Significato di \( \overrightarrow{F}=-\nabla U \)
Ciao, leggendo un appunto sui dipoli ho trovato questa formula che non capisco assolutamente da dove viene e perché sia così:
\( \overrightarrow{F}=-\nabla U \)
Grazie in anticipo!
\( \overrightarrow{F}=-\nabla U \)
Grazie in anticipo!
Risposte
il gradiente è definito come:
$\nablaf= ( (\partialf)/(\partialx) , (\partialf)/(\partialy) , (\partialf)/(\partialz) )$ ovvero come derivata direzionale.
Dalla definizione di energia potenziale puoi dedurre il vettore $\vecF$ (derivando rispetto la direzione $\vecr=(x,y,z)$, quindi utilizzando la derivata direzionale):
$\nablaf= ( (\partialf)/(\partialx) , (\partialf)/(\partialy) , (\partialf)/(\partialz) )$ ovvero come derivata direzionale.
Dalla definizione di energia potenziale puoi dedurre il vettore $\vecF$ (derivando rispetto la direzione $\vecr=(x,y,z)$, quindi utilizzando la derivata direzionale):
$U=-\int_A^B \vecF * d\vecr$ $rarr$ ${(-(\partialU)/(\partialx)=F_x),(-(\partialU)/(\partialy)=F_y),(-(\partialU)/(\partialz)=F_z):}$ $rarr$ $-\nablaU=\vecF=(F_x,F_y,F_z)$
E' abbastanza strano e grave che tu non sappia o abbia mai visto quella formula...cioè stai studiando i dipoli...e non hai mai sentito parlare di potenziale elettrico? a fisica1 non hai mai sentito parlare di forze conservative? ad analisi non hai mai sentito parlare di campi conservativi?...
E' praticamente la relazione più importante da sapere della fisica classica...
Scusate se mi intrometto: io studio al PoliTo. Ho già seguito analisi I, fisica I e geometria. Riguardo alle derivate direzionali ricordo una parentesi di 15 minuti in una lezione di fisica I. Credo sia diventato programma (almeno nella mia facoltà) di analisi II. Premetto che in geometria non abbiamo trattato di funzioni in più variabili e di derivate parziali, né in analisi I si è parlato di campi conservativi. Si è parlato di circuitazione di un vettore in fisica I in merito alle forze conservative. I pochi cenni sui gradienti fatti a fisica I che io sappia non sono mai stati chiesti all'esame dal mio docente (che è già uno tosto).
Son cambiati i programmi
Son cambiati i programmi
"fender97":
Scusate se mi intrometto: io studio al PoliTo. Ho già seguito analisi I, fisica I e geometria. Riguardo alle derivate direzionali ricordo una parentesi di 15 minuti in una lezione di fisica I. Credo sia diventato programma (almeno nella mia facoltà) di analisi II. Premetto che in geometria non abbiamo trattato di funzioni in più variabili e di derivate parziali, né in analisi I si è parlato di campi conservativi. Si è parlato di circuitazione di un vettore in fisica I in merito alle forze conservative. I pochi cenni sui gradienti fatti a fisica I che io sappia non sono mai stati chiesti all'esame dal mio docente (che è già uno tosto).
Son cambiati i programmi
Stai dicendo Che, data la funzione potenziale, non sei in grado di ricavare la forza perche non ti e' mai stato insegnato con I nuovi programmi?
Non ci credo....
"fender97":
Scusate se mi intrometto: io studio al PoliTo. Ho già seguito analisi I, fisica I e geometria. Riguardo alle derivate direzionali ricordo una parentesi di 15 minuti in una lezione di fisica I. Credo sia diventato programma (almeno nella mia facoltà) di analisi II. Premetto che in geometria non abbiamo trattato di funzioni in più variabili e di derivate parziali, né in analisi I si è parlato di campi conservativi. Si è parlato di circuitazione di un vettore in fisica I in merito alle forze conservative. I pochi cenni sui gradienti fatti a fisica I che io sappia non sono mai stati chiesti all'esame dal mio docente (che è già uno tosto).
Son cambiati i programmi
Anche da me la stessa cosa, in Bicocca; cominci a vedere queste cose con fisica 2, analisi 2 e meccanica classica.
"professorkappa":
Stai dicendo Che, data la funzione potenziale, non sei in grado di ricavare la forza perche non ti e' mai stato insegnato con I nuovi programmi?
Non ci credo....
