[/tex] (mi adatto alla notazione utilizzata da te per i vettori) parallela alla velocità tangenziale [tex]\overrightarrow{v_t}[/tex]. Fino a qui io ci sono, poiché la presenza dei cuscinetti vincola fisicamente l'asta a coincidere con l'asse di rotazione. Ma ecco il problema.
PROBLEMA (APPARENTEMENTE RISOLTO)
Disinteressiamoci per un attimo dallo studio matematico del problema e concentriamoci sull'esperimento ideale che stiamo svolgendo. Si immagini di rimuovere improvvisamente il cuscinetto in alto. Bene. Quello che succede è che, essendo il "corpo" asimmetrico rispetto all'asse di rotazione, l'asta si inclina rispetto all'asse originario. Questo è un fatto.
Una volta verificato il fenomeno, voglio vedere se le leggi di Newton per la dinamica rotazionale mi consentono di predire (e certamente anche di quantificare) questa inclinazione dell'asta a partire dalle stesse condizioni iniziali dell'esperimento. L'unico vincolo è di scegliere un sistema di riferimento inerziale.
Se scelgo un sistema di riferimento inerziale (cioè non accelerato) allora le leggi di Newton sono "vere". Allora mi aspetto che, a prescindere dal sistema inerziale scelto, questo mi conduca sempre a delle conclusioni coerenti con il fenomeno osservato. Cosa voglio dire esattamente? Voglio semplicemente dire che la scelta di uno o dell'altro sistema di riferimento mi deve comunque "raccontare" che l'asta si sta spostando dalla sede originale. Invece, io vedo che, nel primo caso (origine sul piano del moto), l'asta rimane ferma, mentre nel secondo caso l'asta effettivamente si sposta. Quello che ho capito è che questa è solo un'apparente contraddizione.
Se infatti scelgo come sistema di riferimento un sistema solidale con il piano del moto della pallina di massa $m$, è ovvio che vedrò l'asse immobile, dato che asse e piano del moto ruotano assieme in modo "rigido". È come la differenza che c'è fra un osservatore fermo rispetto a un ottovolante ed un osservatore in moto DENTRO all'ottovolante; il primo osservatore vedrà il "treno" spostarsi e fare evoluzioni, mentre il secondo osservatore lo vedrebbe immobile.
Quindi, se si sceglie come origine del sistema di riferimento il centro del piano di rotazione, è inevitabile che le equazioni restituiscano come risultato il fatto che l'asta sia immobile; ma questo è solo un risultato relativo al sistema scelto, un risultato che si discosta dalla "realtà" che osservavamo nell'esperimento per un semplice motivo: la osservavamo da un sistema di riferimento non solidale con il piano del moto!
UN DUBBIO CHE RESTA
Questa spiegazione qualitativa mi convince (in attesa di una conferma da parte degli esperti). Però ho ancora un dubbio.
Un sistema di riferimento solidale con il piano del moto della pallina (il caso osservato nella prima figura) è un sistema che ruota. Quindi è un sistema accelerato. E allora come mai le leggi di Newton funzionano? Forse perché le versioni rotazionali di tali leggi (es: equazione del momento della forza, equazione del momento angolare ecc...) sono già comprensive di un fattore correttivo che bilancia le diverse velocità tangenziali? (che sono responsabili, ad esempio, della forza di Coriolis in una giostra girevole).
E' difficile risponderti esaustivamente perché parti a raffica e inizi a trarre conclusioni e deduzioni e non è facile stare dietro a tutti i discorsi che fai.
Comunque dato che ora il sistema fisico che descrivi mi è chiaro provo a dirti come ragionerei io, spero questo risolva almeno un po' i dubbi che hai.
Se vuoi scrivere le equazioni che regolano un sistema meccanico rigido il discorso è sempre lo stesso hai l'equazione di Newton:
$ m a_c = sum F_e$
cioè l'accelerazione del centro di massa per la massa totale del sistema è pari alla somma delle forze esterne
e
$d (vec L)/(dt) = sum M_e$
cioè la variazione di momento angolare rispetto al tempo è pari alla risultante dei momenti esterni, dove tutti i momenti son rispetto al medesimo polo.
Spesso queste equazioni non sono immediate da scrivere e la presenza di vincoli complica le cose, ma altri metodi più diretti che permettono di descrivere il sistema usano sempre più o meno direttamente queste equazioni.
