Sfera carica con guscio conduttore e guscio dielettrico
Salve a tutti!
Stavo facendo qualche esercizio di fisica 2 e mi sono imbattuto in questa prova d'esame. Riporto di seguito l'esercizio
[img]
[/img]
Riporto poi i punti che ho svolto:
(a)
Per determinare l'espressione del campo elettrico ho così proceduto; anzitutto ho calcolato la carica presete nella sfera carica, data da:
\(\displaystyle Q_{1} = \int_{\tau} \rho d\tau = \int_{0}^{R} \alpha r^{2} 4\pi r^{2} = {4\alpha \pi \over 5} R^{5} \)
Si osserva poi che il guscio conduttore di raggio interno R e raggio esterno 2R, per il fenomeno dell'induzione completa presenterà una carica \(\displaystyle Q_{2} = -Q_{1} \) sulla propria superficie interna che andrà a neturalizzare la carica \(\displaystyle Q_{1} \) della sfera carica interna: ciò conferma che il campo elettrico interno al volume di un conduttore è nullo. Si osserva quindi che sulla superficie esterna del conduttore andrà a distribuirsi una carica \(\displaystyle -Q_{2} = Q_{1} \). Concludiamo immediatamente che:
\(\displaystyle \overline{E}(r) = 0 \) per \(\displaystyle 0
Il problema dunque si riconduce a quella di una sfera conduttrice carica di raggio \(\displaystyle 2R \) e centro O circondata da un guscio di materiale dielettrico. Per la determinazione del campo elettrico, è possibile, per la simmetria del problema, utilizzare il teorema di Gauss per il vettore spostamento \(\displaystyle \overline{D} = \epsilon_{0} \epsilon_{r} \overline{E} \), considerando una superficie sferica \(\displaystyle S \) di raggio \(\displaystyle 2R < r < 3R \):
\(\displaystyle \Phi (\overline{D}) = \int_{S} \overline{D} d\overline{S} = D 4\pi r^{2} = Q_{int} = Q_{1} \Rightarrow D = {Q_{1} \over 4 \pi r^{2}} = {{4 \over 5} \pi \alpha R^{5} \over 4 \pi r^{2}} \Rightarrow D = {\alpha R^{5} \over 5 r^{2}} \)
Considerando dunque l'espressione di \(\displaystyle \overline{D} = \epsilon_{0} \epsilon_{r} \overline{E} \) si ottiene:
\(\displaystyle E(r) = {\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}} \) per \(\displaystyle 2R
All'esterno del guscio dielettrico, il campo elettrico vale:
\(\displaystyle E(r) = {\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}} \) per \(\displaystyle r>3R \)
Il campo elettrico quindi è quindi nullo internamente al guscio conduttore, assume poi un valore decrescente all'interno del guscio dielettrico e ugualmente, ma con decrescita meno ripida, esternamente al guscio dielettrico.
(b)
Come abbiamo visto sul guscio conduttore si distribuisce una carica indotta e sulla superficie esterna abbiamo una carica \(\displaystyle -Q_{2} = Q_{1} \), di conseguenza avremo una densità di carica superficiale data da:
\(\displaystyle \sigma = {Q_{1} \over S} = {{4\alpha \pi \over 5} R^{5} \over 4\pi (2R)^{2}} \Rightarrow \sigma = {\alpha R^{3} \over 20}\)
Per quanto riguarda la densità di carica di polarizzazione, sorge un problema: prima di procedere infatti con il calcolo della densità di carica di polarizzazione è necessario determinare il vettore polarizzazione \(\displaystyle \overline{P} \) dato da:
\(\displaystyle \overline{P} =\epsilon_{0} (\epsilon_{r}-1) \overline{E} \Rightarrow \overline{P} = {\alpha R^{5} \over 5 r^{2}} (1 -{1 \over \epsilon_{r}}) \hat{r} \)
Proseguiamo quindi con il calcolo della densità di polarizzazione volumica data da:
\(\displaystyle \rho_{p} = -\overline{\bigtriangledown} \cdot \overline{P} \)
Eseguendo tuttavia il calcolo di tale divergenza, con \(\displaystyle \overline{P} = P \hat{r} \), in coordinate sferiche ottengo che la densità di carica è nulla.
