Sempre Bernoulli

[dRic]

Non so perché ma ultimamente sto avendo problemi ad immaginarmi alcuni semplicissimi fenomeni di fluidodinamica.

Prima domanda: Se soffio dalla bocca, l'aria che sta nelle vicinanza della mia bocca (che è accelerata) si trova a pressione diversa da quella atmosferica ? Secondo me no, ma vorrei delle conferme.

[Shackle]

Se soffi, la velocità dell'aria soffiata fa diminuire la pressione nelle vicinanze. Prendi una strisciolina di carta , tienila con due mani vicino a un bordo corto, facendo pendere il resto. Accostala al labbro inferiore , e soffia lungo la faccia superiore : la strisciolina si alza, perchè la pressione diminuisce. Questa è un'immagine :

Ma si vede meglio in questo filmato , dal minuto 4:10 al minuto 4:30 circa , dove tre bambini soffiano sulle strisce :

https://www.youtube.com/watch?v=bUv06tANU6E

[dRic]

Ok, ci ho ragionato un po' e sono arrivato a questo.

Riformulo la domanda.

La pressione è uno scalare, ma la differenza di pressione dipende invece dalla direzione in cui la valuto. Ipotizziamo di soffiare parallelamente all'asse $x$. Se io considero la componente perpendicolare (radiale, vedi "EDIT") $\frac {\partial P} {\partial y}$ questa è sicuramente diversa da zero (ed in particolare è maggiore di zero) ed è responsabile dell'esito dell'esperimento da te citato. Per quanto riguarda $\frac {\partial P} {\partial x}$ cosa posso dire invece? E' diverso da zero o uguale a zero?

EDIT: E' più conveniente ragionare in coordinate cilindriche quindi considera il mio $x$ come $z$ (direzione longitudinale) e $y$ come $r$ (direzione radiale).

[Shackle]

Il fenomeno è a simmetria assiale . Nel seguente video :

https://www.youtube.com/watch?v=P-xNXrELCmU

al minuto 1:12 circa l'uomo soffia tra due barattoli verticali, che si accostano . Al minuto 2:02 circa soffia tra due palloncini appesi, che si accostano. Ma, del resto , si vede pure dall'esperimento con la pallina di celluloide , messo all'inizio, che la simmetria è assiale .

Se a casa tua , in una giornata ventosa , lasci una finestra aperta in cucina e un'altra aperta in camera da letto , si crea una corrente d'aria , la quale passando nella sezione della porta (della camera e della cucina) aumenta di velocità, e quindi la pressione sulla faccia interna della porta diminuisce : e la porta sbatte ! Spesso, è anche sufficiente la differenza di densità dell'aria, perchè dal lato cucina , supponiamo, l'aria esterna è più calda , c'è il Sole, per cui l'aria tende a salire; mentre dal lato della camera da letto l'aria esterna è più fredda , perchè é esposta a Nord.

Però , non dire a tua moglie ( se sei sposato...oppure a tua mamma ) che la colpa è di Bernoulli, il che è vero, e non cercare di spiegarle il teorema.

Mia moglie prenderebbe la scopa ....

[dRic]

ahahahaahaha

Comunque forse la mia domanda non era chiara, allego un disegnino:



La zona di interesse è quella in bianco dove il campo di moto si è "stabilizzato" (non ha senso andare a studiare il fenomeno anche appena nelle prossimità della bocca perché diventa troppo complicato).

Dal disegnino si vede, secondo me, che non ci possono essere gradienti di pressione, per lo meno lungo l'asse x. Lungo l'asse x bisogna considerare che il fluido si muove per inerzia e si ferma per colpa degli attriti per forza, ecco perché:

Ammettiamo che lungo la coordinata radiale $r$ ci sia veramente un gradiente di pressione, allora $\frac {\partial P}{\partial r} > 0$. Questo implica che per $r=0$, $P 0$ che è impossibile (un fluido che va contro pressione?!). Bisogna pertanto concludere che tale ipotesi non è corretta.

