Significato termine "Trascurabile"
Ciao, spesso si dice che un qualcosa è trascurabile rispetto ad altro.
Oppure che una cosa è molto maggiore (>>) di altro.
Ma in termini numerici quando è che possiamo affermare ciò?
Io ho spesso sentito dire che una cosa è (al massimo) trascurabile rispetto ad un altra quando è un ordine inferiore, ovvero:
1 metro è trascurabile rispetto a 10 metri
10 kg sono trascurabili rispetto a 100 kg
Con "(al massimo)" intendo che è la condizione minima,
Nel senso che 1 metro è trascurabile rispetto a 10 metri
ma anche 0.5 metri lo sono ed in generale tutti quelli inferiori ad 1 metro.
E' così che si ragiona?
Grazie
Oppure che una cosa è molto maggiore (>>) di altro.
Ma in termini numerici quando è che possiamo affermare ciò?
Io ho spesso sentito dire che una cosa è (al massimo) trascurabile rispetto ad un altra quando è un ordine inferiore, ovvero:
1 metro è trascurabile rispetto a 10 metri
10 kg sono trascurabili rispetto a 100 kg
Con "(al massimo)" intendo che è la condizione minima,
Nel senso che 1 metro è trascurabile rispetto a 10 metri
ma anche 0.5 metri lo sono ed in generale tutti quelli inferiori ad 1 metro.
E' così che si ragiona?
Grazie
Risposte
Credo che senza contestualizzare non abbia senso dire che una cosa è trascurabile.
Ad esempio in analisi, visto che questo è l'argomento di questa sezione, esiste una definizione precisa di cosa vuol dire essere trascurabile (i soggetti in questione in questo coso sono funzioni e il concetto ha valore locale).
Se vogliamo far invece riferimento a delle "misure", nel senso fisico del termine, come pare facciano riferimento gli esempi da te riportati, direi che la trascurabilità è i questo caso, se nulla è aggiunto al contesto, afferibile alle cifre significative. Quindi non credo sia giusto dire che 1 metro sia trascurabile rispetto a 10 metri, a meno che quest'ultima misura non abbia un unica cifra significativa (e quindi sia scritta in notazione scientifica come \(1\cdot 10 \)m).
Ad esempio in analisi, visto che questo è l'argomento di questa sezione, esiste una definizione precisa di cosa vuol dire essere trascurabile (i soggetti in questione in questo coso sono funzioni e il concetto ha valore locale).
Se vogliamo far invece riferimento a delle "misure", nel senso fisico del termine, come pare facciano riferimento gli esempi da te riportati, direi che la trascurabilità è i questo caso, se nulla è aggiunto al contesto, afferibile alle cifre significative. Quindi non credo sia giusto dire che 1 metro sia trascurabile rispetto a 10 metri, a meno che quest'ultima misura non abbia un unica cifra significativa (e quindi sia scritta in notazione scientifica come \(1\cdot 10 \)m).
Ciao, il contesto di cui parlo non è "matematico", ma più "fisico", io pensavo ci fosse un significato piò o meno definito in termini fisici, come appunto io riportavo. Ovvero quello relativo all'ordine di grandezza inferiore.
Come si diceva “trascurabile” è, nella pratica, inteso come “piccolo rispetto alle grandezze in gioco”.
Ad esempio, il peso di una persona è trascurabile nella progettazione di una nave da crociera, ma non in quella di un ascensore.
Ad esempio, il peso di una persona è trascurabile nella progettazione di una nave da crociera, ma non in quella di un ascensore.
"matteo_g":
Ciao, il contesto di cui parlo non è "matematico", ma più "fisico", io pensavo ci fosse un significato piò o meno definito in termini fisici, come appunto io riportavo. Ovvero quello relativo all'ordine di grandezza inferiore.
Io non conosco una definizione di trascurabilità di questo tipo, ma sinceramente non la trovo neanche sensata.
Ad essere pignoli, questa definizione implicherebbe anche che, ad esempio, 40 metri siano trascurabili rispetto a 60 metri... direi che, anche intuitivamente, la cosa non ha molto senso...
@gugo82
Quindi non c'è una vera e propria definizione ?
Ad esempio nella progettazione di un'ascensore secondo il mio ragionamento se l'ascensore generalmente deve trasportare 1000 kg una persona con peso inferiore a 100 kg risulta trascurabile.
Non trovi sia corretto?
Chiaramente io sto parlando di non prendere in considerazione un certo dato perchè ad esempio non lo conosciamo con precisione ma sappiamo che è più piccolo di una certa quantità.
Generalmente sennò inserirei tutto.
Quindi non c'è una vera e propria definizione ?
