Separatrici ritratto in fase

[thedarkhero]

Ho l'energia potenziale $U(s)=as-b/2s^2$, se rappresento il ritratto in fase ottengo un equilibrio in corrispondenza del punto $b/a$. Si puo' dimostrare che esistono due separatrici e che queste sono rette?

[Sk_Anonymous]

Prima di parlare del resto, sei sicuro che l'equilibrio non sia $a/b$?

[thedarkhero]

Si, hai perfettamente ragione. Infatti $U'(a/b)=0$

[Sk_Anonymous]

L'energia potenziale del problema è quella associata ad un repulsore armonico.
Basta scriverla nel seguente modo:

$U(s) = -b/2(s - a/b)^2 + a^2/(2b)$

Hai delle condizioni sui parametri $a$ e $b$?
Mi confermi che devi studiare le traiettorie nello spazio delle fasi?

[thedarkhero]

Si, dimenticavo che a e b sono strettamente positivi.
Devo studiare le traiettorie nello spazio delle fasi, in particolare mostrare che le due separatrici sono rette...

[Sk_Anonymous]

Nel caso del repulsore armonico vale la seguente relazione:

$1/2mdots^2 - 1/2ks^2 = E$

Mediante semplici trasformazioni algebriche ottieni l'equazione di una famiglia di iperboli:

$dots^2/((2E)/m) - s^2/((2E)/k) = 1

Le rette che stai cercando sono gli asintoti comuni a questa famiglia di iperboli.
Il tuo problema si può ricondurre a questo mediante cambiamento di variabile e ridefinizione dello 0 dell'energia potenziale.

[thedarkhero]

Nel mio caso $dots^2/2+as-bs^2/2=E$, il termine $s$ compare semplice e al quadrato, come posso portarlo nella forma di una famiglia di iperboli?

[Sk_Anonymous]

In un messaggio precedente ti ho scritto come scrivere $U(s)$.
La costante $a^2/(2b)$ può essere trascurata in quanto l'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva.
Quindi non dovresti avere difficoltà a ricavare l'equazione dell'iperbole.

[thedarkhero]

Ok, tutto chiaro! Grazie