Eh purtroppo no, almeno non con l'ottica di cui si sta parlando. Non ci è proprio richiesto. Non trattiamo neppure le funzioni in più variabili il primo anno. Sino all'anno scorso erano programma di geometria, ora sono nel programma di analisi II. Si parla in modo vago di campi in gravitazione ed elettrostatica, ma ripeto: se tutto va bene avremo speso 15 minuti a parlare di gradienti .
stranissimo...
Facciamo ordine e partiamo da una cosa facile: se la funzione dell'energia potenziale elastica è $1/2kx^2$ allora certamente so ricavare la forza elastica, ma non con il concetto di gradiente. Semplicemente conosco la relazione (opportunamente dimostrabile)
$W = \int_A^B \vec F(x) * d\vecx = -\DeltaE_p$
Allora derivando a destra e a sinistra ottengo il valore della forza. Se però l'equazione dovesse essere magari in due o tre variabili ecco che non avrei più certezze. Ci manca un concetto esaustivo di gradiente (che a breve imparerò con analisi II).
$W = \int_A^B \vec F(x) * d\vecx = -\DeltaE_p$
Allora derivando a destra e a sinistra ottengo il valore della forza. Se però l'equazione dovesse essere magari in due o tre variabili ecco che non avrei più certezze. Ci manca un concetto esaustivo di gradiente (che a breve imparerò con analisi II).
Grazie a tutti per le risposte. Ho rivisto il concetto di gradiente che, come per gli altri, non si è mai visto se non in fisica senza troppe lodi in altre materie.. motivo per cui, ahimè, nonostante avessi studiato dipoli e tutto non è venuto automatico fare collegamenti
Provo a buttare giu' 2 righe terra terra, e i puristi mi scuseranno. I concetti formali li imparerete (pare, e mi perplimo) piu' in la.
Se si ha una funzione di una variabile, e' noto che la derivata e' il limite del rapporto incrementale in quel punto, ovvero la pendenza della curva nel punto dato. Il concetto e' semplice, perche ci si puo' "muovere" sulla curva lungo un'unica direzione.
Una funzione di piu variabili, essendo una superficie, presenta infinite derivate in un punto, perche da quel punto mi posso "muovere" in infinite direzioni. Per esempio, se avessi la funzione che rappresenta una collina, potrei muovermi da quel punto dritto verso la cima (e avrei una certa pendenza). Oppure scegliere di muovermi lungo dei "tornanti" affrontando pendenze diverse.
Il gradiente mi indica quali sono le pendenze lungo 3 direzioni stabilite: nel caso di coordinate cartesiane, mi dice quali sono le pendenze lungo ognuno degli assi x, y, e z infischiandosene di come varia la pendenza lungo gli altri 2 assi.
Il gradiente (nabla) e' un vettore di coordinate $((partial)/(partial x),(partial)/(partial y),(partial)/(partial z))$.
Operativamente, e in termini semplici, si tratta di derivare la variabile multifunzionale rispetto ad ogni variabile indipendente, trascurando le altre 2, ovvero trattandole come se fossero costanti.
Facciamo un esempio: se la funzione potenziale e' $U=3x^2y+yz+xz^3$, allora cerchiamo il vettore:
$vecF=vec(nabla)*U$
Eseguendo il prodotto scalare a secondo membro, si ha $vecF=( (partialU)/(partial x) ,(partialU)/(partial y),(partialU)/(partial z))$
Il calcolo delle 3 componenti e' banale se si conoscono le basi delle regole di derivazione: in questo caso
$(partialU)/(partial x)=6xy+z^3$
$(partialU)/(partial y)=3x^2+z$
$(partialU)/(partial z)=y+3xz^2$
Non ho fatto altro che derivare per x, y e z, trattando le altre 2 variabili come costanti.
Ricavare la forza F data la funzione potenziale U e' quindi un gioco da ragazzi. Il segno e' convenzionale: per come ho studiato io, potenziale U e forza F sono concordi. L'energia potenziale e' invece l'opposto del potenziale U.
Per completezza, riporto anche l'operazione inversa, che e' leggermente piu' complessa. E cioe': data la forza $F(x,y,z)$, trovare il potenziale U associato.