Dove sto sbagliando?
(c)
Per l'ultimo punto non saprei come procedere, chiedo quindi umilmente aiuto.
Grazie per l'aiuto!
Stavo facendo qualche esercizio di fisica 2 e mi sono imbattuto in questa prova d'esame. Riporto di seguito l'esercizio
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Riporto poi i punti che ho svolto:
(a)
Per determinare l'espressione del campo elettrico ho così proceduto; anzitutto ho calcolato la carica presete nella sfera carica, data da:
\(\displaystyle Q_{1} = \int_{\tau} \rho d\tau = \int_{0}^{R} \alpha r^{2} 4\pi r^{2} = {4\alpha \pi \over 5} R^{5} \)
Si osserva poi che il guscio conduttore di raggio interno R e raggio esterno 2R, per il fenomeno dell'induzione completa presenterà una carica \(\displaystyle Q_{2} = -Q_{1} \) sulla propria superficie interna che andrà a neturalizzare la carica \(\displaystyle Q_{1} \) della sfera carica interna: ciò conferma che il campo elettrico interno al volume di un conduttore è nullo. Si osserva quindi che sulla superficie esterna del conduttore andrà a distribuirsi una carica \(\displaystyle -Q_{2} = Q_{1} \). Concludiamo immediatamente che:
\(\displaystyle \overline{E}(r) = 0 \) per \(\displaystyle 0
Il problema dunque si riconduce a quella di una sfera conduttrice carica di raggio \(\displaystyle 2R \) e centro O circondata da un guscio di materiale dielettrico. Per la determinazione del campo elettrico, è possibile, per la simmetria del problema, utilizzare il teorema di Gauss per il vettore spostamento \(\displaystyle \overline{D} = \epsilon_{0} \epsilon_{r} \overline{E} \), considerando una superficie sferica \(\displaystyle S \) di raggio \(\displaystyle 2R < r < 3R \):
\(\displaystyle \Phi (\overline{D}) = \int_{S} \overline{D} d\overline{S} = D 4\pi r^{2} = Q_{int} = Q_{1} \Rightarrow D = {Q_{1} \over 4 \pi r^{2}} = {{4 \over 5} \pi \alpha R^{5} \over 4 \pi r^{2}} \Rightarrow D = {\alpha R^{5} \over 5 r^{2}} \)
Considerando dunque l'espressione di \(\displaystyle \overline{D} = \epsilon_{0} \epsilon_{r} \overline{E} \) si ottiene:
\(\displaystyle E(r) = {\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}} \) per \(\displaystyle 2R
All'esterno del guscio dielettrico, il campo elettrico vale:
\(\displaystyle E(r) = {\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}} \) per \(\displaystyle r>3R \)
Il campo elettrico quindi è quindi nullo internamente al guscio conduttore, assume poi un valore decrescente all'interno del guscio dielettrico e ugualmente, ma con decrescita meno ripida, esternamente al guscio dielettrico.
(b)
Come abbiamo visto sul guscio conduttore si distribuisce una carica indotta e sulla superficie esterna abbiamo una carica \(\displaystyle -Q_{2} = Q_{1} \), di conseguenza avremo una densità di carica superficiale data da:
\(\displaystyle \sigma = {Q_{1} \over S} = {{4\alpha \pi \over 5} R^{5} \over 4\pi (2R)^{2}} \Rightarrow \sigma = {\alpha R^{3} \over 20}\)
Per quanto riguarda la densità di carica di polarizzazione, sorge un problema: prima di procedere infatti con il calcolo della densità di carica di polarizzazione è necessario determinare il vettore polarizzazione \(\displaystyle \overline{P} \) dato da:
\(\displaystyle \overline{P} =\epsilon_{0} (\epsilon_{r}-1) \overline{E} \Rightarrow \overline{P} = {\alpha R^{5} \over 5 r^{2}} (1 -{1 \over \epsilon_{r}}) \hat{r} \)
Proseguiamo quindi con il calcolo della densità di polarizzazione volumica data da:
\(\displaystyle \rho_{p} = -\overline{\bigtriangledown} \cdot \overline{P} \)
Eseguendo tuttavia il calcolo di tale divergenza, con \(\displaystyle \overline{P} = P \hat{r} \), in coordinate sferiche ottengo che la densità di carica è nulla.