Allora mi domando: come bisognerebbe procedere?

[Shackle]

In verità non ho ben capito il tuo dubbio ; veramente, il gradiente di pressione che interessa è quello radiale , come quando studi il moto attorno a un profilo alare , mi sembra. Lasciamo stare fenomeni di strato limite, che diventerebbero troppo complicati da trattare , non sono un esperto .
Comunque, sicuramente gli effetti del soffio si estinguono ben presto . Io ho provato a far sbattere la porta della mia stanza soffiando in direzione dell'apertura, ma non ci sono riuscito . Dovrei essere Eolo, forse ... Il vantaggio di Eolo è che lui aveva una moglie che pure soffiava.

[dRic]

Non so veramente come spiegarlo, ci riprovo:

"dRic":
Ammettiamo che lungo la coordinata radiale r ci sia veramente un gradiente di pressione, allora $\frac {∂P}{∂r}>0$. Questo implica che per $r=0$, $P

Questa cosa mi sembra abbastanza ovvia. Considerando la componente radiale per $r=0$, $v_x$ è massima quindi la pressione è minima lungo l'asse del soffio. Considerando che l'aria circostante è alla pressione atmosferica se la pressione lungo l'asse è minore di quella circostante vuol dire che lungo l'asse la pressione è minore di quella atmosferica.

"dRic":
Ma se ciò fosse vero allora $\frac{∂P}{∂x}>0$ che è impossibile (un fluido che va contro pressione?!)

Abbiamo appena stabilito che la pressione del soffio è minore di quella atmosferica (cosa che era ovvia, e tu avevi giustamente detto all'inizio). Però anche davanti al soffio (quando si è esaurito) la pressione è quella atmosferica (anche questo mi sembra abbastanza ovvio). Quindi il fluido si sta muovendo da una zona con pressione minore ad una con pressione maggiore... impossibile!

Ce l'ho fatta a spiegarmi?

[Shackle]

Si, ho capito che cosa vuoi dire .
Il flusso d'aria che esce dalla bocca , dopo alcuni centimetri si mescola con l'aria in quiete, probabilmente si formano anche dei vortici , e quindi il flusso perde energia e viene rallentato: col rallentamento, quel flusso ritorna , per cosí dire, alla pressione atmosferica indisturbata a valle. Nulla di strano.

Ma puoi pensare anche ad un ventilatore, che smuove una gran portata d'aria imprimendole soprattutto velocità, quindi quantità di moto ed energia cinetica, piú che pressione . (Le macchine che operano su fluidi aumentandone molto la pressione sono i compressori).

Anche il flusso del ventilatore , dopo un po' , si mescola con l'aria ambiente e perde energia, rallentando. Difficile, a quel punto, tenere distinta l'aria soffiata dal ventilatore dall'aria ambiente.

Non ti parlo di ventilatori industriali , inseriti in condotte di ventilazione, di cui puoi trovare qui qualche cenno. Lo scopo di questi ventilatori è diverso da quello dei ventilatori che talvolta abbiamo in casa .

Spero che la risposta plachi la tua sete bernoulliana, anche se ci sarebbe tanto da dire...

[dRic]

"Shackle":
Spero che la risposta plachi la tua sete bernoulliana, anche se ci sarebbe tanto da dire...

Ti ringrazio della disponibilità e della pazienza perché alla mia testardaggine non c'è limite.

"Shackle":
Il flusso d'aria che esce dalla bocca , dopo alcuni centimetri si mescola con l'aria in quiete, probabilmente si formano anche dei vortici , e quindi il flusso perde energia e viene rallentato: col rallentamento, quel flusso ritorna , per cosí dire, alla pressione atmosferica indisturbata a valle. Nulla di strano.

In poche parole le dissipazioni viscose/turbolente (non sono sicurissimo che si debbano necessariamente formare vortici, penso dipenda dal numero di Re locale) riducono la velocità e quindi aumentano la pressione ?

