Simboli di Christoffel e Relatività Generale
Ciao a tutti,
sono uno studente di Fisica che sta per iniziare il secondo anno. Quest'estate mi sono proposto di studiare qualcosina riguardo ai tensori ed alla matematica necessaria alla Relatività Generale (ho dato gli esami di Algebra Lineare ed Analisi I e conosco il concetto di derivata direzionale, etc).
Non capisco come ottenere il gradiente dei vettori $ vec e_{rho} $ e $ vec e_{theta} $.
Ad esempio dovrei ottenere:
$ tilde(grad) vec e_{theta}=1/ {rho} tilde {e^{rho}} ox vec e_{theta}- rho tilde {e^{theta}} ox vec e_{rho} $
Ricordando che $ vec e_{theta}=-y vec e_x+x vec e_y $ , ho ottenuto
$ tilde(grad) vec e_{theta}= tilde {e^x} ox vec e_y - tilde {e^y} ox vec e_x $ , anch'esso tensore (1,1) ma ora?
Non so che matrice di trasformazione usare per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari :/
Grazie mille!!
sono uno studente di Fisica che sta per iniziare il secondo anno. Quest'estate mi sono proposto di studiare qualcosina riguardo ai tensori ed alla matematica necessaria alla Relatività Generale (ho dato gli esami di Algebra Lineare ed Analisi I e conosco il concetto di derivata direzionale, etc).
Non capisco come ottenere il gradiente dei vettori $ vec e_{rho} $ e $ vec e_{theta} $.
Ad esempio dovrei ottenere:
$ tilde(grad) vec e_{theta}=1/ {rho} tilde {e^{rho}} ox vec e_{theta}- rho tilde {e^{theta}} ox vec e_{rho} $
Ricordando che $ vec e_{theta}=-y vec e_x+x vec e_y $ , ho ottenuto
$ tilde(grad) vec e_{theta}= tilde {e^x} ox vec e_y - tilde {e^y} ox vec e_x $ , anch'esso tensore (1,1) ma ora?
Non so che matrice di trasformazione usare per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari :/
Grazie mille!!
Risposte
Scusami, forse non ho compreso la tua difficoltà .
Hai scritto la trasformazione di $vece_\theta$ . Scrivi anche la trasformazione di $vece_\rho$ , e hai la matrice che cerchi bell'e pronta : è la matrice dei coefficienti dei versori cartesiani a 2º membro.
Ma comunque, la matrice è formata dalle derivate parziali della trasformazione di coordinate:
$(\partialx' "^\alpha)/ (\partialx^\beta) $ , e la legge di trasformazione è quella solita dei tensori covarianti del primo ordine :
$e_\beta = (\partialx' "^\alpha)/ (\partialx^\beta) e'_\alpha $ , per ogni valore degli indici.
Non so se questo è il tuo dubbio. Questi però non sono i simboli di Christoffel , e ancora non c'entrano con la RG , sono solo elementi di calcolo tensoriale.
Ti allego una pagina di un buon testo di relativita' , dove si introduce il concetto di "gradiente di un tensore" in relativita ristretta, considerando quindi lo ST piatto e i vettori base costanti in tutto lo spazio . Quando lo spazio e' curvo, si deve rinunciare alla costanza delle basi , e sostituire le derivate ordinarie con le derivate covarianti.
Hai scritto la trasformazione di $vece_\theta$ . Scrivi anche la trasformazione di $vece_\rho$ , e hai la matrice che cerchi bell'e pronta : è la matrice dei coefficienti dei versori cartesiani a 2º membro.
Ma comunque, la matrice è formata dalle derivate parziali della trasformazione di coordinate:
$(\partialx' "^\alpha)/ (\partialx^\beta) $ , e la legge di trasformazione è quella solita dei tensori covarianti del primo ordine :
$e_\beta = (\partialx' "^\alpha)/ (\partialx^\beta) e'_\alpha $ , per ogni valore degli indici.
Non so se questo è il tuo dubbio. Questi però non sono i simboli di Christoffel , e ancora non c'entrano con la RG , sono solo elementi di calcolo tensoriale.
Ti allego una pagina di un buon testo di relativita' , dove si introduce il concetto di "gradiente di un tensore" in relativita ristretta, considerando quindi lo ST piatto e i vettori base costanti in tutto lo spazio . Quando lo spazio e' curvo, si deve rinunciare alla costanza delle basi , e sostituire le derivate ordinarie con le derivate covarianti.
Ho capito!
Grazie mille
Grazie mille
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