Sfera con densità di carica non uniforme
Potreste aiutarmi in questo problema?
Su una sfera di raggio R=10cm centrata nell’origine è distribuita simmetricamente rispetto all’asse Z una densità di carica $\sigma=\sigmao cos(\theta)$ con $sigmao=10nC/m^2$. Determinare il valore del campo elettrico nell’origine e della differenza di potenziale fra l’origine e un punto all’infinito.
ho provato a integrare $ dq=sigma 2piR sin(theta) R d(theta)$ma l integrale mi viene nullo.
Su una sfera di raggio R=10cm centrata nell’origine è distribuita simmetricamente rispetto all’asse Z una densità di carica $\sigma=\sigmao cos(\theta)$ con $sigmao=10nC/m^2$. Determinare il valore del campo elettrico nell’origine e della differenza di potenziale fra l’origine e un punto all’infinito.
ho provato a integrare $ dq=sigma 2piR sin(theta) R d(theta)$ma l integrale mi viene nullo.
Risposte
Magari è proprio quello che deve essere? Vista la simmetria direi di sì. Se non ricordo male questo problema nel modo più generale richiede i polinomi di Legendre per ricavare il potenziale dentro e fuori la sfera infatti non te lo chiede, ma ti chiede solo alcuni punti. Ma non sono proprio sicuro che si possa rispondere in modo certo senza passare dalla soluzione dell'equazione di Laplace. Certo potresti ricavare qualche condizione, ad esempio sai che il potenziale sarà continuo ma il campo elettrico no. Sai anche che il potenziale dovrà tendere a zero per $r$ che va a infinito. Se invece conosci i polinomi di Legendre siamo a cavallo. Ti dico non sono sicuro che basti qualche considerazione così per dare una risposta rigorosa, ma vediamo magari qualcun altro la pensa diversamente 
"Nikikinki":
Magari è proprio quello che deve essere? Vista la simmetria direi di sì.
La carica totale certo è nulla, ma il campo, direi proprio di no. Una distribuzione che va come $costheta$ significa che a un polo c'è una carica positiva e all'altro una negativa, quindi l'insieme si comporta come un dipolo, e al centro il campo non è certo nullo
Uhm non so ricordo che il potenziale nella sfera che si trovava risolvendo Laplace era una roba proporzionale a $rcos(\theta)$ ma per esserne sicuro dovrei rifare tutto il conto. Quindi dici si dovrebbe poter dimostrare sfruttando la relazione per la polarizzazione lasciando perdere Laplace?
Edit: eh sì che scemo avevo in testa appunto il potenziale ma al contempo lo leggevo come campo elettrico. $rcos(\theta)=z$ e quindi il campo elettrico è costante diretto come z. Il valore si trova considerando la polarizzazione come hai detto tu e dovrebbe valere $\sigma_0/(\epsilon3)$ che era la costante a moltiplicare che non ricordavo
Edit: eh sì che scemo avevo in testa appunto il potenziale ma al contempo lo leggevo come campo elettrico. $rcos(\theta)=z$ e quindi il campo elettrico è costante diretto come z. Il valore si trova considerando la polarizzazione come hai detto tu e dovrebbe valere $\sigma_0/(\epsilon3)$ che era la costante a moltiplicare che non ricordavo
Scusate non capisco cosa c’entra la polarizzazione , non bisogna considerare la carica contenuta in quella superficie tratteggiata in nero e integrarla? Il problema è che non riesco a capire se è giusto il dq che ho preso e quali estremi di integrazione devo considerare.
Comunque visto che chiede il campo ed il potenziale solo nel centro si dovrebbe far prima ad usare:
$$V(\mathbf r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}da'$$
Che diventa semplicemente
$$V(\mathbf 0) = \frac {2\pi \sigma_0} {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {cos(\theta)}R R \sin \theta d\theta = 0$$
Analogamente per il campo:
$$E(\mathbf r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')(\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^{3/2}}da'$$
Che diventa (non più tanto semplicemente, però meglio, secondo me, che espandere il potenziale in polinomi di Legendre)
$$E(\mathbf 0) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')(\mathbf r')}{|\mathbf r'|^{3/2}}da'$$
Sto integrale è un vettore e ha 3 componenti. L'unica componente che dovrebbe rimanere è quella dell'asse z perché il momento di dipolo in quella direzione punta, quindi alla fine viene un integrale non troppo difficile. Anche se i calcoli precisi non mi ricordo bene come farli uscire... Ci penso e se mi viene in mete vi aggiorno.
$$V(\mathbf r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|}da'$$
Che diventa semplicemente
$$V(\mathbf 0) = \frac {2\pi \sigma_0} {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {cos(\theta)}R R \sin \theta d\theta = 0$$
Analogamente per il campo:
$$E(\mathbf r) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')(\mathbf r - \mathbf r')}{|\mathbf r - \mathbf r'|^{3/2}}da'$$
Che diventa (non più tanto semplicemente, però meglio, secondo me, che espandere il potenziale in polinomi di Legendre)
$$E(\mathbf 0) = \frac 1 {4 \pi \epsilon} \int_A \frac {\sigma(\mathbf r')(\mathbf r')}{|\mathbf r'|^{3/2}}da'$$
Sto integrale è un vettore e ha 3 componenti. L'unica componente che dovrebbe rimanere è quella dell'asse z perché il momento di dipolo in quella direzione punta, quindi alla fine viene un integrale non troppo difficile. Anche se i calcoli precisi non mi ricordo bene come farli uscire... Ci penso e se mi viene in mete vi aggiorno.