Supponiamo che la forza F sia $vecF=(6xy+z^3,3x^2+z,y+3xz^2)$. La prima cosa da verificare e' se questa forza ammette potenziale, e cioe' se e' conservativa. Si dimostra, con un teorema di cui ora non son certo del nome, mi pare Schwarz, che, perche' esista un potenziale, devono essere vericate le seguenti condizioni:
$(partialF_x)/(partial y)=(partialF_y)/(partial x)$
$(partialF_y)/(partial z)=(partialF_z)/(partial y)$
$(partialF_z)/(partial x)=(partialF_x)/(partial z)$
Verifico la prima:
$(partialF_x)/(partial y)=6x$
$(partialF_y)/(partial x)=6x$
le altre le lascio per esercizio, tanto sono certo che soddisferanno (perche'?.....)
Per trovare la funzione potenziale, dato che ora son certo della conservativita' della forza $vecF$, posso integrare $U=intvecFdvec(s)=intF_xdx+F_ydy+F_zdz$ lungo un percorso qualsiasi.
Per semplicita, mi scelgo il seguente percorso:
da O, origine, al punto $(x,0,0)$, in pratica muovendomi lungo x. Poi, tenute costanti x e z, spostandomi lungo y, mi porto al punto $(x,y,0)$. Infine da $(x,y,0)$ mantenendo x, e y costanti mi "alzo" fino a $(x,y,z)$
Quindi si tratta di calcolare l'integrale del percorso spezzato, tenendo presente che sul primo tratto $dy=dz=0$ quindi l'integrale diventa $intF_xdx$. Sul secondo tratto, $dx=dz=0$, quindi si calcola solo $intF_ydy$ e sul terzo tratto, $dx=dy=0$ quindi si tratta di calcolare $intF_zdz$.
Sul primo tratto, y=z=0, quindi $F_x=0$ e dunque $intF_xdx$=0
Sul secondo tratto, x resta costante ed e' x, e $z=0$, quindi $F_y=3x^2$ e dunque $intF_ydy=3x^2y$
Sul terzo tratto, x e y restano costanti e dunque $F_z=y+3xz^2$ e dunque $intF_zdz=yz+xz^3$
La somma mi da proprio $U=0+3x^2y+yz+xz^3$, a meno di una costante arbitraria C, che e' proprio la funzione da cui eravamo partiti per calcolare $vecF$
Il calcolo del potenziale U, sebbene un po' complesso, semplifica tantissimo tutti quegli esercizi dove e' richiesto di calcolare il lavoro fra punti diversi: anziche calcolare i singoli lavori per ogni percorso, si sgobba un po' a determinare il potenziale delle forze, e dopo, con il semplicissimo calcolo di $DeltaU$ e' velocissimo calcolare il lavoro tra i punti richiesti.
Scusate il lungo post ed eventuali ripetizioni, ho scritto il post in 2 giorni.
Se si ha una funzione di una variabile, e' noto che la derivata e' il limite del rapporto incrementale in quel punto, ovvero la pendenza della curva nel punto dato. Il concetto e' semplice, perche ci si puo' "muovere" sulla curva lungo un'unica direzione.
Una funzione di piu variabili, essendo una superficie, presenta infinite derivate in un punto, perche da quel punto mi posso "muovere" in infinite direzioni. Per esempio, se avessi la funzione che rappresenta una collina, potrei muovermi da quel punto dritto verso la cima (e avrei una certa pendenza). Oppure scegliere di muovermi lungo dei "tornanti" affrontando pendenze diverse.
Il gradiente mi indica quali sono le pendenze lungo 3 direzioni stabilite: nel caso di coordinate cartesiane, mi dice quali sono le pendenze lungo ognuno degli assi x, y, e z infischiandosene di come varia la pendenza lungo gli altri 2 assi.
Il gradiente (nabla) e' un vettore di coordinate $((partial)/(partial x),(partial)/(partial y),(partial)/(partial z))$.
Operativamente, e in termini semplici, si tratta di derivare la variabile multifunzionale rispetto ad ogni variabile indipendente, trascurando le altre 2, ovvero trattandole come se fossero costanti.
Facciamo un esempio: se la funzione potenziale e' $U=3x^2y+yz+xz^3$, allora cerchiamo il vettore:
$vecF=vec(nabla)*U$
Eseguendo il prodotto scalare a secondo membro, si ha $vecF=( (partialU)/(partial x) ,(partialU)/(partial y),(partialU)/(partial z))$
Il calcolo delle 3 componenti e' banale se si conoscono le basi delle regole di derivazione: in questo caso
$(partialU)/(partial x)=6xy+z^3$
$(partialU)/(partial y)=3x^2+z$
$(partialU)/(partial z)=y+3xz^2$
Non ho fatto altro che derivare per x, y e z, trattando le altre 2 variabili come costanti.
