Sfera in un fluido
Mi sono imbattuta in questo problema:
Un recipiente contenete acqua viene spinto verso l’alto, mediante un’opportuna forza, con accelerazione costante A , di modulo pari ad un quarto dell’accelerazione di gravità. All’interno del recipiente si trova una sferetta di volume V = \(\ 4 cm^3 \) e densità sconosciuta ρ, collegata al fondo del recipiente mediante un filo in estensibile di massa trascurabile.
Sappiamo che la tensione del filo, durante il moto del recipiente, vale \(\ 4 *10^{-2} N \)
1) Quanto vale la densità della sferetta?
Ad un certo istante il filo si spezza.
2) Se l’accelerazione del recipiente rimane invariata, calcolare l’accelerazione della sferetta relativa al recipiente
subito dopo la rottura del filo.
Io ho considerato le forze espresse in figura, è corretto?
Sapendo che il volume è \(\ 4 cm^3 \) e che la densità dell'acqua è \(\ 1 g/cm^3 \) troviamo la massa d'acqua spostata dalla sfera che è \(\ M=4 g= 4*10^{-3} kg \), quindi la forza di archimede agente sul corpo è \(\ F_{A}=4*10^{-3} N \), poi esprimiamo la massa della sfera in funzione della densità \(\ m=ρ*4 cm^3= ρ*4*10^{-6}m^3 \), in modo da trovare la forza peso \(\ P=mg=ρ*4*10^{-6}*g N \). Queste due forze agiscono sul corpo insieme alla tensione T e la loro somma è uguale alla forza totale in cui l'accelerazione è la stessa del recipiente, qui ho qualche dubbio: l'accelerazione assunta dalla sfera è diretta nello stesso verso del recipiente o in verso opposto?
Di conseguenza si dovrebbe avere:
\(\ F_{A}+T-P=m*A \) e quindi, essendo\(\ A=g/4 \), si ha \(\ 4*10^{-3} +4 *10^{-2}-ρ*4*10^{-6}*g= ρ*4*10^{-6}*{g/4} \) e poi si ricava la densità ρ.
Per il secondo punto si ha invece che, venuta a mancare la tensione della corda, agiscono sul corpo solo la spinta di archimede, la forza peso e la forza relativa all'accelerazione del recipiente, quindi dovrebbe essere:
\(\ F_{A}+m*A-P=m*a \) dove a è la nuova accelerazione cercata, che si ottiene quindi da:
\(\ a=(m*A+F_{A}-m*G)/{m} \) che sono ora tutti valori noti, quindi si può ricavare la a.
Spiegatemi tutti gli errori che ho fatto, perchè non sono molto sicura
Un recipiente contenete acqua viene spinto verso l’alto, mediante un’opportuna forza, con accelerazione costante A , di modulo pari ad un quarto dell’accelerazione di gravità. All’interno del recipiente si trova una sferetta di volume V = \(\ 4 cm^3 \) e densità sconosciuta ρ, collegata al fondo del recipiente mediante un filo in estensibile di massa trascurabile.
Sappiamo che la tensione del filo, durante il moto del recipiente, vale \(\ 4 *10^{-2} N \)
1) Quanto vale la densità della sferetta?
Ad un certo istante il filo si spezza.
2) Se l’accelerazione del recipiente rimane invariata, calcolare l’accelerazione della sferetta relativa al recipiente
subito dopo la rottura del filo.
Io ho considerato le forze espresse in figura, è corretto?
Sapendo che il volume è \(\ 4 cm^3 \) e che la densità dell'acqua è \(\ 1 g/cm^3 \) troviamo la massa d'acqua spostata dalla sfera che è \(\ M=4 g= 4*10^{-3} kg \), quindi la forza di archimede agente sul corpo è \(\ F_{A}=4*10^{-3} N \), poi esprimiamo la massa della sfera in funzione della densità \(\ m=ρ*4 cm^3= ρ*4*10^{-6}m^3 \), in modo da trovare la forza peso \(\ P=mg=ρ*4*10^{-6}*g N \). Queste due forze agiscono sul corpo insieme alla tensione T e la loro somma è uguale alla forza totale in cui l'accelerazione è la stessa del recipiente, qui ho qualche dubbio: l'accelerazione assunta dalla sfera è diretta nello stesso verso del recipiente o in verso opposto?
Di conseguenza si dovrebbe avere:
\(\ F_{A}+T-P=m*A \) e quindi, essendo\(\ A=g/4 \), si ha \(\ 4*10^{-3} +4 *10^{-2}-ρ*4*10^{-6}*g= ρ*4*10^{-6}*{g/4} \) e poi si ricava la densità ρ.