Ad esempio nella progettazione di un'ascensore secondo il mio ragionamento se l'ascensore generalmente deve trasportare 1000 kg una persona con peso inferiore a 100 kg risulta trascurabile.
Non trovi sia corretto?
Chiaramente io sto parlando di non prendere in considerazione un certo dato perchè ad esempio non lo conosciamo con precisione ma sappiamo che è più piccolo di una certa quantità.
Generalmente sennò inserirei tutto.
In genere in fisica se fra due grandezze c'è almeno un ordine di grandezza di differenza si dice che quella minore è trascurabile, ma va comunque contestualizzato. Se quell'ascensore si rompe a 1050 kg non è tanto trascurabile.
Bisogna essere molto cauti, nel dire che una certa quantità è trascurabile in un certo fenomeno fisico . Avete mai sentito parlare dell'effetto farfalla ?
Qui e anche qui
La precessione del perielio di Mercurio , calcolata con la meccanica newtoniana , porta ad una differenza di 43" di arco per secolo : una bazzecola! Eppure , la relatività generale riesce a dare conto di questa discrepanza, anzi questa è una prova della sua validità .
Qui e anche qui
La precessione del perielio di Mercurio , calcolata con la meccanica newtoniana , porta ad una differenza di 43" di arco per secolo : una bazzecola! Eppure , la relatività generale riesce a dare conto di questa discrepanza, anzi questa è una prova della sua validità .
"Platone":
[quote="matteo_g"]Ciao, il contesto di cui parlo non è "matematico", ma più "fisico", io pensavo ci fosse un significato piò o meno definito in termini fisici, come appunto io riportavo. Ovvero quello relativo all'ordine di grandezza inferiore.
Io non conosco una definizione di trascurabilità di questo tipo, ma sinceramente non la trovo neanche sensata.
Ad essere pignoli, questa definizione implicherebbe anche che, ad esempio, 40 metri siano trascurabili rispetto a 60 metri... direi che, anche intuitivamente, la cosa non ha molto senso...[/quote]
Ciao, no, non implicherebbe che 60 metri siano trascurabili rispetto a 40 metri ma rispetto a 6 metri.
[/quote][/quote]
Questo è come la sapevo io.
Certamente poi ci sono casi particolari e da contestualizzare.
@Shackle
Mai sentito parlare di effetto farfalla, ci darò un'occhiata.
"Nikikinki":
In genere in fisica se fra due grandezze c'è almeno un ordine di grandezza di differenza si dice che quella minore è trascurabile, ma va comunque contestualizzato. Se quell'ascensore si rompe a 1050 kg non è tanto trascurabile.
Questo è come la sapevo io.
Certamente poi ci sono casi particolari e da contestualizzare.
@Shackle
Mai sentito parlare di effetto farfalla, ci darò un'occhiata.
"matteo_g":
Ciao, no, non implicherebbe che 60 metri siano trascurabili rispetto a 40 metri ma rispetto a 6 metri.
E invece si! Ti faccio notare che 60 e 40 hanno due ordini di grandezza differenti: per il primo è \(10^2\), per il secondo \(10\).
Allora probabilmente non so bene la definizione matematica di ordine di grandezza.
Io voglio dire 6 ( o inferiore) trascurabile rispetto a 60
60 o inferiore trascurabile rispetto a 600
600 o inferiore trascurabile rispetto a 6000.
Io voglio dire 6 ( o inferiore) trascurabile rispetto a 60
60 o inferiore trascurabile rispetto a 600
600 o inferiore trascurabile rispetto a 6000.
A rigore hai ragione Platone, ma è il limite in cui matematica e fisica si separano. Per la gran parte dei fenomeni, a parte branche particolari come la meccanica quantistica o la meccanica caotica citata da Shackle, basta guardare la potenza del 10 infischiandosene del numero a moltiplicare, perché spesso sono situazioni idealizzate per le quali gli errori che si commettono rispetto alla realtà sono già di per sé maggiori rispetto a ciò che si trascura solo guardando le potenze 10. Quindi in gran parte degli esempi che si incontrano all'università è possibile operare in questo modo. Per contro in quei casi in cui è richiesta precisione in fisica, non si trascura niente a priori (oppure cose che sono al di sotto di vari ordini di grandezza) quindi anche in questo caso paradossalmente ci si dimentica della definizione matematica corretta. Insomma, in fisica tutto dipende dal contesto.
Ed inoltre, mi sento di aggiungere, proprio l’analisi e lo studio sistematico della propagazione degli errori commessi mediante approssimazione (ossia, trascurando cifre nella scrittura dei risultati numerici di misure od operazioni con esse) hanno portato alla formulazione della teoria degli errori, che è uno degli attrezzi fondamentali del Fisico (e dell’Analista Numerico).
Un libro carino in proposito è il Taylor, Analisi degli Errori.
