Sfera cava e funambolo
Salve a tutti! Vi posto un esercizio, per chiedervi se il mio ragionamento e il risutato sono corretti, dato che non ho a disposizione la soluzione.
"Una grande sfera cava (raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$) omogenea di densità $\lambda$ e centro $O$ è vincolata a muoversi in linea retta su di un piano senza strisciare. Un funambolo, di massa $m$, si mantiene in piedi su di lei, con i piedi in un punto $P$ tale che $OP$ forma con la verticale un angolo $\theta$. Determinare il moto del punto $O$. (Si tenga presente che il funambolo si muove per mantere l'angolo $\theta$ costante nel tempo)."
Per spiegarmi meglio, ecco un'immagine:
Svolgimento:
Dopo un intervallo di tempo infinitesimo $dt$, il punto di contatto tra sfera e funambolo si è spostato da $P$ a $P'$ e il nuovo punto di contatto sarà $P''$. Quindo lo spazio percorso da $O$ sarà $ds= \bar{OO'} = \bar{PP''}$, ed essendo $\bar{PP''}= PP'' = R_2 d\theta$ (per $PP''$ intendo la lunghezza dell'arco, non riesco a farlo con i codici), avrò che $ds =R_2d\theta$ e quindi $ ds/dt =R_2 d\theta/dt$, dove $ds/dt=v$ (cioè la velocità di traslazione dell'asse della sfera) e $d\theta/dt= \omega$ (cioè la velocità angolare della sfera).
Avrò quindi $v=R_2\omega$ e derivando rispetto al tempo
$a=R_2 \alpha$ (con $\alpha$ accelerazione angolare). (1)
L'accelerazione angolare si ricava dalla seconda equazione cardinale:
$M_O =dL/dt$ e quindi $mgR_2sen\theta= I\alpha$ con $I=2/5M(R^2_2 - R^2_1)$ inerzia della sfera ed $M=\lambdaV= \lambda 4/3 \pi (R^3_2-R^3_1)$).
Svolgendo i calcoli ottengo $\alpha= (5mgR_2sen\theta) / (2M (R^3_2-R^3_1))$ che andrò a sostituire nella (1) per ottenere l'accelerazione del punto $O$.
E' corretto? Grazie per le eventuali risposte.
"Una grande sfera cava (raggio interno $R_1$ ed esterno $R_2$) omogenea di densità $\lambda$ e centro $O$ è vincolata a muoversi in linea retta su di un piano senza strisciare. Un funambolo, di massa $m$, si mantiene in piedi su di lei, con i piedi in un punto $P$ tale che $OP$ forma con la verticale un angolo $\theta$. Determinare il moto del punto $O$. (Si tenga presente che il funambolo si muove per mantere l'angolo $\theta$ costante nel tempo)."
Per spiegarmi meglio, ecco un'immagine:
Svolgimento:
Dopo un intervallo di tempo infinitesimo $dt$, il punto di contatto tra sfera e funambolo si è spostato da $P$ a $P'$ e il nuovo punto di contatto sarà $P''$. Quindo lo spazio percorso da $O$ sarà $ds= \bar{OO'} = \bar{PP''}$, ed essendo $\bar{PP''}= PP'' = R_2 d\theta$ (per $PP''$ intendo la lunghezza dell'arco, non riesco a farlo con i codici), avrò che $ds =R_2d\theta$ e quindi $ ds/dt =R_2 d\theta/dt$, dove $ds/dt=v$ (cioè la velocità di traslazione dell'asse della sfera) e $d\theta/dt= \omega$ (cioè la velocità angolare della sfera).
Avrò quindi $v=R_2\omega$ e derivando rispetto al tempo
$a=R_2 \alpha$ (con $\alpha$ accelerazione angolare). (1)
L'accelerazione angolare si ricava dalla seconda equazione cardinale:
$M_O =dL/dt$ e quindi $mgR_2sen\theta= I\alpha$ con $I=2/5M(R^2_2 - R^2_1)$ inerzia della sfera ed $M=\lambdaV= \lambda 4/3 \pi (R^3_2-R^3_1)$).
Svolgendo i calcoli ottengo $\alpha= (5mgR_2sen\theta) / (2M (R^3_2-R^3_1))$ che andrò a sostituire nella (1) per ottenere l'accelerazione del punto $O$.
E' corretto? Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Ho preferito procedere per forza bruta:
$\{(ma_x=R_x),(ma_y=-mg+R_y),(MA_x=-R_x+C_x),(MA_y=-Mg-R_y+C_y),(I/R_2A_x=R_2[-2cos^2(theta/2)R_x+sinthetaR_y]):} ^^ \{(a_y=0),(A_y=0),(a_x=2cos^2(theta/2)A_x):}$
Non dovrei aver commesso errori. In ogni modo, puoi confrontare i risultati.
