Sfere, gusci d'amianto e irraggiamento

[Leocap9999]

L'esercizio 5 in questa pagina mi sta dando non pochi problemi.

Innanzitutto sono partito da questa formula:

$ \DeltaT = l/(kA)Q/(\Deltat) $

(con $l$ che sta per lo spessore del guscio, $A$ per la superficie e $k$ per il coefficiente di conducibilità termica dell'amianto)
Poi ho provato a intraprendere due strade, entrambe rivelatesi fallimentari.
Come primo tentativo ho posto

$ Q/(\Deltat) = (E_1 - E_2)/(\Deltat) $

(indicando con $E_1$ l'energia irraggiata dalla superficie interna del guscio e con $E_2$ quella irraggiata dalla sfera)
Il risultato che però ottengo in questo modo è ben lontano da quello presente sul libro che possiedo.
Perciò ho preso un'altra via: considerando che la temperatura della sfera non varia, ho immaginato che tutta l'energia irraggiata venga assorbita dal guscio; poiché neanche la temperatura della superficie interna aumenta, ho posto semplicemente

$ Q/(\Deltat) = (E_2)/(\Deltat) $

Tuttavia anche in questo modo ottengo un risultato sbagliato.
Qualcuno potrebbe spiegarmi il procedimento corretto, dando un ordine alle mie idee piuttosto confuse sull'argomento?

[Faussone]

Scusa, ma ci vuole tanto a copiare il testo?
Quando si può evitare è meglio non mettere foto o link esterni, in modo che sia più facile, anche in futuro, leggere la discussione...

Copio e incollo il testo (tempo speso meno di un minuto).

Una sfera (emissività = 0:90; raggio $r_1$ ) viene posta al centro di un guscio sferico di amianto (raggio esterno $r_2$; spessore = 0.1cm; coefficiente di conducibilità termica = 0.09 W / m / K). Lo spessore del guscio è piccolo rispetto sia al suo raggio interno sia a quello esterno. La temperatura della sfera è di 800°C, mentre quella della superficie interna del guscio è di 600°C, ed entrambe vengono mantenute costanti. Supponi che sia $r_2/r_1=10$ e sia trascurabile l'aria all'interno del guscio. Calcola la temperatura della superficie esterna del guscio.

Devi calcolare la potenza termica che dalla sfera viene trasmessa per irraggiamento al guscio di amianto, questo puoi farlo visto che conosci le temperature delle due sorgenti e l'emissività e che sai che c'è il vuoto dentro il guscio di amianto.
Fatto ciò devi imporre che la potenza trasmessa dal guscio d'amianto all'esterno per conduzione sia pari a quella che gli arriva per irraggiamento, visto che siamo in condizioni stazionarie.

[Leocap9999]

Innanzitutto mi scuso, effettivamente copiare il testo avrebbe reso più facile la consultazione.
Tornando al problema: dunque tu mi stai dicendo che prima devo calcolare la potenza trasmessa per irraggiamento della sfera e poi porla uguale a quella ceduta per conduzione, ma allora la formula che ho impostato ($Q/(\Deltat) = E/(\Deltat)$) è giusta?

[Faussone]

Quella formula non la capisco, dovresti prima scrivere la potenza (per unità di superficie se vuoi) trasmessa per irraggiamento in funzione delle temperature della sfera, del guscio interno e dell'emissività, e poi porla uguale alla potenza trasmessa per conduzione dal guscio vero l'esterno in funzione della conducibilità termica, della temperatura interna e di quella esterna del guscio.

[Leocap9999]

Per quanto riguarda la formula di sopra, avevo posto:

$ Q/(\Deltat) = k_a\DeltaTA_g/l $

($ Q/(\Deltat)$ rappresenta la potenza trasmessa per conduzione, inoltre da questa formula ho ricavato quella inversa nel primo messaggio)

$ E/(\Deltat) = e\sigmaA_sT^4 $

(con $ E/(\Deltat)$ che sta per la potenza trasmessa per irraggiamento dalla sfera)

Dunque avrei ottenuto:

$\DeltaT = l/(k_aA_g)Q/(\Deltat) $

$\DeltaT = l/(k_aA_g)E/(\Deltat) $

$\DeltaT = l/(k_aA_g)e\sigmaA_sT^4 $

$ T_e = T_i - l/(k_aA_g)e\sigmaA_sT^4 $

[Faussone]

Anche il guscio di amianto irraggia verso la sfera, per cui va considerata anche la sua temperatura per calcolare il suo irraggiamento e quindi infine l'irraggiamento netto verso il guscio.
Inoltre perché usare il simbolo $Delta t$? Basta che ti riferisci a potenze, puoi usare i simboli $dot Q$ e $dot E$ che si indicano di solito per le potenze.

[Leocap9999]

Nel mio libro di testo $Q$ ed $E$ sono utilizzati per indicare l'energia, non la potenza (comunque l'errore non mi sorprende, considerate altre imprecisioni presenti).

All'irraggiamento netto ero ricorso la prima volta, però, secondo i calcoli, l'irraggiamento verso la sfera sarebbe (enromemente) superiore a quello verso il guscio, infatti:

$E_g = 5,67*10^(-8)*0,96*873,15^4*400\pir^2 = 4*10^7r^2 $

$E_s = 5,67*10^(-8)*0,9*1073,15^4*4\pir^2 = 8,5*10^5r^2 $

Dove ho sbagliato?

[Faussone]

Io ho usato $dot Q$ e $dot E$ (col punto sopra), che si intendono come derivate dell'energia rispetto al tempo, cioè sono potenze.

Della potenza emessa dal guscio solo una frazione piccola viene assorbita dalla sfera la maggior parte torna sul guscio stesso.... Quindi tenendo conto di questo prova a determinare la potenza netta che alla fine entra nel guscio e deve uscire da questo per conduzione (per inciso sto provando a farti riflettere sulle formule, così come sto facendo io, visto che non maneggio tutti i giorni il concetto di irraggiamento).

[alcaciopo1]

Ma in definitiva...come si risolve questo esercizio?
Lo sto affrontando anche io e non so come fare.
Ci vuole un volontario che non dia suggerimenti ma scriva tutto lo svolgimento.
Grazie

[Faussone]

"alcaciopo":Ma in definitiva...come si risolve questo esercizio?
Lo sto affrontando anche io e non so come fare.
Ci vuole un volontario che non dia suggerimenti ma scriva tutto lo svolgimento.
Grazie

Premesso che non vedo questo esercizio da un anno, e che devo rifletterci con calma (non sono concetti che maneggio spesso), comunque ammesso che io o qualcun'altro trovi il tempo e che lo sappia risolvere tutto non va riportata la soluzione dall'inizio alla fine, senza che l'altra parte non abbia provato prima a ragionare ed a scrivere una soluzione con gli input dati.

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