Ricavare la forza F data la funzione potenziale U e' quindi un gioco da ragazzi. Il segno e' convenzionale: per come ho studiato io, potenziale U e forza F sono concordi. L'energia potenziale e' invece l'opposto del potenziale U.
Per completezza, riporto anche l'operazione inversa, che e' leggermente piu' complessa. E cioe': data la forza $F(x,y,z)$, trovare il potenziale U associato.
Supponiamo che la forza F sia $vecF=(6xy+z^3,3x^2+z,y+3xz^2)$. La prima cosa da verificare e' se questa forza ammette potenziale, e cioe' se e' conservativa. Si dimostra, con un teorema di cui ora non son certo del nome, mi pare Schwarz, che, perche' esista un potenziale, devono essere vericate le seguenti condizioni:
$(partialF_x)/(partial y)=(partialF_y)/(partial x)$
$(partialF_y)/(partial z)=(partialF_z)/(partial y)$
$(partialF_z)/(partial x)=(partialF_x)/(partial z)$
Verifico la prima:
$(partialF_x)/(partial y)=6x$
$(partialF_y)/(partial x)=6x$
le altre le lascio per esercizio, tanto sono certo che soddisferanno (perche'?.....)
Per trovare la funzione potenziale, dato che ora son certo della conservativita' della forza $vecF$, posso integrare $U=intvecFdvec(s)=intF_xdx+F_ydy+F_zdz$ lungo un percorso qualsiasi.
Per semplicita, mi scelgo il seguente percorso:
da O, origine, al punto $(x,0,0)$, in pratica muovendomi lungo x. Poi, tenute costanti x e z, spostandomi lungo y, mi porto al punto $(x,y,0)$. Infine da $(x,y,0)$ mantenendo x, e y costanti mi "alzo" fino a $(x,y,z)$
Quindi si tratta di calcolare l'integrale del percorso spezzato, tenendo presente che sul primo tratto $dy=dz=0$ quindi l'integrale diventa $intF_xdx$. Sul secondo tratto, $dx=dz=0$, quindi si calcola solo $intF_ydy$ e sul terzo tratto, $dx=dy=0$ quindi si tratta di calcolare $intF_zdz$.
Sul primo tratto, y=z=0, quindi $F_x=0$ e dunque $intF_xdx$=0
Sul secondo tratto, x resta costante ed e' x, e $z=0$, quindi $F_y=3x^2$ e dunque $intF_ydy=3x^2y$
Sul terzo tratto, x e y restano costanti e dunque $F_z=y+3xz^2$ e dunque $intF_zdz=yz+xz^3$
La somma mi da proprio $U=0+3x^2y+yz+xz^3$, a meno di una costante arbitraria C, che e' proprio la funzione da cui eravamo partiti per calcolare $vecF$
Il calcolo del potenziale U, sebbene un po' complesso, semplifica tantissimo tutti quegli esercizi dove e' richiesto di calcolare il lavoro fra punti diversi: anziche calcolare i singoli lavori per ogni percorso, si sgobba un po' a determinare il potenziale delle forze, e dopo, con il semplicissimo calcolo di $DeltaU$ e' velocissimo calcolare il lavoro tra i punti richiesti.
Scusate il lungo post ed eventuali ripetizioni, ho scritto il post in 2 giorni.
Grazie, ho capito a grandi linee come funziona. Non mi sono mai capitati casi del genere (neppure in un esempio) in ogni caso e dubito fortemente che mi possano capitare all'esame, ma almeno ho un concetto più generale della situazione
"fender97":
Grazie, ho capito a grandi linee come funziona. Non mi sono mai capitati casi del genere (neppure in un esempio) in ogni caso e dubito fortemente che mi possano capitare all'esame, ma almeno ho un concetto più generale della situazione
Continua ad essere motivo di grande perplessita' per me...
Beh se non hai fatto elettromagnetismo o analisi 2 è normale che del gradiente non ne abbia sentito parlare o usato, il fatto è che appunto chi ha posto la domanda si trova in uno stadio abbastanza inoltrato dell'elettromagnetismo (dalle precedenti domande smbra che abbia praticamente già trattato le equazioni di Maxwell, almeno per quanto riguarda magnetostatica e elettrostatica), e questa lacuna è abbastanza grave e immotivata...forse ha "lasciato" analisi 2 da dare dopo fisica 2...
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