$\{(ma_x=R_x),(ma_y=-mg+R_y),(MA_x=-R_x+C_x),(MA_y=-Mg-R_y+C_y),(I/R_2A_x=R_2[-2cos^2(theta/2)R_x+sinthetaR_y]):} ^^ \{(a_y=0),(A_y=0),(a_x=2cos^2(theta/2)A_x):}$
Non dovrei aver commesso errori. In ogni modo, puoi confrontare i risultati.
Per $A$ intendi l'accelerazione della sfera e per $a$ quella del funambolo?
$[veca]$: accelerazione del funambolo.
$[vecA]$: accelerazione del centro di massa della sfera.
$[vecR]$: reazione vincolare interna funambolo - sfera.
$[vecC]$: reazione vincolare esterna sfera - piano orizzontale.
$[m]$: massa del funambolo.
$[M]$: massa della sfera.
$$: momento d'inerzia della sfera rispetto al punto di contatto con il piano orizzontale.
Ottengo $[A_x=(mR_2^2gsintheta)/(I+4mR_2^2cos^4(theta/2))]$, sicuramente diverso dal tuo risultato.
$[vecA]$: accelerazione del centro di massa della sfera.
$[vecR]$: reazione vincolare interna funambolo - sfera.
$[vecC]$: reazione vincolare esterna sfera - piano orizzontale.
$[m]$: massa del funambolo.
$[M]$: massa della sfera.
$$: momento d'inerzia della sfera rispetto al punto di contatto con il piano orizzontale.
Ottengo $[A_x=(mR_2^2gsintheta)/(I+4mR_2^2cos^4(theta/2))]$, sicuramente diverso dal tuo risultato.
Grazie, ci rifletto su!:)
Solo una precisazione sull'aspetto più complesso. L'equazione $[a_x=2cos^2(theta/2)A_x]$ è stata ottenuta imponendo che la componente orizzontale della velocità del punto di contatto pensato appartenente alla sfera sia uguale alla velocità orizzontale del funambolo.
"speculor":
Solo una precisazione sull'aspetto più complesso. L'equazione $[a_x=2cos^2(theta/2)A_x]$ è stata ottenuta imponendo che la componente orizzontale della velocità del punto di contatto pensato appartenente alla sfera sia uguale alla velocità orizzontale del funambolo.
non capisco perchè imponi questa condizione. Io avrei messo $a_x=A_x$, visto che il funanmbolo fa in modo di tenersi sempre alla stessa distanza (sia orizzontale che verticale) dal centro di massa della sfera... che mi perdo
"Thomas":
non capisco perchè imponi questa condizione. Io avrei messo $a_x=A_x$, visto che il funanmbolo fa in modo di tenersi sempre alla stessa distanza (sia orizzontale che verticale) dal centro di massa della sfera...
In effetti, il tuo approccio è più semplice e non fa una piega. Delle due l'una: la mia considerazione è sbagliata, oppure ho sbagliato a ricavarla.
"Lory_91":
Si tenga presente che il funambolo si muove per mantere l'angolo $\theta$ costante nel tempo.
Imponendo la mia condizione, si ottiene la relazione che ho già scritto. Quindi, è la mia condizione che non vale. In effetti, anche se tra parentesi, nel testo era scritto quanto riportato. E comunque, facendo valere la mia condizione, non si avrebbe lo scenario dell'esercizio. Insomma, complicandomi la vita, ho banalmente toppato. In definitiva:
$\{(ma_x=R_x),(ma_y=-mg+R_y),(MA_x=-R_x+C_x),(MA_y=-Mg-R_y+C_y),(I/R_2A_x=R_2[-2cos^2(theta/2)R_x+sinthetaR_y]):} ^^ \{(a_y=0),(A_y=0),(a_x=A_x):}$
Grazie a Thomas per la correzione.
Di niente succede a tutti di confondersi a me accade venti volte al giorno c'è sempre un motivo! 
In questo caso mi sa che non hai considerato che il funambolo sta su punti della sfera sempre diversi. Quindi non puoi imporre la condizione che funambolo e ruota si tocchino imponendo la velocità orizzontale del funambolo uguale a quella del punto della sfera che gli sta sotto in quel momento... questo se ho ben capito la tua idea...
In questo caso mi sa che non hai considerato che il funambolo sta su punti della sfera sempre diversi. Quindi non puoi imporre la condizione che funambolo e ruota si tocchino imponendo la velocità orizzontale del funambolo uguale a quella del punto della sfera che gli sta sotto in quel momento... questo se ho ben capito la tua idea...
"Thomas":
In questo caso mi sa che non hai considerato che il funambolo sta su punti della sfera sempre diversi.
Questo aspetto lo avevo considerato. Mi è venuta in mente quella condizione, perdendo di vista il nocciolo del problema.
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