Singolarità formale della legge di Coulomb
Ragazzi perchè quando $r->0$ nella legge di Coulomb il campo non va a più infinito?
Ho immaginato la carica come un funzione $q(r)$ quindi che dipende da r, ( as esempio se prendo una sfera con una densità volumetrica di carica la quantità di carica varia in funzione del raggio delle sfere concentriche ) e ho pensato che la funzione $q(r)$ risulti essere un infinitesimo di ordine maggiore rispetto alla funzione $1/(r^2)$ che è la funzione che determina l'andamento della legge di Coulomb.
Francamente questa tesi si smonta da sola basti pensare al campo di una carica puntiforme a distanza r da un punto fissato, la carica non è una funzione di r quindi buonanotte.
Un'altra cosa a chi avevo pensato è che al livello microscopio per distanze molto piccole tipo di $ 10^(-10) $ potrebbe accadere qualcosa di diverso...
Grazie a tutti per le eventuali risposte ^^
Ho immaginato la carica come un funzione $q(r)$ quindi che dipende da r, ( as esempio se prendo una sfera con una densità volumetrica di carica la quantità di carica varia in funzione del raggio delle sfere concentriche ) e ho pensato che la funzione $q(r)$ risulti essere un infinitesimo di ordine maggiore rispetto alla funzione $1/(r^2)$ che è la funzione che determina l'andamento della legge di Coulomb.
Francamente questa tesi si smonta da sola basti pensare al campo di una carica puntiforme a distanza r da un punto fissato, la carica non è una funzione di r quindi buonanotte.
Un'altra cosa a chi avevo pensato è che al livello microscopio per distanze molto piccole tipo di $ 10^(-10) $ potrebbe accadere qualcosa di diverso...
Grazie a tutti per le eventuali risposte ^^
Risposte
Scusa, non ho capito niente
Prendiamo la formula della forza di interazione tra due cariche nota come legge di Coulomb: $F=(q_0 q_1 k)/(r^2)$ se la distanza tra le cariche tende a più infinito la forza va a zero ed è una cosa anche intuibile, matematicamente parlando se
$r->0$ la forza dovrebbe andare a più infinito ma non è così, perché ?
$r->0$ la forza dovrebbe andare a più infinito ma non è così, perché ?
In che senso non è così? Se $r$ tende a zero, $F$ va all'infinito.
Non credo abbia senso una forza infinita ...
Così è, nell'ambito della legge di Coulomb.
Ok , la mia domanda riguarda il modo in cui si supera questo limite della legge di Coulomb, come si spiega che la forza in realtà non è infinita?
Occorrono le teorie quantistiche 
Comunque, se vuoi rimanere nel classico, potresti pensare che elettroni, protoni ecc. siano particelle non puntiformi (delle sferette) così $r$ non può essere nullo. Nel classico, però, non funzionano un sacco di altre cose...
Comunque, se vuoi rimanere nel classico, potresti pensare che elettroni, protoni ecc. siano particelle non puntiformi (delle sferette) così $r$ non può essere nullo. Nel classico, però, non funzionano un sacco di altre cose...
È interessante notare come nel modello quantistico de Schroedinger dell'atomo di idrogeno, nello stato fondamentale, la probabilità di trovare l'elettrone nel centro (dove c'è il protone) è sì massima, ma minore di uno, per cui i problemi di divergenza sono risolti.
Questa è una elaborazione numerica dove maggiore probabilità corrisponde a maggiore chiarezza di rosso.
L'immagine è una sezione centrale della densità di probabilità per l'elettrone.
[url]
http://arrigoamadori.comlu.com/CalcoloN ... /1_0_0.png
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Questa è una elaborazione numerica dove maggiore probabilità corrisponde a maggiore chiarezza di rosso.
L'immagine è una sezione centrale della densità di probabilità per l'elettrone.
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http://arrigoamadori.comlu.com/CalcoloN ... /1_0_0.png
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Perfetto, grazie mille molto chiaro !! ^^
La questione che stai sollevando è MOOOOLTO delicata e MOOOOLTO complessa. Sostanzialmente si tratta del problema della regolarizzazione/rinormalizzazione.
Non sono il campo coulombiano diverge per una carica puntiforme; anche la densità di energia diverge, in particolare come $r^{-4}$. Dunque l'integrale su tutto lo spazio diverge. Il punto è che, classicamente e in senso naif, serve infinita energia per formare una carica puntiforme.
Questo, per motivi che non sto a spiegare, è problematico anche dal punto dell'esistenza e unicità delle soluzioni alle equazioni del moto della particella e dei campi; dell'autointerazione; del determinismo del second'ordine; della causalità.
