Semplice quesito sulla reazione vincolare di una guida circolare

[Nighthawk1]

Buonasera a tutti,

vorrei proporvi un quesito incontrato durante una prova scritta di Fisica I; considerato un sistema composto da un anello posto verticalmente nel quale è infilata una pallina forata libera di ruotare, mi viene chiesto di stabilire in quali punti della guida circolare la reazione risulta massima e minima. Ho fatto le seguenti considerazioni:

- Le forze agenti sulla pallina risultano essere la reazione vincolare della guida e la forza peso, ed agiscono come forza centripeta;
- Non conoscendo la velocità del punto materiale non posso fare riferimento alla proporzionalità diretta tra forza centripeta e velocità;

Sono pertanto giunto alla conclusione che la reazione vincolare dipenda dall'influenza della forza peso e risulti pertanto massima a 0 e 180 gradi e minima a 45 e 225 gradi (dove la forza peso non dovrebbe agire sulla guida ma esclusivamente sulla pallina). Resto ad ogni modo dubbioso di tale risultato e non riesco a capire come si possa stabilire quanto chiesto senza conoscere la velocità. Voi che dite?

[mgrau]

Intanto ci sono delle inesattezze in quello che dici.
1 - la forza peso non è centripeta. E' verticale
2 - la forza peso agisce solo sulla pallina non a 45 e 225 gradi ma a 90 e 270. cioè dove la guida è verticale.
3 - non c'è proporzionalità diretta fra forza centripeta e velocità, ma quadratica
Detto ciò, Anche a me, a prima vista, sembra che la risposta dipenda dalla velocità della pallina. Per esempio, se invece di una pallina forata c'è un carrello che corre su una rotaia, in genere a un certo punto della salita il carrello si stacca dalla rotaia, e qui si ha il punto in cui la reazione della rotaia è zero. Non mi pare che questo punto sia indipendente dalla velocità, per cui lo zero della reazione credo dipenda dalla velocità. E' vero che lo zero non è nè il massimo nè il minimo, per cui magari questi, invece, non dipendono dalla velocità... però, al momento, non ho voglia di fare i calcoli. Potresti provarci tu...
In alternativa, potresti trovare massimo e minimo in funzione della velocità, e magari è proprio questo che si chiede.

EDIT Ripensandoci un attimo concluderei invece che il massimo è nel punto più basso: c'è il peso e la massima forza centripeta, in quanto è massima la velocità. E analogamente, il minimo è nel punto più alto: la velocità è al minimo, e alla forza centripeta va sottratto il peso

[Nighthawk1]

Quando dico che la forza peso agisce come centripeta mi riferisco ovviamente alla sua componente radiale, assente difatto nei punti da me indicati (45 e 225 gradi), mentre massima a 0 e 180 gradi. Il ragionamento che hai proposto è stata la mia prima ipotesi, ma ripensadoci bene ho considerato che tale risultato sarebbe valido soltanto nel caso del giro della morte, in cui forza peso e reazione vincolare sono concordi e la loro somma, nel punto più alto, è pari alla forza centripeta. In questo caso, invece, se il corpo nel punto più alto ha velocità tale da spingere verso l'esterno, la reazione vincolare risulterebbe concorde alla forza peso (e pertanto minima), mentre, in caso contrario, se fosse prossimo a fermarsi, il risultato cambierebbe. Da ciò dipende la mia insicurezza.

[mgrau]

"Nighthawk":Quando dico che la forza peso agisce come centripeta mi riferisco ovviamente alla sua componente radiale, assente difatto nei punti da me indicati (45 e 225 gradi)

Questa non l'ho capita...,

"Nighthawk":tale risultato sarebbe valido soltanto nel caso del giro della morte, in cui forza peso e reazione vincolare sono concordi e la loro somma, nel punto più alto, è pari alla forza centripeta. In questo caso, invece, se il corpo nel punto più alto ha velocità tale da spingere verso l'esterno, la reazione vincolare risulterebbe concorde alla forza peso (e pertanto minima), mentre, in caso contrario, se fosse prossimo a fermarsi, il risultato cambierebbe.

