Separatrici di un sistema dissipativo

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6 feb 2009, 17:58

Ciao. Non riesco a capire come tracciare correttamente il grafico delle separatrici di un sistema newtoniano dissipativo.
Riassumo il problema descrivendo quello che ho studiato.
Si parte da un sistema:
${(dotx=y),(doty=f(x)-gammay):}$
ove $gamma>0$ è una costante.
Ho visto che conviene prima studiare prima il caso conservativo ($gamma=0$) utilizzando l'energia potenziale $V(x)=-int f(s) ds$. I punti stazionari di V cioè i punti in cui f(x)=0 sono (le ascisse de) i punti di equilibrio del sistema (sia conservativo che dissipativo). Inoltre tutte le soluzioni/orbite del sistema sono contenute nelle curve di livello della funzione energia $E(x,y)=1/2y^2+V(x)$ essendo quest'ultima un integrale primo (nel caso conservativo).
Supponiamo che $x_0$ sia un massimo locale forte di V. Allora si vede che ad esso corrisponde una sella e dunque per un teorema che ho studiato ci sono esattamente due separatrici per quella sella, una stabile (tangente all'autovettore relativo all'autovalore negativo della matrice del linearizzato nella sella) e una instabile (tangente all'altro autovettore). Queste due curve si intersecano proprio nella sella.
Passando al caso dissipativo si vede che gli autovettori nella sella si <> ossia vengono ruotati di un angolo negativo rispetto al caso conservativo. Qui né il mio libro nè i miei appunti spiegano come tracciare i grafici delle separatrici. Vengono fatti degli esempi con grafico già pronto ma questo passaggio non é spiegato. A volte le separatrici si intersecano ancora nel punto di sella, altre volte per la sella ci passa una sola delle due separatrici e l'altra ci va <>. Non riesco a tirar fuori da questo grafico il motivo per cui le separatrici sono fatte proprio così.
Poi mi si pone un altro problema sempre sulle separatrici. Tutto quello che ho detto si basa sul fatto che approssimo in un intorno della sella il campo vettoriale che definisce il sistema con la sua matrice jacobiana (linearizzato). Questo mi permette di sapere cosa fanno le separatrici <> alla sella. Eppure nei grafici che trovo su libri e appunti spesso le separatrici vengono tracciate anche <> dalle selle. Così lontano che da essi vengono ricavate informazioni globali sui bacini di attrazione di eventuali pozzi del sistema.
Ad esempio nel caso in cui ci siano 2 punti di equilibrio in un sistema conservativo, un pozzo ed una sella si vede che le separatrici della sella da una parte vanno all'infinito mentre dal <> del pozzo si avvicinano al pozzo unendosi fra loro. (Scusate i termini impropri ma tento solo di descrivere il grafico).

Quindi riassumendo mi servirebbe sapere:
1) cosa succede esattamente alle separatrici di una sella nonlineare quando passo dal sistema conservativo al sistema dissipativo e come tracciarle correttamente.
2) cosa posso dire sulle separatrici di una sella nonlineare globalmente quindi anche lontano dai punti di sella a cui fanno riferimento.

Grazie.