Però allora c'è una ultima cosa che non mi torna. Se la pressione è minore all'interno del soffio, perché se soffio contro un oggetto (per esempio un foglietto di carta) questo viene spinto dal soffio? Lo so che è banalmente la conservazione della quantità di moto, però siccome Bernoulli dovrebbe essere la stessa cosa vorrei cercare di spiegare lo stesso fenomeno con Bernoulli, ma non capisco una cosa: se la pressione è effettivamente minore nel soffio perché il foglio non viene attratto ?

[Shackle]

Bernoulli non è la stessa cosa, se dalla mia risposta si è capito questo, faccio ammenda. Il foglietto non viene attratto, viene spinto dal getto.

Quando si studia la dinamica dei fluidi , si incontra ad un certo punto una simpatica equazione vettoriale , che si chiama "equazione globale dell'equilibrio dinamico " ; si ricava dal teorema di trasporto di Reynolds, che non mi metto a spiegare qui perchè è piuttosto complessa. Puoi trovarlo in rete, meglio in inglese (RTT) .

Il bello di questa equazione è , prima di tutto, che non c'è limitazione al suo impiego; vale per fluidi sia incomprimibili che comprimibili , e per moti in regime laminare o turbolento. Poi, ogni problema dinamico viene ricondotto ad un problema di equilibrio statico, purché si aggiungano alle forze di massa e di superficie agenti sul volume di fluido in considerazione, racchiuso in un ideale e opportuno volume di controllo (VC) , le forze di inerzia locali e i flussi delle quantità di moto entranti e uscenti ( detti anche "quantità di moto della portata di massa entrante nel VC e uscente da esso ) . (Ho praticamente copiato queste parole dal testo di Idraulica di Citrini-Noseda) . Questa equazione , più facile a scriversi ed applicarsi che non a dirsi con parole , è la seguente :

$vecG + vec\Pi + vecI + vecM_1 - vecM_2 = 0 $

dove i vari termini sono :

$vecG$ = risultante delle forze di massa agenti sulla massa racchiusa nel VC . Se c'è solo la gravità, $vecG$ è il peso !

$vecPi$ = spinta esercitata dall'esterno sulla superficie del VC

$vecI$ = risultante delle forze di inerzia locali ; se il moto è stazionario ( come nella maggior parte dei casi) risulta :$vecI = 0 $

$vecM_1 $ = flusso della quantità di moto entrante nel VC

$vecM_2 $ = flusso della quantità di moto uscente dal VC .

Detto questo , che ce ne facciamo ? Prendiamo un getto di fluido ( aria, acqua...) orizzontale , e lo spariamo contro una lastra piana verticale: vogliamo determinare quale forza occorre applicare alla lastra , in verso contrario a quello del getto, per tenerla ferma contro il getto . In sostanza , ho sostituito il tuo foglietto con questa lastra .
Dobbiamo prima scegliere un volume di controllo . Lo scelgo come nella figura seguente:



la sezione 1 a Sn è la sezione di ingresso del getto , le sezioni 2 sono quelli di uscita. La F é la forza applicata sul retro della lastra , che dobbiamo trovare.
Analizziamo i vari termini dell'equazione globale . Il peso $vecG$ è verticale , non ha componente sull'asse x . Il moto è stazionario , quindi $vecI =0 $ . Il risultante delle forze applicate al contorno è $vec\Pi=vecF$. Il flusso della quantità di moto uscente dalle sez 2 non ha componente orizzontale . Rimane solo il flusso della quantità di moto entrante nella sez 1 , cioè $vecM_1$ , che ( si dimostra) ha modulo :

$M_1 = rhoAv^2 = rhoQv $

in cui $rho$ è la densità del fluido, A l'area della sezione di ingresso , $v$ è la velocità del fluido in A , $Q$ è la portata volumetrica .
Quindi in definitiva si ha : $ vecF + vecM_1 =0$ . Proiettando sull'asse $x$ , tenuto conto dei versi, la forza $vecF$ da applicare, diretta verso sinistra, ha modulo :

$F = M_1 = rhoQv $

[dRic]

"Shackle":
Bernoulli non è la stessa cosa, se dalla mia risposta si è capito questo, faccio ammenda. Il foglietto non viene attratto, viene spinto dal getto.