E' ovvio che quando si parla di forze e momenti esterni, vanno considerate se presenti anche le forze apparenti che appaiono nel caso in cui il sistema di riferimento scelto non è inerziale, ma null'altro cambia.
Nel caso specifico se vuoi descrivere il comportamento del sistema non appena, come dici, viene rimosso il cuscinetto in alto dell'asse verticale, vanno usate queste equazioni.
Possiamo scegliere per far ciò sia un sistema inerziale esterno, sia un sistema non inerziale solidale col corpo. Se facciamo la prima scelta abbiamo lo svantaggio che quando il sistema si muove anche il suo momento di inerzia varia e di questo occorre tenere conto, inoltre anche le direzioni delle forze variano in continuazione. Nel secondo caso invece il momento di inerzia è costante ma avremmo delle forze apparenti che sono incognite, dipendendo dal vettore $vec omega$ che è variabile nel tempo.
Una terza via è quella di scrivere le equazioni rispetto ad un sistema inerziale, ma scrivere i vettori quantità di moto, momento angolare e tutti i momenti, rispetto ad una terna solidale col corpo (che è diverso da scrivere le equazioni nella terna solidale).
La cosa più semplice è seguire questa terza via e scegliere un sistema di riferimento solidale col corpo avente l'asse $z$ coincidente con l'asta attorno a cui ruota la massa all'inizio e gli altri due assi ortogonali. Come origine io prenderei il punto che coincide col cuscinetto in basso che continua a essere presente. Prendendo invece come origine il punto di congiunzione tra le due aste c'è il problema che la reazione vincolare del cuscinetto avrà un effetto sul momento rispetto a quel polo, quindi rimarrebbe come incognita.
L'equazione di Newton della quantità di moto dice poco, semplicemente che la reazione vincolare del cuscinetto sarà pari a $m vec a$.
L'equazione dei momenti si scrive invece:
$d ( vec omega)/(dt)=0$
dove $$ è la matrice di inerzia rispetto alla terna scelta (non è diagonale ma si calcola facilmente visto che abbiamo un solo punto):
$ ( ( Z^2 , 0 , -XZ ),( 0 , X^2+Z^2 , 0 ),( -XZ , 0 , X^2 ) ) $
dove $X$ e $Z$ sono la distanza orizzontale e verticale della massa dall'asse $z$ e $x$ rispettivamente.
Occorre ricordare che la derivata si esplica secondo la regola di Poisson:
$d ( vec omega)/(dt)= dot vec (omega) + vec omega times vec omega$
si ottiene quindi un sistema di equazioni differenziali che dalla condizione iniziale (in cui solo la componente $z$ di $omega$ è diversa da zero, dà l'evoluzione del sistema. Occorre ricordare che la $vec omega$ ottenuta è scritta sempre nella terna solidale scelta.
Comunque dato che ora il sistema fisico che descrivi mi è chiaro provo a dirti come ragionerei io, spero questo risolva almeno un po' i dubbi che hai.
Se vuoi scrivere le equazioni che regolano un sistema meccanico rigido il discorso è sempre lo stesso hai l'equazione di Newton:
$ m a_c = sum F_e$
cioè l'accelerazione del centro di massa per la massa totale del sistema è pari alla somma delle forze esterne
e
$d (vec L)/(dt) = sum M_e$
cioè la variazione di momento angolare rispetto al tempo è pari alla risultante dei momenti esterni, dove tutti i momenti son rispetto al medesimo polo.
Spesso queste equazioni non sono immediate da scrivere e la presenza di vincoli complica le cose, ma altri metodi più diretti che permettono di descrivere il sistema usano sempre più o meno direttamente queste equazioni.
E' ovvio che quando si parla di forze e momenti esterni, vanno considerate se presenti anche le forze apparenti che appaiono nel caso in cui il sistema di riferimento scelto non è inerziale, ma null'altro cambia.
Nel caso specifico se vuoi descrivere il comportamento del sistema non appena, come dici, viene rimosso il cuscinetto in alto dell'asse verticale, vanno usate queste equazioni.
Possiamo scegliere per far ciò sia un sistema inerziale esterno, sia un sistema non inerziale solidale col corpo. Se facciamo la prima scelta abbiamo lo svantaggio che quando il sistema si muove anche il suo momento di inerzia varia e di questo occorre tenere conto, inoltre anche le direzioni delle forze variano in continuazione. Nel secondo caso invece il momento di inerzia è costante ma avremmo delle forze apparenti che sono incognite, dipendendo dal vettore $vec omega$ che è variabile nel tempo.