Per il secondo punto si ha invece che, venuta a mancare la tensione della corda, agiscono sul corpo solo la spinta di archimede, la forza peso e la forza relativa all'accelerazione del recipiente, quindi dovrebbe essere:
\(\ F_{A}+m*A-P=m*a \) dove a è la nuova accelerazione cercata, che si ottiene quindi da:
\(\ a=(m*A+F_{A}-m*G)/{m} \) che sono ora tutti valori noti, quindi si può ricavare la a.
Spiegatemi tutti gli errori che ho fatto, perchè non sono molto sicura
Risposte
la tensione è diretta verso il basso(il filo trattiene,non spinge)
1)$F_A-mg-T-mA=0$
2)$ma=F_A-mg-mA$
1)$F_A-mg-T-mA=0$
2)$ma=F_A-mg-mA$
Ok, vero, ma è possibile che così la densità sia negativa?
"Vienrose":
Ok, vero, ma è possibile che così la densità sia negativa?
ovviamente no
che ti posso dire,sarà sbagliato qualche dato
Intanto, la spinta di Archimede è uguale al peso del volume liquido spostato, cioè : $ F_A = \rhogV = 1*10^-3*9.81*4 N = 29.43 * 10^-3 N $ .
Chiedo venia, me n'ero accorta ma avevo dimenticato di correggere. Comunque i calcoli li avevo fatti correttamente, perchè sul foglio avevo scritto tutto correttamente, e ciò non toglie che la densità viene negativa.
Aspetta un attimo….ragioniamo prima nel caso statico. Se il filo è teso, vuol dire che nel caso statico la spinta archimedea equilibria peso più tensione, insomma senza il filo la sfera salirebbe a galla.
Nel caso dinamico, che succede? La tensione nel filo, rispetto al caso statico, aumenta o diminuisce? L'accelerazione verso l'alto equivale ad un aumento del peso apparente, come quando sei in un ascensore che accelera verso l'alto. Quindi la tensione nel filo diminuisce. Potrebbe addirittura annullarsi, per una adeguata accelerazione verso l'alto…
Ora scusami, ma sono stanchissimo, e chiudo.
Nel caso dinamico, che succede? La tensione nel filo, rispetto al caso statico, aumenta o diminuisce? L'accelerazione verso l'alto equivale ad un aumento del peso apparente, come quando sei in un ascensore che accelera verso l'alto. Quindi la tensione nel filo diminuisce. Potrebbe addirittura annullarsi, per una adeguata accelerazione verso l'alto…
Ora scusami, ma sono stanchissimo, e chiudo.
Si, ma la tensione data dal testo del problema è quella che si ha durante il moto del recipiente, quindi si suppone che non si annulli.
Certo, il che vuol dire che la tensione si è solo alleggerita rispetto al caso statico,non annullata. La sferetta è accelerata nello stesso verso del recipiente.
Mi sono accorto di un errore di calcolo, scusa.
Risulta : $F_A = 39.24 * 10^-3 = 3.924 *10^-2 N $ .
Questo valore è molto prossimo a quello di $T$ . Comunque, questo è il valore della spinta nel caso statico….
Secondo me stiamo sbagliando qualche ragionamento…. Bisogna pensare di più e meglio ….!
Non intendo indurti in errore, quindi la soluzione deve essere chiara.
La sfera è in una situazione di equilibrio relativo in un fluido accelerato…C'è una forza di inerzia che agisce sia sul liquido che sulla sfera.
Mi sono accorto di un errore di calcolo, scusa.
Risulta : $F_A = 39.24 * 10^-3 = 3.924 *10^-2 N $ .Questo valore è molto prossimo a quello di $T$ . Comunque, questo è il valore della spinta nel caso statico….
Secondo me stiamo sbagliando qualche ragionamento…. Bisogna pensare di più e meglio ….!
Non intendo indurti in errore, quindi la soluzione deve essere chiara.
La sfera è in una situazione di equilibrio relativo in un fluido accelerato…C'è una forza di inerzia che agisce sia sul liquido che sulla sfera.
"navigatore":
C'è una forza di inerzia che agisce sia sul liquido che sulla sfera.
giusto
,mi era sfuggita quella sul liquidoquesto fa sì che la pressione dell'acqua sia maggiore, con un conseguente aumento della spinta di Archimede
$F_A=rhoV(g+A)$
Ecco, mi sembra giusto!
Ecco, mi sembra giusto!
Giusto, adesso mi è chiaro l'errore! Grazie 
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