Chiedo scusa io perché mi sono spiegato male. Intanto dico che ho cambiato repentinamente discorso. Lo so che un foglietto di carta viene spinto via se ci soffio sopra (è ovvio! ) quello che non mi torna è come poter spiegare questo fenomeno con Bernoulli (secondo quanto detto in precedenza).

Poi sinceramente non mi torna una cosa. Tu hai risolto l'esercizio nella maniera classico con un bilancio di forze. Hai semplicemente applicato la conservazione delle forze/quantità di moto (come si preferisce chiamarla).

Poi hai citato il teo del trasporto di Reynolds. Ti faccio notare che con il teo del trasporto di Raynolds si ricavano le equazioni di Navier-Stockes che altro non sono che l'equazioni di conservazione della quantità di moto scritte per un elemento infinitesimo di fluido. Dalle equazioni di NS si ricava quelle di Eulero e da quelle di Eulero si ricava Beroulli.

Ergo, conservazione di quantità di moto = Bernoulli.

Comunque, tornando al problema: alla luce di quanto discusso come posso spiegare, usando Bernoulli, che un foglietto di carta viene spinto via se ci soffio contro?

[Shackle]

Vedo che sei ferrato in fluidodinamica, mentre io non apro un libro di questa materia da decenni! Ho dovuto fare un ripasso accelerato , per formulare l'ultima risposta. Tornando in argomento , per quanto possibile , tu chiedi :

Comunque, tornando al problema: alla luce di quanto discusso come posso spiegare, usando Bernoulli, che un foglietto di carta viene spinto via se ci soffio contro?

Beh, credo di poter dire semplicemente che "non puoi" limitarti a usare Bernoulli , che vale in certe condizioni molto teoriche. Pur ammettendo che il getto d'aria sul foglio , o sulla piastra del mio esempio, sia fatto di fluido perfetto, pesante, incomprimibile, in moto permanente , credo che venga meno l'ulteriore ipotesi di flusso irrotazionale . Ma non ne sono sicuro. Quando il getto si divide e piega a 90º , secondo me ci sono effetti rotazionali , che fanno venire meno l'applicabilità diretta di Bernouilli.

Allego qualche spiegazione trovata in giro :

Questo è l'esempio 3.18 richiamato, che non è proprio uguale al nostro , ma insomma fa capire il senso :

L'equazione globale non ha di questi problemi, per cui , visto che ce l'abbiamo, usiamola , è più sicura . Ciao.

Il testo da cui ho preso le immagini è il seguente :

https://www.amazon.com/Fundamentals-Flu ... 0470926538

[dRic]

"Shackle":
Vedo che sei ferrato in fluidodinamica

Eh, come no ahahah In realtà sto solo cercando di recuperare delle lacune di un esame che non è andato come speravo in passato, ma va beh

"Shackle":
mentre io non apro un libro di questa materia da decenni! Ho dovuto fare un ripasso accelerato , per formulare l'ultima risposta.

Ti ringrazio moltissimo della disponibilità. MI dispiace averti fatto faticare per rispondere a un problema come questo, se vogliamo i miei film mentali hanno un che di comico: arrivare a mettere in dubbio che soffiando su un fogliettino di carta, questo venga spinto!

All'inizio anche io avevo pensato che il problema fosse nel fatto che il flusso si divide e si "frammenta" al contatto con la parete, ma non mi era venuta in mente l'idea di un campo di moto rotazionale e quindi non riuscivo a formulare matematicamente la mia assunzione.

Ora che mi hai dato questa idea approfondirò, grazie mille e scusa ancora l'odissea!!

PS: questa mania per bernoulli mi è venuta perché lo vedo letteralmente applicato ovunque! ogni cosa: bernoulli! e che cavolo ahahah alla fine finisce che uno sprovveduto come me lo applica anche quando non vale più!