Una terza via è quella di scrivere le equazioni rispetto ad un sistema inerziale, ma scrivere i vettori quantità di moto, momento angolare e tutti i momenti, rispetto ad una terna solidale col corpo (che è diverso da scrivere le equazioni nella terna solidale).
La cosa più semplice è seguire questa terza via e scegliere un sistema di riferimento solidale col corpo avente l'asse $z$ coincidente con l'asta attorno a cui ruota la massa all'inizio e gli altri due assi ortogonali. Come origine io prenderei il punto che coincide col cuscinetto in basso che continua a essere presente. Prendendo invece come origine il punto di congiunzione tra le due aste c'è il problema che la reazione vincolare del cuscinetto avrà un effetto sul momento rispetto a quel polo, quindi rimarrebbe come incognita.
L'equazione di Newton della quantità di moto dice poco, semplicemente che la reazione vincolare del cuscinetto sarà pari a $m vec a$.
L'equazione dei momenti si scrive invece:
$d ( vec omega)/(dt)=0$
dove $$ è la matrice di inerzia rispetto alla terna scelta (non è diagonale ma si calcola facilmente visto che abbiamo un solo punto):
$ ( ( Z^2 , 0 , -XZ ),( 0 , X^2+Z^2 , 0 ),( -XZ , 0 , X^2 ) ) $
dove $X$ e $Z$ sono la distanza orizzontale e verticale della massa dall'asse $z$ e $x$ rispettivamente.
Occorre ricordare che la derivata si esplica secondo la regola di Poisson:
$d ( vec omega)/(dt)= dot vec (omega) + vec omega times vec omega$
si ottiene quindi un sistema di equazioni differenziali che dalla condizione iniziale (in cui solo la componente $z$ di $omega$ è diversa da zero, dà l'evoluzione del sistema. Occorre ricordare che la $vec omega$ ottenuta è scritta sempre nella terna solidale scelta.
Seguo il tuo discorso matematico fino ad un certo punto poiché la Fisica che faccio io è a livelli quasi elementari, in quanto studio Informatica. Quando parli di polo, ad esempio, riesco a capire solo intuitivamente di cosa stai parlando, ma non ne ho in mente una definizione chiara.
Ti chiedo, intanto: quali dei due sistemi di riferimento relativi alle immagini postate è inerziale? Il primo? Il secondo? Tutti e due? Nessuno?
Qualunque sia la risposta: puoi spiegarmi qualitativamente a parole il perché?
Ragionando su ciò che ho capito di quanto hai detto tu, pare che la scelta di entrambi i sistemi di riferimento delle figure sia una scelta non inerziale, perché si fondano sul fatto di essere comunque solidali all'asse $z$, il quale, come abbiamo appurato nell'esperimento ideale, si piegherà inevitabilmente rispetto a noi osservatori. Ora: io sto studiando dall'Halliday, un libro che a detta di molti è buono ma, onestamente, ha qualche lacuna qua e là lasciata, forse volutamente, nascosta. Siccome io ho il difetto di studiare ponendomi il perché di ogni cosa (per certi versi è un pregio, ma per altri è una mannaia che si abbatte senza pietà su di me e sulla mia salute mentale), sono portato più facilmente rispetto ad altri miei colleghi a scoprire queste "magagne". Io credo che il mio libro stia assumendo che quei due sistemi siano inerziali, in quanto nel testo si dice che si tratterà solo con sistemi inerziali, salvo quando non chiaramente specificato. La lacuna lasciata dall'Halliday e a cui io mi sto riferendo consiste nel non spiegare a parole i fatti intuitivi che stanno dietro a questo argomento. Io mi sento un po' depresso per questa cosa, perché non riesco a capire, non riesco a immaginare.
Non è solo una questione di Matematica che mi manca; è proprio una lacuna concettuale che non riesco a colmare da solo. So di essere in grado di capirlo, ma mi manca la chiave di volta. Io vorrei cercare di comprendere anche solo da un punto di vista concettuale, qualitativo, senza troppa Matematica.