Dove sto sbagliando?
(c)
Per l'ultimo punto non saprei come procedere, chiedo quindi umilmente aiuto.
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Per il punto b) secondo me non c'è una carica di volume, ma solo di superficie
Per il punto c) potresti trovare l'energia del campo elettrico nella configurazione data, e poi in quella senza dielettrico, la differenza dovrebbe essere il lavoro necessario per la transizione
Per il punto c) potresti trovare l'energia del campo elettrico nella configurazione data, e poi in quella senza dielettrico, la differenza dovrebbe essere il lavoro necessario per la transizione
Ciao, ti ringrazio anzitutto per la risposta!
(b)
Allora abbiamo ottenuto quindi che la densità di cariche di polarizzazione volumica è nulla, resta da calcolare la densità di cariche di polarizzazione superficiale, data da:
\(\displaystyle \sigma_{p} = \overline{P} \cdot \hat{n} \)
Si osserva che per la superficie esterna del dielettrico i vettori \(\displaystyle \overline{P} \) e \(\displaystyle \hat{n} \) sono paralleli, mentre per la superficie interna sono antiparalleli, di conseguenza si ha:
\(\displaystyle \sigma_{p}(3R) = P(3R) = {\alpha R^{3} \over 45}(1-{1 \over \epsilon_{r}}) \)
\(\displaystyle \sigma_{p}(2R) = -P(2R) = -{\alpha R^{3} \over 20}(1-{1 \over \epsilon_{r}}) \)
(c)
Procediamo quindi con la determinazione del lavoro necessario richiesto, considerando prima l'energia elettrostatica della configurazione data e poi l'energia elettrostatica della configurazione senza il dielettrico, il lavoro è dato da:
\(\displaystyle L = -\Delta U \)
Calcoliamo l'energia elettrostatica della configurazione con dielettrico:
\(\displaystyle U_{e}^{i} = \int_{\tau} {1 \over 2} \epsilon E^{2} = \int_{0}^{2R} {1 \over 2} \epsilon (0)^{2} 4\pi r^{2} dr+ \int_{2R}^{3R} {1 \over 2} \epsilon_{0} \epsilon_{r} [{\alpha R^{2} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}}]^{2} 4 \pi r^{2} dr + \int_{3R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha^{2} R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr = \)
\(\displaystyle= 0 +\int_{2R}^{3R} {1 \over 2} \epsilon_{0} \epsilon_{r} [{\alpha R^{2} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}}]^{2} 4 \pi r^{2} dr + \int_{3R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha^{2} R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr\)
\(\displaystyle \Rightarrow U_{e}^{i} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over \epsilon_{0}}[{1 \over 75 \epsilon_{r}} +{1\over 3}] \)
Calcoliamo l'energia elettrostatica della configurazione senza dielettrico:
\(\displaystyle U_{e}^{f} = \int_{\tau} {\epsilon_{0} \over 2} E^{2} d\tau = \int_{0}^{2R} {\epsilon_{0} \over 2} (0)^{2} 4\pi r^{2} dr + \int_{2R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr = 0 + \int_{2R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr \)
\(\displaystyle \Rightarrow U_{e}^{f} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over 5 \epsilon_{0}} \)
Il lavoro sarà dato da:
\(\displaystyle L = -\Delta U = U_{e}^{i} - U_{e}^{f} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over \epsilon_{0}}[{1 \over 75 \epsilon_{r}} +{1\over 3}] - {\alpha^{2} \pi R^{9} \over 5 \epsilon_{0}}\)
E' tutto corretto o sto sbagliando qualcosa??? Grazi in anticipo per l'aiuto
