Semplice momento d'inerzia
Ho un dubbio che mi sta assillando.. 
Un disco viene colpito da un proiettile che rimane conficcato sul suo bordo. Senza considerare nient'altro, voglio solo sapere quale sia il momento d'inerzia rispetto al nuovo centro di massa.
Chiamo $M$ la massa del disco, $m$ la massa del proiettile, $r$ il raggio del disco, $d1$ la distanza tra il centro del disco ed il nuovo centro di massa e $d2$ la distanza tra il proiettile sul bordo ed il nuovo centro di massa.
Dunque sapendo che:
$d1 + d2 = r$
$M*d1 = m*d2$
Otteniamo che: $d1 = (m*r)/(M+m)$.
Ora, come si ottiene il nuovo momento d'inerzia?
Ho pensato di usare Huygens-Steiner, e sapendo che quella del disco è $(M*r^2)/2$, fare:
$I = (M*r^2)/2 + (m+M)*(d1)^2$
E' giusto ? Oppure nel primo termine al posto di $M$ ci vuole $(M+m)$?
Un disco viene colpito da un proiettile che rimane conficcato sul suo bordo. Senza considerare nient'altro, voglio solo sapere quale sia il momento d'inerzia rispetto al nuovo centro di massa.
Chiamo $M$ la massa del disco, $m$ la massa del proiettile, $r$ il raggio del disco, $d1$ la distanza tra il centro del disco ed il nuovo centro di massa e $d2$ la distanza tra il proiettile sul bordo ed il nuovo centro di massa.
Dunque sapendo che:
$d1 + d2 = r$
$M*d1 = m*d2$
Otteniamo che: $d1 = (m*r)/(M+m)$.
Ora, come si ottiene il nuovo momento d'inerzia?
Ho pensato di usare Huygens-Steiner, e sapendo che quella del disco è $(M*r^2)/2$, fare:
$I = (M*r^2)/2 + (m+M)*(d1)^2$
E' giusto ? Oppure nel primo termine al posto di $M$ ci vuole $(M+m)$?
Risposte
Sì, ma molto più semplicemente il nuovo momento di inerzia rispetto al centro del disco è quello del disco rispetto al suo centro più quello del punto rispetto al centro del disco.
Il risultato dovrebbe essere:
$I = r^2(M/2+m/(M+m))$
Occhio, nel problema che stavo facendo era richiesto il momento d'inerzia rispetto al nuovo centro di massa (non al centro del disco), perciò ho fatto questi calcoli.. puoi confermare il risultato in tal caso? Non ho capito invece se esiste e quale sia una strada più semplice per trovarlo..
$I = r^2(M/2+m/(M+m))$
"Faussone":
Sì, ma molto più semplicemente il nuovo momento di inerzia rispetto al centro del disco è quello del disco rispetto al suo centro più quello del punto rispetto al centro del disco.
Occhio, nel problema che stavo facendo era richiesto il momento d'inerzia rispetto al nuovo centro di massa (non al centro del disco), perciò ho fatto questi calcoli.. puoi confermare il risultato in tal caso? Non ho capito invece se esiste e quale sia una strada più semplice per trovarlo..
Avevo dato per scontato che nel problema il disco fosse vincolato a ruotare attorno al centro di massa, per quello credevo interessasse comunque il momento rispetto al centro del disco.
Nel caso specifico io avrei trovato prima il momento rispetto al centro del disco e poi lo avrei traslato nel centro di massa, penso che come numero di conti saremmo sempre lì.
Momento rispetto al centro del disco
$I_o=1/2M r^2 + m r^2$
Momento rispetto al centro di massa
$I_c= I_o - (m+M) d^2$
con $d= m R / (m+M)$
Nel caso specifico io avrei trovato prima il momento rispetto al centro del disco e poi lo avrei traslato nel centro di massa, penso che come numero di conti saremmo sempre lì.
Momento rispetto al centro del disco
$I_o=1/2M r^2 + m r^2$
Momento rispetto al centro di massa
$I_c= I_o - (m+M) d^2$
con $d= m R / (m+M)$
Aspetta aspetta.. perché meno? 
"Sakineh":
Aspetta aspetta.. perché meno?
Perché Steiner funziona anche al contrario.
Si ma il risultato è diverso da quello che ho trovato nel primo post! 
"Sakineh":
Si ma il risultato è diverso da quello che ho trovato nel primo post!
Certo, perché il tuo era sbagliato.
Avresti dovuto scrivere:
[tex]I = \frac{1}{2}M{r^2} + M{d^2} + m{\left( {r - d} \right)^2}[/tex]
e così sarebbe venuto uguale a quello di Faussone. Infatti entrambe le formule dopo alcuni passaggi diventano:
[tex]I = \left( {\frac{1}{2} + \frac{m}{{m + M}}} \right)M{r^2}[/tex]
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