Sì è giusto, ma è più semplice come ha suggerito mgrau. Si può ipotizzare che la densità superficiale sia generata da un campo elettrico uniforme in cui è immersa la sfera che induce una polarizzazione P che induce una distribuzione di carica $\sigma_p=P*\hat{n}$ che a sua volta ancora genera il campo interno $E_p=P/(3\epsilon)\hat{z}=\sigma_0/(3\epsilon_0)\hat{z}$ .
https://math.stackexchange.com/question ... oordinates
Ok nella risposta sta scritto come calcolare questo tipo di integrale in coordinate sferiche. Se prendi la componente z come ti dicevo dovrebbe venire, mentre le altre due componenti dovrebbero dare un contributo totale nullo. Prova a fare tutti gli integrali tanto alla fine si tratta solo di integrare un paio di seni e coseni
Ok nella risposta sta scritto come calcolare questo tipo di integrale in coordinate sferiche. Se prendi la componente z come ti dicevo dovrebbe venire, mentre le altre due componenti dovrebbero dare un contributo totale nullo. Prova a fare tutti gli integrali tanto alla fine si tratta solo di integrare un paio di seni e coseni
"Nikikinki":
Sì è giusto, ma è più semplice come ha suggerito mgrau. Si può ipotizzare che la densità superficiale sia generata da un campo elettrico uniforme in cui è immersa la sfera che induce una polarizzazione P che induce una distribuzione di carica $\sigma_p=P*\hat{n}$ che a sua volta ancora genera il campo interno $E_p=P/(3\epsilon)\hat{z}=\sigma_0/(3\epsilon_0)\hat{z}$ .
Si ok ma questo perché già sai che la polarizzazione di una sfera genera quel particolare campo. Se no te lo dovresti calcolare lo stesso
Vero ma quello è uno dei primi calcoli che si fa sui dipoli e comunque se non lo si ricorda è banale si trova per sovrapposizione dei campi di due sfere decentrate. Comunque certo, tutte le strade portano a Roma 
"Nikikinki":
Vero ma quello è uno dei primi calcoli che si fa sui dipoli e comunque se non lo si ricorda è banale si trova per sovrapposizione dei campi di due sfere decentrate. Comunque certo, tutte le strade portano a Roma
Io l'ho visto per la prima volta qualche mese fa
Dipende da che background uno ha. Comunque concordo che è il metodo più "figo" per arrivare al risultato.
Il professore non ci ha mai accennato il ragionamento che avete fatto voi quindi vorrei arrivarci in un altro modo.
Ho ipotizzato di considerare la sfera come due emisferi carichi positivamente quindi entrambi mi generano un campo elettrico diretto lungo z. Quindi calcolo il campo prodotto da uno dei due e poi li sommo.
Per il calcolo del campo considero una calotta sferica infinitesima di area $ dS=2piR^2sintheta d(theta) $ quindi ho:
$ Ez=1/(4piepsilonoR^2) int_(0)^(pi/2) [sigmaocostheta 2piR^2sinthetad(theta)]costheta =(sigmao)/(2epsilon0)int_(0)^(pi/2) cos^2thetasintheta d(theta) $
$ Ez=(sigmao)/(6epsilono) $ che moltiplicato per due fa lo stesso risultato che avete detto voi.
C'è qualcosa di sbagliato? O meglio c'è qualcosa di sensato?
Ho ipotizzato di considerare la sfera come due emisferi carichi positivamente quindi entrambi mi generano un campo elettrico diretto lungo z. Quindi calcolo il campo prodotto da uno dei due e poi li sommo.
Per il calcolo del campo considero una calotta sferica infinitesima di area $ dS=2piR^2sintheta d(theta) $ quindi ho:
$ Ez=1/(4piepsilonoR^2) int_(0)^(pi/2) [sigmaocostheta 2piR^2sinthetad(theta)]costheta =(sigmao)/(2epsilon0)int_(0)^(pi/2) cos^2thetasintheta d(theta) $
$ Ez=(sigmao)/(6epsilono) $ che moltiplicato per due fa lo stesso risultato che avete detto voi.
C'è qualcosa di sbagliato? O meglio c'è qualcosa di sensato?
Potrebbe avere un senso però il risultato cui si giunge con la polarizzazione ti dà il campo esatto dentro tutta la sfera che ha sempre quel valore lì. In questo modo ti limiti solo a un punto. Che era comunque quello che ti chiedeva, quindi magari accettabile. Tieni presente solo la direzione del vettore, posta la sfera nel sistema di riferimento originale il campo punta nella direzione negativa delle $z$ quindi manca un meno che anche io mi ero mangiato ieri.
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