Una soluzione parziale esiste in elettrodinamica covariante classica; è un discorso veramente tecnico che culmina nella correzione della forza di Lorentz nell'equazione di Lorentz-Dirac, che tiene conto in maniera covariante dell'autocampo ed è generata da una procedura di regolarizzazione/rinormalizzazione della massa dell'elettrone. Una trattazione chiara e dettagliata è data ad es. da Kurt Lechner in Elettrodinamica Classica (http://www.pd.infn.it/~lechner/Fisica%2 ... %27%29.pdf) pagina da 305 in poi.
La soluzione definitiva è la teoria della rinormalizzazione in teoria quantistica di campo.
Non sono il campo coulombiano diverge per una carica puntiforme; anche la densità di energia diverge, in particolare come $r^{-4}$. Dunque l'integrale su tutto lo spazio diverge. Il punto è che, classicamente e in senso naif, serve infinita energia per formare una carica puntiforme.
Questo, per motivi che non sto a spiegare, è problematico anche dal punto dell'esistenza e unicità delle soluzioni alle equazioni del moto della particella e dei campi; dell'autointerazione; del determinismo del second'ordine; della causalità.
Una soluzione parziale esiste in elettrodinamica covariante classica; è un discorso veramente tecnico che culmina nella correzione della forza di Lorentz nell'equazione di Lorentz-Dirac, che tiene conto in maniera covariante dell'autocampo ed è generata da una procedura di regolarizzazione/rinormalizzazione della massa dell'elettrone. Una trattazione chiara e dettagliata è data ad es. da Kurt Lechner in Elettrodinamica Classica (http://www.pd.infn.it/~lechner/Fisica%2 ... %27%29.pdf) pagina da 305 in poi.
La soluzione definitiva è la teoria della rinormalizzazione in teoria quantistica di campo.
Ottimo hamilton! Però le teorie di rinormalizzazione per me sanno un po' di magia... Io sono convinto che per eliminare gli infiniti si debba rinunciare al concetto che le particelle (ma anche lo spazio ed il tempo) siano entità puntiformi. Che la soluzione sia nelle stringhe o simili?
Io sono convinto che per eliminare gli infiniti si debba rinunciare al concetto che le particelle (ma anche lo spazio ed il tempo) siano entità puntiformi. Che la soluzione sia nelle stringhe o simili?
No, non la penso così. Le particelle fondamentali sono e devono essere puntiformi. Le stringhe non risolverebbero nulla. La teoria delle stringhe comunque non prevede che le particelle siano composte da stringhe.
In ogni caso, sperimentalmente le particelle sono puntiformi fino ad u a certa scala; senza la rinormalizzazione su quel range non potresti computare con la teoria di campo.
Tra l'altro, la QFT delle particelle estese (ad es. la teoria Yukawa dell'interazione nucleare) è più difficile di quella puntiforme e la covarianza - e quindi e soprattutto la località dell'algebra - diventa una roba delicatissima.
Comunque la rinormalizzazione puzza di magia ma non lo è. Ha un interpretazione fisica nel fatto che mano mano che ci si avvicina alla particella stiamo andando a lavorare su scale di lunghezza più piccole e dunque energie più alte - è ragionevole, intuitivamente, immaginare che ci sia una qualche struttura che si potrebbe fantasiosamente descrivere come un mare di particelle virtuali, mano mano più fitta e di particelle più massive; queste contribuiranno alla particella originale in termini di energia e di interazioni a basse energie. Dunque i parametri misurati non sono quelli "nudi" ma sono dovuti a tutti questi contributi.
Il mio punto è che questo è un aspetto assolutamente generale di una teoria di campo quantistica con interazioni indipendentemente da come e da che cosa la teoria di campo è emergente.
In ogni caso, sperimentalmente le particelle sono puntiformi fino ad u a certa scala; senza la rinormalizzazione su quel range non potresti computare con la teoria di campo.
Tra l'altro, la QFT delle particelle estese (ad es. la teoria Yukawa dell'interazione nucleare) è più difficile di quella puntiforme e la covarianza - e quindi e soprattutto la località dell'algebra - diventa una roba delicatissima.
Comunque la rinormalizzazione puzza di magia ma non lo è. Ha un interpretazione fisica nel fatto che mano mano che ci si avvicina alla particella stiamo andando a lavorare su scale di lunghezza più piccole e dunque energie più alte - è ragionevole, intuitivamente, immaginare che ci sia una qualche struttura che si potrebbe fantasiosamente descrivere come un mare di particelle virtuali, mano mano più fitta e di particelle più massive; queste contribuiranno alla particella originale in termini di energia e di interazioni a basse energie. Dunque i parametri misurati non sono quelli "nudi" ma sono dovuti a tutti questi contributi.
Il mio punto è che questo è un aspetto assolutamente generale di una teoria di campo quantistica con interazioni indipendentemente da come e da che cosa la teoria di campo è emergente.
D'accordo, ma è "quella certa scala" che mi fa pensare... L'ipotesi del punto senza dimensione non m'è mai piaciuta... è solo un comoda astrazione della nostra mente
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