Sistema di cariche con densità di carica non uniforme
Un sistema di cariche è formato da una carica puntiforme \(\displaystyle q = -8\cdot 10^{-9} C \) posta sull’asse delle x ad una distanza \(\displaystyle h = 0.02m \) dall’origine di una barretta sottile di lunghezza \(\displaystyle L = 0.02m \), disposta lungo l’asse delle x, che possiede una densità di carica non uniforme con andamento \(\displaystyle λ=400\cdot 10^{-9}x \).
Il punto P è posto sull'asse delle x ad una distanza \(\displaystyle R = 0.05m \) dall'origine.
Calcolare:
1) Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie sferica con centro nell'origine e raggio R
2) Modulo, direzione e verso del campo elettrico nel punto P
3) Il potenziale elettrostatico in P (rispetto all’infinito)
4) Ricavare il punto 2 dal punto 3
Primo punto
Ho utilizzato la legge di Gauss \(\displaystyle \phi_E = \frac{q+Q_{barretta}}{\varepsilon_0} \)
ricavando la carica totale della barretta tramite i seguenti passaggi
\(\displaystyle dq_{barretta} = \lambda dL = \lambda dx \)
\(\displaystyle Q_{barretta} = 400\cdot 10^{-9} \int_{0}^{L}xdx = 800\cdot 10^{-13} \)
e ho poi sostituito nella legge di Gauss per trovare il flusso...
Secondo punto
Ho voluto ricavare prima i due campi distinti, quello generato da q e quello generato dalla barretta, per poi sommarli.
\(\displaystyle E_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \frac{q}{(h+R)^2} \)
ma per quanto riguarda il campo generato dalla barretta non sono convinto di aver fatto bene:
\(\displaystyle E_{barretta} = \:
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{dq_{barretta}}{(R-x)^2} = \:
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{\lambda x}{(R-x)^2} = \:
\frac{400\cdot 10^{-9}}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{x}{(R-x)^2}dx \)
che viene qualcosa tipo
\(\displaystyle \dfrac{R\ln\left(R-L\right)}{R-L}-\dfrac{L\ln\left(R-L\right)}{R-L}-\ln\left(R\right)+\dfrac{R}{R-L}-1 \) valutato tra 0 e L ...
E' giusto il procedimento?
Terzo punto
Essenzialmente la stessa cosa fatta in precedenza... solo che la distanza al denominatore non è al quadrato...
Quarto punto
Qui non saprei come muovermi... dovrei trovare l'andamento di V nello spazio e poi calcolarmi il gradiente per ricavare E per poi infine calcolare E in P? Se si... come?
Grazie in anticipo!
Il punto P è posto sull'asse delle x ad una distanza \(\displaystyle R = 0.05m \) dall'origine.
Calcolare:
1) Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie sferica con centro nell'origine e raggio R
2) Modulo, direzione e verso del campo elettrico nel punto P
3) Il potenziale elettrostatico in P (rispetto all’infinito)
4) Ricavare il punto 2 dal punto 3
Primo punto
Ho utilizzato la legge di Gauss \(\displaystyle \phi_E = \frac{q+Q_{barretta}}{\varepsilon_0} \)
ricavando la carica totale della barretta tramite i seguenti passaggi
\(\displaystyle dq_{barretta} = \lambda dL = \lambda dx \)
\(\displaystyle Q_{barretta} = 400\cdot 10^{-9} \int_{0}^{L}xdx = 800\cdot 10^{-13} \)
e ho poi sostituito nella legge di Gauss per trovare il flusso...
Secondo punto
Ho voluto ricavare prima i due campi distinti, quello generato da q e quello generato dalla barretta, per poi sommarli.
\(\displaystyle E_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \frac{q}{(h+R)^2} \)
ma per quanto riguarda il campo generato dalla barretta non sono convinto di aver fatto bene:
\(\displaystyle E_{barretta} = \:
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{dq_{barretta}}{(R-x)^2} = \:
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{\lambda x}{(R-x)^2} = \:
\frac{400\cdot 10^{-9}}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{x}{(R-x)^2}dx \)
che viene qualcosa tipo
\(\displaystyle \dfrac{R\ln\left(R-L\right)}{R-L}-\dfrac{L\ln\left(R-L\right)}{R-L}-\ln\left(R\right)+\dfrac{R}{R-L}-1 \) valutato tra 0 e L ...
E' giusto il procedimento?
Terzo punto
Essenzialmente la stessa cosa fatta in precedenza... solo che la distanza al denominatore non è al quadrato...
Quarto punto
Qui non saprei come muovermi... dovrei trovare l'andamento di V nello spazio e poi calcolarmi il gradiente per ricavare E per poi infine calcolare E in P? Se si... come?
Grazie in anticipo!
Risposte
"DeltaEpsilon":
Quarto punto
Qui non saprei come muovermi... dovrei trovare l'andamento di V nello spazio e poi calcolarmi il gradiente per ricavare E per poi infine calcolare E in P? Se si... come?
Grazie in anticipo!
Qui sei fortunato perchè la simmetria ti permette di dire che il campo è diretto come x, per cui ti serve solo calcolare il potenziale non nello spazio ma solo sull'asse x, e solo in funzione di x (visto che ti serve solo la derivata rispetto a x) e questo è semplice
"mgrau":
Qui sei fortunato perchè la simmetria ti permette di dire che il campo è diretto come x, per cui ti serve solo calcolare il potenziale non nello spazio ma solo sull'asse x, e solo in funzione di x (visto che ti serve solo la derivata rispetto a x) e questo è semplice
Vediamo se ho capito:
\(\displaystyle V =
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \int_{0}^{L}\frac{\lambda dx}{x+d} =
\frac{400\cdot 10^{-9}}{4\pi \varepsilon_0}\cdot \int_{0}^{L}\frac{x}{x+d}dx =
\frac{400\cdot 10^{-9}}{4\pi \varepsilon_0}\cdot [x+d-d\ln |x+d|]_0^L \)
calcoli apparte, una volta valutato l'integrale tra 0 e \(\displaystyle L = 0.02m \) avrò un'espressione che dipende solo da \(\displaystyle d \)
dunque per il campo E mi basterà derivare rispetto a d tale espressione [size=85](con segno opposto)[/size].
Corretto?
.
P.S.: I punti precedenti sono corretti?
Direi di sì, calcoli a parte che non ho verificato.
"mgrau":
Direi di sì, calcoli a parte che non ho verificato.
Grazie mille!
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