Sfera carica e Campo Elettrico

[carmecut99]

Ho risolto quest'esercizio di elettrostatica ma non avendo i risultati chiedo un vostro riscontro.

Ho una sfera di raggio R = 2 cm di materiale isolante. Su questa vi è distribuita una carica elettrica q1 con densità $ rho=alphar $ , dove $ alpha $ = 10-5 C/m4.

Devo trovare:

a) il campo elettrostatico in funzione di r e il suo valore in un punto A che dista r1=20 cm da O e in B a distanza r2= 1 cm da O;

b) la differenza di potenziale tra A e B;

c) l’energia potenziale elettrostatica all’interno della sfera.

d) Una carica puntiforme q2=10-6 C di massa m=10 g parte da distanza infinita con velocità v2=0.02 m/s verso il centro della sfera. Devo calcolare la distanza minima tra la carica q2 ed il punto O.


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a) Ho calcolato il campo applicando il teoreama di Gauss e considerando due casi, ovvero rR

Nel caso in cui r
La carica interna alla superficie gaussiana:
$ Q=int_(0)^(r) rho dV=int_(0)^(r) 4alphapir^3 dr=alphapir^4 $

Il campo sarà:
$ E(r)=(alphar^2)/(4epsi) $

Da qui ho calcolato il campo in B:
$ E(r2)=(alphar2^2)/(4epsi)=28,25N/C $

Nel caso in cui r>R

La carica interna sarà:
$ Q=alphapiR^4 $

Il campo sarà:
$ E(r)=1/(4piepsi)(alphapiR^4)/r^2= (alphaR^4)/(4epsir^2) $

Il campo in A:
$ E(r1)=1/(4piepsi)(alphapiR^4)/(r1^2)= (alphaR^4)/(4epsir1^2)= 1,13N/C $


b) Per la differenza di potenziale tra A e B
$ Va-Vb=-int_(r2)^(R) (alphar^2)/(4epsi) dr -int_(R)^(r1) (alphaR^4)/(4epsir^2) dr=-alpha/(12epsi)(R^3-r2^3)-(alphaR^4)/(4epsi)(1/(r1)-1/R)= 1,37 V $

c) Energia potenziale all'interno della sfera
$ U=1/2int_(0)^(R) rho(r) V(r) 4pir^2 dr =1/2int_(0)^(R) 4alphar^3pi(-(alphaR^3)/(12epsi)) dr = 1,89*10^-12 $

dove: $ V(r)=-int_(0)^(R) (alphar^2)/(12epsi) dr = -6,02*10^-8 J $

d) Applicando la conservazione dell'energia: $ qVf+1/2mvf^2=qVi+1/2mvi^2 $

$ 1/2mvi^2=qVf $

$ Vf=(mv2^2)/(2q) $

$ Voo -Vf=-int_(r)^(oo) (alphaR^4)/(4epsir^2) dr=(alphaR^4)/(4epsi)(1/r) $

$ r=(2alphaR^4 q)/(4epsimv2^2)= 0.02 m $

[Quinzio]

"Carmelo99":
b) Per la differenza di potenziale tra A e B
$ Va-Vb=-int_(r2)^(R) (alphar^2)/(4epsi) dr -int_(R)^(r1) (alphaR^4)/(4epsir^2) dr=-alpha/(12epsi)(R^3-r2^3)-(alphaR^4)/(4epsi)(1/(r1)-1/R)= 1,37 V $

I segni !!!

c) Energia potenziale all'interno della sfera
$ U=1/2int_(0)^(R) rho(r) V(r) 4pir^2 dr =1/2int_(0)^(R) 4alphar^3pi(-(alphaR^3)/(12epsi)) dr = 1,89*10^-12 $

dove: $ V(r)=-int_(0)^(R) (alphar^2)/(12epsi) dr = -6,02*10^-8 J $

$ V(r)$ non e' una costante, e' funzione del raggio. L'hai anche scritto... va calcolata punto per punto.

[carmecut99]

Ok, quindi la differenza di potenziale tra a e b sarebbe - 1,37 V, giusto?

Invece per l'energia potenziale, dato che V(r) non è costante posso applicare la formula della densità di energia elettrostica, continuando in questo modo:

$ U=int_(0)^(R) 1/2epsilon E^2 dV=int_(0)^(R) 1/2 epsilon(alpha^2r^4)/(16epsilon^2)4pir^2dr =(alpha^2pi)/(8epsilon)R^7/7=8,11*10^-13J $

[Quinzio]

"Carmelo99":Ok, quindi la differenza di potenziale tra a e b sarebbe - 1,37 V, giusto?

Calcola quest'integrale e poi guarda cos'hai fatto tu $$\int_a^b \frac{1}{ r^2} \ dr$$

[Quinzio]

"Carmelo99":
La carica interna alla superficie gaussiana:
$ Q=int_(0)^(r) rho dV=int_(0)^(r) 4alphapir^3 dr=alphapir^4 $

Anche questo non va bene, non me n'ero accorto.
La carica dello strato infinitesimale e' gia' $\alpha\ dr$, non $\alpha\ r$.

[Quinzio]

"Carmelo99":
Invece per l'energia potenziale, dato che V(r) non è costante posso applicare la formula della densità di energia elettrostica, continuando in questo modo:

$ U=int_(0)^(R) 1/2epsilon E^2 dV=int_(0)^(R) 1/2 epsilon(alpha^2r^4)/(16epsilon^2)4pir^2dr =(alpha^2pi)/(8epsilon)R^7/7=8,11*10^-13J $

Nell'altro post ti avevo lasciato dei link anche per il calcolo di $V(r)$ li hai guardati ?
Non vuoi usare la formula che ti ho suggerito e ne vuoi usare un'altra ?
Nessun problema, ma va usata nel modo giusto. Vai a vedere dove l'hai trovata e vedi se l'hai applicata nel modo giusto.
Usando le due formule devi trovare lo stesso risultato.

Poi, nell'integrale non usare $dV$, che si confonde col potenziale $V$. E poi ancora se integri su un volume $dV$, non mi puoi usare il raggio come estremi dell'integrale. Ci siamo ?