Simboli di Christoffel

[Sergeant Pepper]

Salve a tutti, a lezione ho affrontato i simboli di Christoffel da un punto di vista teorico ma praticamente mi sono ancora abbastanza oscuri, qualcuno potrebbe darmi una mano con un esercizio per capire meglio?

L'esercizio è il seguente:

data la superficie parametrizzata come segue:
$x=rcos(theta); y=rsin(theta); z=sin(r)$
calcolare il simbolo di Christoffel $Gamma_22^1$

La definizione la ho:
$Gamma_(bc)^a=(1/2)(A^(ah))((dA_(hb))/(dq^c)+(dA_(hc))/(dq^b)-(dA_(bc))/(dq^h))$
ma non ho proprio idea di come partire a livello operativo..

Grazie a chiunque possa aiutarmi

[Luca.Lussardi]

Comincia a trovarti la metrica $A$, prodotti scalari delle derivate parziali della parametrizzazione...

[Sergeant Pepper]

Grazie per la risposta

Con un po' di calcoli ho trovato i due vettori e la matrice $A$:

$\vece_1=cos(theta)\vec i+sin(theta)\vecj+cos(r)\veck$
$\vece_2=-rsin(theta)\veci+rcos(theta)\vecj+0\veck$

$A_11=\vece_1*\vece_1=cos^2(theta)+sin^2(theta)+cos^2(r)=1+cos^2(r)$
$A_12=A_21=\vece_1*\vece_2=-rsin(theta)cos(theta)+rsin(theta)cos(theta)=0$
$A_22=\vece_2*\vece_2=r^2sin^2(theta)+r^2cos^2(theta)=r^2$

Quindi:

$A_(ab)=((1+cos^2(r),0),(0,r^2))$

Per la matrice $A^(ab)$ invece come si procede? E' semplicemente l'inversa di questa? Oppure c'è qualche trucco operativo? Perchè in questo caso essendo diagonale si inverte facilmente ma non credo venga sempre così..

Grazie ancora per l'aiuto

[Luca.Lussardi]

Si, e' l'inversa, che trovi facilmente comunque anche se non fosse diagonale, una 2x2...

[Sergeant Pepper]

Si, più che altro pensavo a situazioni in cui servono più di 2 coordinate, anche se forse non sono così frequenti a livello di esercizi..
Concludo l'esercizio per completezza:

$A^(ab)=((1/(1+cos^2(r)),0),(0,1/(r^2)))$

e quindi:
$Gamma_(22)^1=1/2A^(11)[2((dA_(12))/(d(theta)))-((dA_(22))/(dr))]+1/2A^(12)[2((dA_(22))/(d(theta)))-(dA_(22))/(d(theta))]=-1/2(1/(1+cos^2r))2r=-(r/(1+cos^2r))$

Grazie mille