Sfere metalliche
Su una sfera metallica isolata di raggio R1 = 10 cm il potenziale vale 900 V. Determinare: i) il potenziale alle distanze dal centro della sfera RA = 6 cm e RB = 20 cm e il campo elettrico sulla superficie della sfera. Disegnare il grafico del campo elettrico e del potenziale in funzione della distanza r dal centro della sfera. Si consideri successivamente una seconda sfera conduttrice, inizialmente scarica, molto distante dalla prima (vedi Figura 2). La seconda ha un raggio R2 doppio rispetto alla prima. Le due sfere vengono collegate con un lungo cavo sottile metallico e successivamente scollegate. ii) Determinare le cariche finali Q1’ e Q2’ sulle due sfere
Io so che \( V(R1) - V(\infty ) = \int_{R1}^{\infty } Q/4\pi \varepsilon or^2\, dr = Q/4\pi \varepsilon oR1 \) da cui mi calcolo la carica Q.
La carica è uguale a \( Q = \rho 4\pi R1^3/3 \) da cui mi calcolo \( \rho \) .
Adesso con il teorema di Gauss vado a calcolarmi campo elettrico interno ed esterno:
\( r < R1 \) avrò \( E = \rho r/3\varepsilon o \)
\( r > R1 \) avrò \( E = \rho R1^3/3\varepsilon or^2 \).
Quindi mi calcolo \( V(RA)- V(\infty ) = \int_{RA}^{\infty } \rho r/3\varepsilon o\, dr = \rho RA^2/6\varepsilon o \) e
\( V(RB)- V(\infty ) = \int_{RB}^{\infty } \rho R1^3/3\varepsilon 0r^2 dr = \rho R1^3/3\varepsilon oRB \)
giusto?
Io so che \( V(R1) - V(\infty ) = \int_{R1}^{\infty } Q/4\pi \varepsilon or^2\, dr = Q/4\pi \varepsilon oR1 \) da cui mi calcolo la carica Q.
La carica è uguale a \( Q = \rho 4\pi R1^3/3 \) da cui mi calcolo \( \rho \) .
Adesso con il teorema di Gauss vado a calcolarmi campo elettrico interno ed esterno:
\( r < R1 \) avrò \( E = \rho r/3\varepsilon o \)
\( r > R1 \) avrò \( E = \rho R1^3/3\varepsilon or^2 \).
Quindi mi calcolo \( V(RA)- V(\infty ) = \int_{RA}^{\infty } \rho r/3\varepsilon o\, dr = \rho RA^2/6\varepsilon o \) e
\( V(RB)- V(\infty ) = \int_{RB}^{\infty } \rho R1^3/3\varepsilon 0r^2 dr = \rho R1^3/3\varepsilon oRB \)
giusto?
Risposte
"giuggiole":
Io so che \( V(R1) - V(\infty ) = \int_{R1}^{\infty } Q/4\pi \varepsilon or^2\, dr = Q/4\pi \varepsilon oR1 \) da cui mi calcolo la carica Q.
Va bene
La carica è uguale a \( Q = \rho 4\pi R1^3/3 \) da cui mi calcolo \( \rho \) .
Ma no. La carica è solo superficiale, e comunque non ti serve calcolare $rho$
Adesso con il teorema di Gauss vado a calcolarmi campo elettrico interno ed esterno:
\( r < R1 \) avrò \( E = \rho r/3\varepsilon o \)
\( r > R1 \) avrò \( E = \rho R1^3/3\varepsilon or^2 \).
Il campo interno è zero, quello esterno è $1/(4piepsi_0)Q/r^2$
Quindi mi calcolo \( V(RA)- V(\infty ) = \int_{RA}^{\infty } \rho r/3\varepsilon o\, dr = \rho RA^2/6\varepsilon o \)
V(RA) = al potenziale sulla superficie, 900V
e
\( V(RB)- V(\infty ) = \int_{RB}^{\infty } \rho R1^3/3\varepsilon 0r^2 dr = \rho R1^3/3\varepsilon oRB \)
Il potenziale V(RB) è semplicemente la metà di 900: il potenziale va come 1/R
giusto?
Mica tanto...
Va bene, grazie per l'aiuto
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