A questo punto torno indietro io e ricominciamo daccapo, stavolta andando a rilento. Consideriamo la figura 1. Chiedo: la figura sta, per caso, modellando la situazione in cui entrambi i cuscinetti sono attivi? oppure quella in cui il cuscinetto superiore è stato già rimosso? Equivalentemente: se volessi descrivere il "prima" e il "dopo" della rimozione di tale cuscinetto, la figura cambierebbe? Come?
Ti chiedo davvero scusa per la mia cocciutaggine, ma devo venirne a capo in qualche modo, e presto. Non posso permettermi un ripasso di equazioni differenziali o approfondimenti sulla modifica delle leggi dinamiche per sistemi non inerziali. Devo capire la cosa in modo elementare. Spero che così non ti stia seccando.
Un abbraccio e un grazie sincero.
"Faussone":
Possiamo scegliere per far ciò sia un sistema inerziale esterno, sia un sistema non inerziale solidale col corpo.
Ti chiedo, intanto: quali dei due sistemi di riferimento relativi alle immagini postate è inerziale? Il primo? Il secondo? Tutti e due? Nessuno?
Qualunque sia la risposta: puoi spiegarmi qualitativamente a parole il perché?
Ragionando su ciò che ho capito di quanto hai detto tu, pare che la scelta di entrambi i sistemi di riferimento delle figure sia una scelta non inerziale, perché si fondano sul fatto di essere comunque solidali all'asse $z$, il quale, come abbiamo appurato nell'esperimento ideale, si piegherà inevitabilmente rispetto a noi osservatori. Ora: io sto studiando dall'Halliday, un libro che a detta di molti è buono ma, onestamente, ha qualche lacuna qua e là lasciata, forse volutamente, nascosta. Siccome io ho il difetto di studiare ponendomi il perché di ogni cosa (per certi versi è un pregio, ma per altri è una mannaia che si abbatte senza pietà su di me e sulla mia salute mentale), sono portato più facilmente rispetto ad altri miei colleghi a scoprire queste "magagne". Io credo che il mio libro stia assumendo che quei due sistemi siano inerziali, in quanto nel testo si dice che si tratterà solo con sistemi inerziali, salvo quando non chiaramente specificato. La lacuna lasciata dall'Halliday e a cui io mi sto riferendo consiste nel non spiegare a parole i fatti intuitivi che stanno dietro a questo argomento. Io mi sento un po' depresso per questa cosa, perché non riesco a capire, non riesco a immaginare.
Non è solo una questione di Matematica che mi manca; è proprio una lacuna concettuale che non riesco a colmare da solo. So di essere in grado di capirlo, ma mi manca la chiave di volta. Io vorrei cercare di comprendere anche solo da un punto di vista concettuale, qualitativo, senza troppa Matematica.
A questo punto torno indietro io e ricominciamo daccapo, stavolta andando a rilento. Consideriamo la figura 1. Chiedo: la figura sta, per caso, modellando la situazione in cui entrambi i cuscinetti sono attivi? oppure quella in cui il cuscinetto superiore è stato già rimosso? Equivalentemente: se volessi descrivere il "prima" e il "dopo" della rimozione di tale cuscinetto, la figura cambierebbe? Come?
Ti chiedo davvero scusa per la mia cocciutaggine, ma devo venirne a capo in qualche modo, e presto. Non posso permettermi un ripasso di equazioni differenziali o approfondimenti sulla modifica delle leggi dinamiche per sistemi non inerziali. Devo capire la cosa in modo elementare. Spero che così non ti stia seccando.
Un abbraccio e un grazie sincero.
Non hai mai sentito parlare di polo? Il momento non si calcola in assoluto, ma rispetto ad un punto (o ad un asse) tale punto si dice anche polo di riduzione del momento, tutto qua.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento fisso, o in moto rettilineo uniforme, rispetto ad un altro sistema inerziale (per concretizzare le idee assumi che un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse sia inerziale).
Nel tuo esempio se consideri un sistema di riferimento solidale alle due barre non è inerziale visto che tutto ruota.
Chiedi se il sistema di riferimento scelto all'inizio quando tutto ruota attorno all'asse z è inerziale, be' dipende da come hai definito quel sistema: se gli assi x e y (oltre a z) sono fissi allora è inerziale altrimenti no.
Quando togli il cuscinetto poi non cambia nulla, ma per scrivere le equazioni conviene riferirsi ad un sistema di riferimento fisso quindi con gli assi x y e z sempre fissi e centrato dove è il cuscinetto in basso, in modo che il momento della reazione vincolare non dia contributo al momento rispetto all'origine.
