Sfera conduttrice e dipolo elettrico
Il seguente è un problema di accesso al quarto anno di Fisica della Scuola Normale Superiore di Pisa:
Un dipolo elettrico di intensit`a p `e posto all’interno di una sfera cava di
raggio R, in posizione eccentrica a una distanza a < R dal centro della
sfera; la sfera, assunta come perfettamente conduttrice, `e posta a potenziale
nulla, cioè a terra. Il dipolo punta in direzione radiale, e può essere
idealizzato come ideale, cioè puntiforme ma con intensità p non nulla.
Quanto vale il potenziale all’interno della sfera?
Io ho considerato il potenziale generato dal dipolo, che si scrive:
[tex]V(\vec r)=\frac{\vec r \cdot \vec p}{ |r|^3}[/tex], dove [tex]\vec r[/tex] è il vettore spiccato dal punto in cui si trova il dipolo elettrico.
Adesso sposto il riferimento al centro della sfera, mediante la trasformazione: [tex]\vec r +\vec a= \vec r'[/tex], ed il potenziale generato dal dipolo risulta essere adesso:
[tex]V(\vec r')= \frac{\vec r' \cdot \vec p - \vec a \cdot \vec p}{ |\vec r'-\vec a|^3}[/tex].
Ho interpretato l'informazione che la sfera fosse posta a potenziale nullo (a terra), imponendo che su di essa si generi una distribuzione di carica tale da generare un potenziale uguale e opposto a quello indotto dal potenziale sulla sua superficie. Sostituendo a [tex]\vec r'[/tex] il vettore che individua i punti sulla sfera, ovvero [tex]\vec R= R (sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta)[/tex], si trova che il potenziale generato sulla sfera vale:
[tex]V(\vec R)= \frac{ (R\,sin\theta\,cos\phi - a)\,p}{(R^2 +a^2-2\,\vec R \cdot \vec a)^\frac{3}{2}}[/tex]
Però adesso non so più come procedere. In linea di principio potrei trovare la distribuzione superficiale di carica partendo dal potenziale, e poi da questa determinare il potenziale generato all'interno della sfera. Fatemi sapere cosa ne pensate, spero in qualche buon suggerimento!
Un dipolo elettrico di intensit`a p `e posto all’interno di una sfera cava di
raggio R, in posizione eccentrica a una distanza a < R dal centro della
sfera; la sfera, assunta come perfettamente conduttrice, `e posta a potenziale
nulla, cioè a terra. Il dipolo punta in direzione radiale, e può essere
idealizzato come ideale, cioè puntiforme ma con intensità p non nulla.
Quanto vale il potenziale all’interno della sfera?
Io ho considerato il potenziale generato dal dipolo, che si scrive:
[tex]V(\vec r)=\frac{\vec r \cdot \vec p}{ |r|^3}[/tex], dove [tex]\vec r[/tex] è il vettore spiccato dal punto in cui si trova il dipolo elettrico.
Adesso sposto il riferimento al centro della sfera, mediante la trasformazione: [tex]\vec r +\vec a= \vec r'[/tex], ed il potenziale generato dal dipolo risulta essere adesso:
[tex]V(\vec r')= \frac{\vec r' \cdot \vec p - \vec a \cdot \vec p}{ |\vec r'-\vec a|^3}[/tex].
Ho interpretato l'informazione che la sfera fosse posta a potenziale nullo (a terra), imponendo che su di essa si generi una distribuzione di carica tale da generare un potenziale uguale e opposto a quello indotto dal potenziale sulla sua superficie. Sostituendo a [tex]\vec r'[/tex] il vettore che individua i punti sulla sfera, ovvero [tex]\vec R= R (sin\theta cos\phi, sin\theta sin\phi, cos\theta)[/tex], si trova che il potenziale generato sulla sfera vale:
[tex]V(\vec R)= \frac{ (R\,sin\theta\,cos\phi - a)\,p}{(R^2 +a^2-2\,\vec R \cdot \vec a)^\frac{3}{2}}[/tex]
Però adesso non so più come procedere. In linea di principio potrei trovare la distribuzione superficiale di carica partendo dal potenziale, e poi da questa determinare il potenziale generato all'interno della sfera. Fatemi sapere cosa ne pensate, spero in qualche buon suggerimento!
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