(b)
Allora abbiamo ottenuto quindi che la densità di cariche di polarizzazione volumica è nulla, resta da calcolare la densità di cariche di polarizzazione superficiale, data da:
\(\displaystyle \sigma_{p} = \overline{P} \cdot \hat{n} \)
Si osserva che per la superficie esterna del dielettrico i vettori \(\displaystyle \overline{P} \) e \(\displaystyle \hat{n} \) sono paralleli, mentre per la superficie interna sono antiparalleli, di conseguenza si ha:
\(\displaystyle \sigma_{p}(3R) = P(3R) = {\alpha R^{3} \over 45}(1-{1 \over \epsilon_{r}}) \)
\(\displaystyle \sigma_{p}(2R) = -P(2R) = -{\alpha R^{3} \over 20}(1-{1 \over \epsilon_{r}}) \)
(c)
Procediamo quindi con la determinazione del lavoro necessario richiesto, considerando prima l'energia elettrostatica della configurazione data e poi l'energia elettrostatica della configurazione senza il dielettrico, il lavoro è dato da:
\(\displaystyle L = -\Delta U \)
Calcoliamo l'energia elettrostatica della configurazione con dielettrico:
\(\displaystyle U_{e}^{i} = \int_{\tau} {1 \over 2} \epsilon E^{2} = \int_{0}^{2R} {1 \over 2} \epsilon (0)^{2} 4\pi r^{2} dr+ \int_{2R}^{3R} {1 \over 2} \epsilon_{0} \epsilon_{r} [{\alpha R^{2} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}}]^{2} 4 \pi r^{2} dr + \int_{3R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha^{2} R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr = \)
\(\displaystyle= 0 +\int_{2R}^{3R} {1 \over 2} \epsilon_{0} \epsilon_{r} [{\alpha R^{2} \over 5 \epsilon_{0} \epsilon_{r} r^{2}}]^{2} 4 \pi r^{2} dr + \int_{3R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha^{2} R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr\)
\(\displaystyle \Rightarrow U_{e}^{i} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over \epsilon_{0}}[{1 \over 75 \epsilon_{r}} +{1\over 3}] \)
Calcoliamo l'energia elettrostatica della configurazione senza dielettrico:
\(\displaystyle U_{e}^{f} = \int_{\tau} {\epsilon_{0} \over 2} E^{2} d\tau = \int_{0}^{2R} {\epsilon_{0} \over 2} (0)^{2} 4\pi r^{2} dr + \int_{2R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr = 0 + \int_{2R}^{\infty} {\epsilon_{0} \over 2} [{\alpha R^{5} \over 5 \epsilon_{0} r^{2}}]^{2} 4\pi r^{2} dr \)
\(\displaystyle \Rightarrow U_{e}^{f} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over 5 \epsilon_{0}} \)
Il lavoro sarà dato da:
\(\displaystyle L = -\Delta U = U_{e}^{i} - U_{e}^{f} = {\alpha^{2} \pi R^{9} \over \epsilon_{0}}[{1 \over 75 \epsilon_{r}} +{1\over 3}] - {\alpha^{2} \pi R^{9} \over 5 \epsilon_{0}}\)
E' tutto corretto o sto sbagliando qualcosa??? Grazi in anticipo per l'aiuto
Così a occhio mi pare corretto, ma non farmi seguire i calcoli...
Per il punto c) direi che potevi vedere subito che la sola zona dove cambia il campo elettrico è quella occupata dal dielettrico (nella sfera interna e nello spazio esterno non cambia niente) per cui potevi limitarti a calcolare l'energia lì, prima e dopo
Per il punto c) direi che potevi vedere subito che la sola zona dove cambia il campo elettrico è quella occupata dal dielettrico (nella sfera interna e nello spazio esterno non cambia niente) per cui potevi limitarti a calcolare l'energia lì, prima e dopo
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