Per scrivere le equazioni conviene però esprimere i momenti e il vettore velocità angolare rispetto al sistema solidale col corpo che quindi si muove.
Non entro nei dettagli in cui sono entrato prima che sono forse un po' più in là rispetto al livello di conoscenze che hai di fisica adesso.
Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento fisso, o in moto rettilineo uniforme, rispetto ad un altro sistema inerziale (per concretizzare le idee assumi che un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse sia inerziale).
Nel tuo esempio se consideri un sistema di riferimento solidale alle due barre non è inerziale visto che tutto ruota.
Chiedi se il sistema di riferimento scelto all'inizio quando tutto ruota attorno all'asse z è inerziale, be' dipende da come hai definito quel sistema: se gli assi x e y (oltre a z) sono fissi allora è inerziale altrimenti no.
Quando togli il cuscinetto poi non cambia nulla, ma per scrivere le equazioni conviene riferirsi ad un sistema di riferimento fisso quindi con gli assi x y e z sempre fissi e centrato dove è il cuscinetto in basso, in modo che il momento della reazione vincolare non dia contributo al momento rispetto all'origine.
Per scrivere le equazioni conviene però esprimere i momenti e il vettore velocità angolare rispetto al sistema solidale col corpo che quindi si muove.
Non entro nei dettagli in cui sono entrato prima che sono forse un po' più in là rispetto al livello di conoscenze che hai di fisica adesso.
Solo un'altra domanda. Considera la prima figura, quella in cui il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione. Domanda: in che punto del disegno posso vedere chiaramente che l'asta ha la tendenza a piegarsi? Come faccio a capire dal disegno se, togliendo il cuscinetto, l'asta si destabilizzerà o rimarrà nella sua sede originale, parallela a $z$? (tra parentesi: sappiamo che l'asta cambierà direzione, ma da cosa si vede?)
Se ti interessa capire solo se l'asta si piega all'istante zero quando è tolto il cuscinetto basta che osservi che in tale istante se scrivi il momento con polo nel cuscinetto rispetto al sistema di riferimento rotante, vedi che il momento della forza centrifuga non è bilanciato da nulla, quindi il sistema avrà all'istante iniziale una componente di rotazione attorno all'asse $y$.
Nota che per descrivere però il moto completo occorre scrivere anche come varia il momento di inerzia a causa della rotazione, da cui quanto dicevo in precedenza.
Anche dal sistema di equazioni che definiscono il moto che ti ho scritto in precedenza, esplicitandolo e considerando le condizioni iniziali puoi trarre lo stesso risultato ovviamente.
Nota che per descrivere però il moto completo occorre scrivere anche come varia il momento di inerzia a causa della rotazione, da cui quanto dicevo in precedenza.
Anche dal sistema di equazioni che definiscono il moto che ti ho scritto in precedenza, esplicitandolo e considerando le condizioni iniziali puoi trarre lo stesso risultato ovviamente.
"Faussone":
Se ti interessa capire solo se l'asta si piega all'istante zero quando è tolto il cuscinetto basta che osservi che in tale istante se scrivi il momento con polo nel cuscinetto rispetto al sistema di riferimento rotante[...]
E sennò? Se mantengo il raggio vettore riferito al centro del cerchio? Perché è importante spostare il polo nell'attimo della rimozione del cuscinetto superiore? Non posso continuare a riferirlo al centro del cerchio? Che cambia?
La tua proposta "se scrivi..." pare essere opzionale. È opzionale o obbligatoria?
Se è opzionale si torna al punto di partenza, poiché, se è lecito mantenere il raggio vettore così com'è, dalla figura non si può dedurre alcun momento di forza.
Se è obbligatoria vorrei capire perché, cioè perché, alla rimozione del cuscinetto superiore, DEVO cambiare sistema di riferimento.
"fabio.arceri":
[quote="Faussone"]Se ti interessa capire solo se l'asta si piega all'istante zero quando è tolto il cuscinetto basta che osservi che in tale istante se scrivi il momento con polo nel cuscinetto rispetto al sistema di riferimento rotante[...]
E sennò? Se mantengo il raggio vettore riferito al centro del cerchio? Perché è importante spostare il polo nell'attimo della rimozione del cuscinetto superiore? Non posso continuare a riferirlo al centro del cerchio? Che cambia?
La tua proposta "se scrivi..." pare essere opzionale. È opzionale o obbligatoria?
