Sfera immersa - SNS
Una sfera di raggio $r=10 cm$ galleggia con il suo centro alla stessa altezza della superficie dell'acqua. La stessa sfera viene immersa in un liquido diverso e si osserva che all'equilibrio il centro della sfera si trova $2 mm$ sotto il livello della superficie. Si determini la densità del liquido.
Credo che tutto il problema stia nel calcolare il volume immerso della sfera nel secondo caso; una volta che so quello posso scrivere la solita equazione della spinta d'Archimede e del peso della sfera. Il volume immerso della sfera è pari a metà volume della sfera + il "tronco di sfera" di altezza $2 mm$. Come lo calcolo? Grazie!
Credo che tutto il problema stia nel calcolare il volume immerso della sfera nel secondo caso; una volta che so quello posso scrivere la solita equazione della spinta d'Archimede e del peso della sfera. Il volume immerso della sfera è pari a metà volume della sfera + il "tronco di sfera" di altezza $2 mm$. Come lo calcolo? Grazie!
Risposte
Al I ordine puoi "trascurare" la curvatura e considerare la parte aggiuntiva immersa come un disco di raggio $r$ e spessore $d = 2 mm$...
In che senso, "al I ordine"?
vuol dire che 2mm rispetto a 10cm sono poca cosa: considerando che la "fetta" da considerare in più è al "centro", puoi calcolare il volume in più con buona approssimazione come se fosse quello di un cilindro con base di raggio 10cm e altezza 2mm.
comunque una formula esiste, ma siccome io odio ricordare formule a memoria, ti invito a ricavartela attraverso il principio di Cavalieri:
se consideri un cilindro di raggio R e altezza R, una semisfera di raggio R, un cono di raggio R e altezza R, e disponi questi tre solidi tra due piani paralleli avendo cura di di mettere la semisfera ed il cono in maniera tale che le basi siano sui piani parelleli opposti, ogni piano parallelo ai precedenti taglia i tre solidi in maniera tale che la sezione del cilindro è equivalente alla "somma" delle sezioni del cono e della semisfera.
quindi il volume del segmento sferico (parte che devi calcolare, "dischetto" immerso in più oltre alla semisfera) si può calcolare facendo la sottrazione tra il volume di un cilindro di raggio 10cm e altezza 2mm e il volume di un cono con raggio di base e altezza entrambi di 2mm.
vedi quant'è piccola la parte che rigorosamente dovresti togliere al dischetto cilindrico?
ciao.
comunque una formula esiste, ma siccome io odio ricordare formule a memoria, ti invito a ricavartela attraverso il principio di Cavalieri:
se consideri un cilindro di raggio R e altezza R, una semisfera di raggio R, un cono di raggio R e altezza R, e disponi questi tre solidi tra due piani paralleli avendo cura di di mettere la semisfera ed il cono in maniera tale che le basi siano sui piani parelleli opposti, ogni piano parallelo ai precedenti taglia i tre solidi in maniera tale che la sezione del cilindro è equivalente alla "somma" delle sezioni del cono e della semisfera.
quindi il volume del segmento sferico (parte che devi calcolare, "dischetto" immerso in più oltre alla semisfera) si può calcolare facendo la sottrazione tra il volume di un cilindro di raggio 10cm e altezza 2mm e il volume di un cono con raggio di base e altezza entrambi di 2mm.
vedi quant'è piccola la parte che rigorosamente dovresti togliere al dischetto cilindrico?
ciao.
Quindi è semplicemente possibile approssimare.. bene bene.. Grazie mille!
Approssimare è sicuramente possibile, bisogna vedere se è richiesto...
A me sembra ragionevole, a meno che uno non voglia fare un esercizio di analisi (più che di fisica)
A me sembra ragionevole, a meno che uno non voglia fare un esercizio di analisi (più che di fisica)
Volendo fare il conto esatto per la porzione ulteriore di sfera bisogna, ponendo $\alpha = \arcsin(d/R)$ dove $d=2$ mm ed $R=10$ cm, calcolare il seguente integrale $\int_0^r\int_{\pi/2}^{pi/2+\alpha}\int_0^{2\pi}r^2\sin\theta d\phi d\theta dr = 2/3 d/R \pi R^3$, a meno di errori.
con il principio di Cavalieri viene semplicemente così (lascio R e d come indicato da Eredir):
$V=2/3 pi R^3+pi R^2 d-1/3 pi d^3$
secondo la formula che avevo scritto nel post precedente.
perché scomodare gli integrali?
ciao.
$V=2/3 pi R^3+pi R^2 d-1/3 pi d^3$
secondo la formula che avevo scritto nel post precedente.
perché scomodare gli integrali?
ciao.
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