Sfere cariche appese a corde di uguale lunghezza

[stefano.balzarotti]

Ho qualche difficoltà a risolvere questo problema, nel senso che mi vengono calcoli assurdi, invece la soluzione dovrebbe essere molto semplice:

Due piccole sfere, cariche positivamente con cariche \(\displaystyle q_1 \) e \(\displaystyle q_2 \), sono appese a due corde di uguale lunghezza l che formano due piccoli angoli \(\displaystyle \theta_1 \) e \(\displaystyle \theta_2 \) con la verticale-
Determinare il valore di \(\displaystyle \theta_1 \) e \(\displaystyle \theta_2 \), sapendo che le due sferette hanno massa \(\displaystyle m_1 \) ed \(\displaystyle m_2 \).

Ho proceduto in questo modo:

\(\displaystyle d= \sqrt{2l^2[1-cos(\theta_1 + \theta_2)]} \)Distanza tra le due cariche

\(\displaystyle F_C=k \frac{q_1q_2}{d^2} \) Forza di Coulomb
\(\displaystyle F_{CX} = cos(\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2)F_C \) componente x
\(\displaystyle F_{CY} = sin(\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2)F_C \) componente y

Forza peso:
\(\displaystyle F_{P1} = m_1g \)
\(\displaystyle F_{P2} = m_2g \)

Tensione:
\(\displaystyle T_{1X} = sin(\theta_1)T_1 \)
\(\displaystyle T_{1Y} = cos(\theta_1)T_1 \)

\(\displaystyle T_{2X} = sin(\theta_2)T_2 \)
\(\displaystyle T_{2Y} = cos(\theta_2)T_2 \)

A questo punto ho messo tutto a sistema:
\(\displaystyle T_{1X} - F_{CX} = 0 \)
\(\displaystyle F_{CX} - T_{2X} = 0 \)
da cui
\(\displaystyle T_{1X} = T_{2X} \)

e supponendo \(\displaystyle \theta_1 \) > \(\displaystyle \theta_2
\)
\(\displaystyle F_{P1} +F_{CY} - T_{1Y} = 0 \)
\(\displaystyle F_{P2} - F_{CY} - T_{2Y} = 0 \)

Da qui mi sono reso conto che ammesso di non aver sbagliato i calcoli, proseguire diventa troppo complesso.
Avete qualche suggerimento?

Grazie.

[mgrau]

Il fatto che ti dice che gli angoli sono piccoli significa che sei autorizzato a porre $sin theta = theta$.
La distanza fra le due cariche diventa $l( sin theta_1 + sin theta_2 ) = l (theta_1 + theta_2)$

[stefano.balzarotti]

Grazie, non ci avevo pensato, così è decisamente più semplice.

mhm , però c'è ancora qualcosa che non mi torna, mi chiedo se si può semplificare ancora qualcosa:

\(\displaystyle d= l [sin(\theta_1) + sin(\theta_2)] \simeq l (\theta_1 + \theta_2) \)
\(\displaystyle F_{CX} = cos(\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2) F_C \simeq [1-\frac{(\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2)^2}{2}] F_C \)

\(\displaystyle F_{CY} = sin(\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2)F_C \simeq (\frac{1}{2}\theta_1 - \frac{1}{2}\theta_2)F_C \)

\(\displaystyle T_{1X} = sin(\theta_1)T_1 \simeq \theta_1 T_1 \)
\(\displaystyle T_{1Y} = cos(\theta_1)T_1 \simeq (1-\frac{\theta_1^2}{2}) T_1 \)

\(\displaystyle T_{2X} = sin(\theta_2)T_2 \simeq \theta_2 T_2 \)
\(\displaystyle T_{2Y} = cos(\theta_2)T_2 \simeq (1-\frac{\theta_2^2}{2}) T_2 \)

Magari conviene considerare la forza di coulomb agente solo in orizzontale, dato che la componente tende a zero o comunque approssimare il coseno a 1.
Oppure sto sbagliando il procedimento?