Sfera dielettrica
in una sfera di raggio R di materiale dielettrico di costante dielettrica relativa $ ε_r $ , è uniformemente distribuita una carica $ Q $ . la superficie esterna della sfera è ricoperta da un sottile strato metallico collegato a terra. si chiede di calcolare il campo elettrico in funzione della distanza.
il libro scrive, per 0
1) $ Φ(D)=4pir^2D=Q_{lib}(r) $
2) $ rho_{lib}=Q/{4/3piR^3) $
mettendole assieme: $ D=(Qr)/{4piR^3) $
vi chiedo gentilmente se potete spiegarmi perchè è necessario scrivere anche la 2° equazione e non fermarsi semplicemente alla 1°. e inoltre il passaggio algebrico per arrivare all'ultima formula scritta non mi è chiaro
il libro scrive, per 0
1) $ Φ(D)=4pir^2D=Q_{lib}(r) $
2) $ rho_{lib}=Q/{4/3piR^3) $
mettendole assieme: $ D=(Qr)/{4piR^3) $
vi chiedo gentilmente se potete spiegarmi perchè è necessario scrivere anche la 2° equazione e non fermarsi semplicemente alla 1°. e inoltre il passaggio algebrico per arrivare all'ultima formula scritta non mi è chiaro
Risposte
Ciao @itisscience !
Comincio invitandoti a prendere molto con le molle ciò che sto per dire ed attendere conferme da utenti più esperti di me, dato che sull'elettromagnetismo sono un bel po' arrugginito. Ad ogni modo provo a rispondere alla tua domanda.
Sicuramente avrai notato che per calcolare il flusso il libro ha scelto una superficie gaussiana sferica, molto comoda, giungendo a $Phi(vec(D))=4pir^2D$ e questo flusso, per il teorema di Gauss, è anche pari a $Q_(\text{int})$, per cui possiamo scrivere $Phi(vec(D))=4pir^2D=Q_(\text{int})$. Ora, data la densità volumica di carica costante all'interno della sfera, abbiamo anche che $Q_(TOT)=rho4/3piR^3$; attenzione ! Nella prima espressione la carica era quella interna alla superficie gaussiana, mentre nella seconda, quella per $rho$, la carica è quella totale all'interno della sfera. Ora, eguagliando le due generiche espressioni per la carica in un punto interno alla sfera a distanza r dal centro della stessa si ha: $4pir^2D(r)=Q(r)=rho4/3pir^3$; nota che ora ho usato, in entrambe le espressioni, $r$ minuscolo, perché sono in un punto generico e la densità è costante in tutta la sfera. Dall'espressione scritta segue che: $D(r)=(rhor)/3$, ma $rho=(3Q_(TOT))/(4piR^3)$ ricavandola dall'espressione di $Q_(TOT)$ scritta sopra, per cui si ha: $D(r)=((3Q_(TOT))/(4piR^3)r)/3=(Q_(TOT)*r)/(4piR^3)$.
Per rispondere alla tua seconda domanda: è vero che puoi ricavarti l'espressione di $D$ anche dalla prima equazione, tuttavia credo sia necessaria la seconda perché vogliamo trovare un'espressione di $D$ in funzione dei dati forniti ed il problema non ci dà la $Q(r)$ che compare nel flusso, ma la $Q_(TOT)$, per cui, se ricavassi $D$ solo dalla prima espressione, avresti comunque un dato incognito ($Q(r)$). Come scritto sopra, fai attenzione a quale carica stai considerando di volta in volta (quella totale nella sfera o quella contenuta nella generica superficie gaussiana).
Spero di essere stato chiaro. In caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
P.S. Posso sapere, per curiosità personale, da che testo/dispensa/etc... è tratto questo esercizio ? Grazie !
Comincio invitandoti a prendere molto con le molle ciò che sto per dire ed attendere conferme da utenti più esperti di me, dato che sull'elettromagnetismo sono un bel po' arrugginito. Ad ogni modo provo a rispondere alla tua domanda.
Sicuramente avrai notato che per calcolare il flusso il libro ha scelto una superficie gaussiana sferica, molto comoda, giungendo a $Phi(vec(D))=4pir^2D$ e questo flusso, per il teorema di Gauss, è anche pari a $Q_(\text{int})$, per cui possiamo scrivere $Phi(vec(D))=4pir^2D=Q_(\text{int})$. Ora, data la densità volumica di carica costante all'interno della sfera, abbiamo anche che $Q_(TOT)=rho4/3piR^3$; attenzione ! Nella prima espressione la carica era quella interna alla superficie gaussiana, mentre nella seconda, quella per $rho$, la carica è quella totale all'interno della sfera. Ora, eguagliando le due generiche espressioni per la carica in un punto interno alla sfera a distanza r dal centro della stessa si ha: $4pir^2D(r)=Q(r)=rho4/3pir^3$; nota che ora ho usato, in entrambe le espressioni, $r$ minuscolo, perché sono in un punto generico e la densità è costante in tutta la sfera. Dall'espressione scritta segue che: $D(r)=(rhor)/3$, ma $rho=(3Q_(TOT))/(4piR^3)$ ricavandola dall'espressione di $Q_(TOT)$ scritta sopra, per cui si ha: $D(r)=((3Q_(TOT))/(4piR^3)r)/3=(Q_(TOT)*r)/(4piR^3)$.
Per rispondere alla tua seconda domanda: è vero che puoi ricavarti l'espressione di $D$ anche dalla prima equazione, tuttavia credo sia necessaria la seconda perché vogliamo trovare un'espressione di $D$ in funzione dei dati forniti ed il problema non ci dà la $Q(r)$ che compare nel flusso, ma la $Q_(TOT)$, per cui, se ricavassi $D$ solo dalla prima espressione, avresti comunque un dato incognito ($Q(r)$). Come scritto sopra, fai attenzione a quale carica stai considerando di volta in volta (quella totale nella sfera o quella contenuta nella generica superficie gaussiana).
Spero di essere stato chiaro. In caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
P.S. Posso sapere, per curiosità personale, da che testo/dispensa/etc... è tratto questo esercizio ? Grazie !
capito, grazie mille. l'esercizio è tratto dal Longhi.
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