Se è opzionale si torna al punto di partenza, poiché, se è lecito mantenere il raggio vettore così com'è, dalla figura non si può dedurre alcun momento di forza.
Se è obbligatoria vorrei capire perché, cioè perché, alla rimozione del cuscinetto superiore, DEVO cambiare sistema di riferimento.[/quote]
Puoi anche riferire il momento al centro del cerchio in O', dove dici tu, in quel caso hai la reazione del cuscinetto che dà luogo ad un momento che tende lo stesso a far girare tutto attorno all'asse y. E' equivalente è solo, forse, meno intuitivo.
"Faussone":[/quote][/quote]
[quote="fabio.arceri"][quote="Faussone"]Se ti interessa capire solo se l'asta si piega all'istante zero quando è tolto il cuscinetto basta che
Puoi anche riferire il momento al centro del cerchio in O', dove dici tu, in quel caso hai la reazione del cuscinetto che dà luogo ad un momento che tende lo stesso a far girare tutto attorno all'asse y. E' equivalente è solo, forse, meno intuitivo.
Ok, ci stiamo avvicinando alla risposta che voglio. Dunque tu dici che se centro il sistema in $O'$ si genera un momento angolare che fa ruotare l'asta. Io ci posso pure credere, ma il problema è che io non riesco a vederlo, o meglio lo vedo ma è parallelo all'asse $y$. Riguardiamo la figura 2:
La figura 2 mostra il momento angolare che si piega rispetto a $z$ SOLO SE SCELGO $O$ come origine del mio sistema. Se invece scelgo $O'$ come origine, il momento angolare giace immobile lungo $y$ (è parallelo ad [tex]\overrightarrow{\omega}[/tex]). Questo fatto io lo interpreto come il fatto che l'asta non si sposterà. Ma allora: si sposterà o non si sposterà? Io so che si sposterà per esperienza, ma il sistema di riferimento con origine in $O'$ mi dice che resterà ferma.
Sono per caso io che sbaglio ad interpretare il comportamento fisico associato al momento angolare?
Che il momento angolare sia una grandezza indipendente dal corpo fisico a cui è riferita, questo lo so. Infatti basta cambiare il sistema di riferimento che subito cambia anche il momento angolare (a meno che il corpo non sia simmetrico rispetto all'asse di rotazione, caso nel quale il momento angolare rimane diretto lungo l'asse comunque si scelga l'origine). Quindi mi chiedo: se per corpi non simmetrici il momento angolare non è in generale parallelo a [tex]\overrightarrow{\omega}[/tex], tranne quando si sceglie l'origine sul piano del moto, come faccio io a capire se l'asta cambierà direzione o no?
Ripeto: se ti metti in $O'$ il momento che tende a far girare l'asse attorno a $y$ è dato dalla reazione del cuscinetto in $O$ che ha momento non nullo (a differenza di quello che accade se uso $O$ come polo di riduzione dei momenti). NON è dato dalla forza centrifuga che scegliendo $O'$ come polo non dà contributo al momento.
"Faussone":
Ripeto: se ti metti in $O'$ il momento che tende a far girare l'asse attorno a $y$ è dato dalla reazione del cuscinetto in $O$ che ha momento non nullo
Posso chiederti di farmi vedere come costruisci questo momento?
"Faussone":
(a differenza di quello che accade se uso $O$ come polo di riduzione dei momenti). NON è dato dalla forza centrifuga che scegliendo $O'$ come polo non dà contributo al momento.
Sì, che non sia dato dallo forza centrifuga questo lo possiamo vedere dall'altra figura, la figura 1. Il problema per me rimane quello di visualizzare il sistema con tutti i momenti delle forze in gioco. L'importante è che questi momenti siano tutti disegnati in un sistema con origine in $O'$.
Considera l'ultima figura che hai riportato: la reazione del cuscinetto in O sarà una forza applicata in O e diretta come il vettore $F_c$ che hai disegnato lì (tra l'altro se consideriamo un sistema rotante dobbiamo parlare di forza centrifuga quindi la forza applicata alla massa ha direzione opposta a quella $F_c$ che hai messo lì).
Tale reazione in $O$ dà contributo al momento rispetto a $O'$ e tende a far ruotare l'asse attorno a $y$.
Tale reazione in $O$ dà contributo al momento rispetto a $O'$ e tende a far ruotare l'asse attorno a $y$.
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