Metti il caso che la velocità iniziale porti la pallina ad arrivare ferma nel punto più alto. In questo caso la reazione vincolare sarebbe uguale e opposta al peso. Non se se vogliamo considerarla minima... E' minima nel senso che è un valore estremo del vettore reazione, mentre nel punto più basso c'è l'altro estremo: la differenza vettoriale fra questi due punti è massima. Se invece intendi il minimo come modulo, allora il minimo non può andare sotto lo zero: può essere comunque positivo nel caso che la pallina arrivi in alto con velocità sufficiente, negli altri casi devi trovare il punto di distacco, che però credo dipenda dalla velocità iniziale

[Shackle]

Spesso abbiamo parlato del giro della morte. Copio e incollo parte di una mia risposta, ad un problema in cui un carrello prima sale su una cima alta $h$ e poi, cadendo dall'altro lato , arriva alla base di un loop con la stessa velocita $v_0$ cha aveva all'inizio della salita , in base al principio di conservazione dell'energia. Il disegno è come segue.

Il problema del cerchio della morte consiste ora nel determinare da quale altezza $h$ il carrello ( considerato puntiforme ) deve cadere lungo una guida liscia , immettendosi poi nella guida circolare liscia di raggio $r= d/2$ , senza che si stacchi mai. Evidentemente , basta verificare che non si stacchi quando, descrivendo la guida circolare e quindi aumentando nuovamente di quota, arriva al punto più alto , cioè a $d=2r$ , senza staccarsi. Quindi , deve avere nel punto più alto , che ho chiamato $Q$, una certa energia cinetica, ovvero una certa velocità : quale? (NB : il punto più basso della guida è sullo stesso piano di riferimento di partenza)

In ogni punto del loop, la guida esercita sul carrello una reazione vincolare $vecR$ diretta verso il centro, e inoltre il carrello è sottoposto alla forza peso $mvecg$ . La seconda eq. della dinamica dice che :

$vecR + mvecg = mveca$

nel punto $Q$ più alto , la reazione della guida è minima: ponendola uguale a zero, abbiamo il minimo di velocità , che si ricava dalla reazione vettoriale precedente ponendo $vecR = 0 $; l'accelerazione nel punto più alto è tutta centripeta , per cui deve essere, in $Q$ : $mvecg=mveca$ ; passando ai moduli (= proiettando sull'asse verticale) :

$g = a = v^2/r \rightarrow v = sqrt(gr)$

quindi , questa è la velocità minima con cui il carrello deve arrivare nel punto $Q$ , per non cadere . Chiaro ?

Adesso, ripeto, sappiamo che questo carrello ha percorso la discesa precedente, di altezza $h$ , per immettersi nella guida circolare . Vuol dire che l'energia potenziale iniziale $mgh$ si è trasformata tutta in energia cinetica a livello del suolo :

$mgh = 1/2mv_0^2$

il carrello entra nella guida con questa energia cinetica , e risale . Evidentemente , per la conservazione dell'energia , durante la salita nella guida circolare una parte dell'energia si ritrasforma in potenziale . Nel punto alto $2r$ , sarà :

$1/2mv_0^2 = 1/2mv^2 + mg*2r$

dove $v = sqrt(gr)$ è quella trovata prima , che non fa staccare il carrello . Sostituendo , abbiamo che :

$1/2mv_0^2 = 1/2mgr +mg*2r \rightarrow v_0^2 = 5gr$

Quindi deve essere, sempre per la conservazione dell'energia :

$mgh = 1/2mv_0^2 = 1/2m*5gr \rightarrow h = 5/2r = 5/4d$

dove $d = 2r $ è il diametro del loop . Questo vuol dire che, affinché il carrello non si stacchi , deve essere almeno : $h=5/4d$ , dove $d$ è il diametro del loop.

Il punto che interessa all'OP è questo : la reazione della guida è massima nel punto più basso, è minima ( e questo minimo può essere anche zero) nel punto più alto. Quando è che il minimo è zero ? Quando la velocità , in quel punto , è uguale a :

$v=sqrt(gr)$

ma nulla vieta che la pallina venga sparata nel loop , al livello più basso , con una velocita e quindi una En cin. maggiore, che la fa arrivare in alto con velocità maggiore di quella ora stabilita. Perciò la reazione diretta verso il centro sarà maggiore di zero, non zero.