Un libro carino in proposito è il Taylor, Analisi degli Errori.
"Nikikinki":
A rigore hai ragione Platone, ma è il limite in cui matematica e fisica si separano.
Non voglio essere pignolo, ma il concetto di ordine di grandezza si ritrova quasi più in fisica che in matematica, e quella a cui faccio riferimento io è quella che si trova su tutti i libri di fisica già del primo anno delle scuole superiori.
Per l'ordine di grandezza si guarda sì la potenza del 10, ma di quella più vicino al numero considerato!!
Sarebbe, infatti assurdo, estremizzando un po', che 999 avesse come ordine di grandezza \(10^2\).
@matteo_g
Nei tuoi esempi tu ti riferisci solo a numeri che si differenziano esattamente per una potenza di 10; ma mi pare ovvio che "nella pratica" i numeri (leggi le misure) non sono mai solo in quel tipo di rapporto: e quindi se si vuole discute, in generale, di cosa sia trascurabile rispetto a cosa, bisognerà pur considerare casi meno "perfetti", no?
Sì ma qui non parliamo di ordine di grandezza e basta ma di quando è "trascurabile". La mia risposta è che in fisica in gran parte dei problemi si procede in quel modo, perché dove serve rigore semplicemente si considera tutto.
Io non ho mai sentito dire che una quantità è trascurabile se è di un ordine di grandezza inferiore a quella di base. SE un uomo pesa 100 kp , oppure 90 kp, c'è un bella differenza. 
Esistono appositi corsi di misure e controlli, dove la materia è sviscerata a dovere.
Certo, si deve contestualizzare il fenomeno in esame . Se devo misurare la lunghezza di un aereo con la rollina metrica (!!) , penso di potermi accontentare dell'approssimazione al centimetro . Ma se devo misurare la distanza della Luna , farò ricorso a raggi laser , visto che sulla superficie lunare sono stati istallati riflettori appositi. Se mi occupo di misure ottiche, elettriche, elettroniche , il discorso cambia ancora...
E se faccio il farmacista, dovrò essere molto più preciso...
Io penso che una definizione adeguata di 'quantità trascurabile' potrebbe essere questa : una quantità è trascurabile quando non è possibile rilevarla con gli strumenti di misura che si hanno a disposizione . Migliore è lo strumento, migliore sarà la sua misura.
Esistono appositi corsi di misure e controlli, dove la materia è sviscerata a dovere.
Certo, si deve contestualizzare il fenomeno in esame . Se devo misurare la lunghezza di un aereo con la rollina metrica (!!) , penso di potermi accontentare dell'approssimazione al centimetro . Ma se devo misurare la distanza della Luna , farò ricorso a raggi laser , visto che sulla superficie lunare sono stati istallati riflettori appositi. Se mi occupo di misure ottiche, elettriche, elettroniche , il discorso cambia ancora...
E se faccio il farmacista, dovrò essere molto più preciso...
Io penso che una definizione adeguata di 'quantità trascurabile' potrebbe essere questa : una quantità è trascurabile quando non è possibile rilevarla con gli strumenti di misura che si hanno a disposizione . Migliore è lo strumento, migliore sarà la sua misura.
"Nikikinki":
Sì ma qui non parliamo di ordine di grandezza e basta ma di quando è "trascurabile". La mia risposta è che in fisica in gran parte dei problemi si procede in quel modo, perché dove serve rigore semplicemente si considera tutto.
Va bene, ma io infatti rispondevo però a matteo_g, e dicevo che il discriminante non può essere riferito semplicemente all'orine di grandezza: bisogna fare altre considerazioni (come quella che hai esemplificato te).
Inoltre, preciso, ritengo che non si possa mai considerare l'ordine di grandezza e basta (caso 40/60); neanche se lo si considera, sbagliando, come il numero di cifre -1 (caso 99/100).
"Shackle":
Io penso che una definizione adeguata di 'quantità trascurabile' potrebbe essere questa : una quantità è trascurabile quando non è possibile rilevarla con gli strumenti di misura che si hanno a disposizione . Migliore è lo strumento, migliore sarà la sua misura.
Sono d'accordo su questa proposta, che a ben vedere è la stessa che avevo proposto io utilizzando il linguaggio delle cifre significative.
Sì ma non ci capiamo, tutto giusto io ho dato un metro di giudizio a chi ha fatto la domanda che 99/100 cercava una conferma ad un qualche problema decisamente semplice in cui si trascurano certe quantità in favore di altre, quindi niente casi limite sull'ordine di grandezza, strumenti di misura etc. Poi, comunque, ho già detto che nel merito va contestualizzato.
@ Nikikinki
Esattamente
Grazie a tutti comunque!!
Esattamente
Grazie a tutti comunque!!
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